çözümebak

12. Sınıf · İntegral

Belirli İntegral ve Alan

~9 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

Belirsiz integral bir fonksiyon ailesi verirdi; belirli integral ise bir sayı verir ve bu sayının en güzel anlamı alandır: f(x)\ge 0 ise \int_{a}^{b} f(x)\,dx, eğri ile x-ekseni arasında, x=a ile x=b doğruları arasındaki bölgenin alanıdır. Bu derste belirli integralin tanımını, onu kolayca hesaplatan Analizin Temel Teoremi'ni (Newton–Leibniz kuralı), temel özelliklerini ve eğri altında kalan alan hesabını öğreneceğiz. Anahtar incelik işaret meselesidir: eksenin altındaki bölgeler integrale negatif katkı verir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Belirli İntegral ve Alan Fikri

[a,b] aralığında sürekli ve f(x)\ge 0 olan bir f için, eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını düşünelim. Bu bölgeyi ince dikdörtgen şeritlere böler, alanlarını toplar ve şeritleri sonsuz inceltirsek belirli integrale ulaşırız:

A=\int_{a}^{b} f(x)\,dx

Buradaki a ve b sayılarına alt ve üst sınır denir. Aşağıdaki şekilde bu alan ve onu yaklaşık veren dikdörtgen şeritler gösterilmiştir.

xyaby = f(x)A
Şekil 1 — y=f(x) eğrisi ile x-ekseni arasında, x=a ile x=b arasındaki taranmış alan A=\int_{a}^{b} f(x)\,dx'tir. Dikdörtgen şeritlerin toplam alanı, şeritler inceldikçe bu integrale yaklaşır.

2. Analizin Temel Teoremi (Newton–Leibniz Kuralı)

Belirli integrali şerit toplamıyla hesaplamak çok zahmetlidir. Neyse ki onu ters türev ile bağlayan güçlü bir kural vardır. F, f'nin herhangi bir ters türeviyse (F'=f):

\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)

Yani: integrali bul, üst sınırı yerine koy, alt sınırı yerine koy, çıkar. Burada integral sabiti c önemsizdir; çünkü F(b)+c ve F(a)+c çıkarılınca c sadeleşir. Bu yüzden belirli integralde c yazmayız.

Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx değerini bulunuz.

Önce \int 2x\,dx=x^2 ters türevini bul; sonra \big[x^2\big]_1^3=3^2-1^2 yaz.

  1. Ters türev: \int 2x\,dx=x^{2}.
  2. Sınırları yerleştir: \Big[x^{2}\Big]_{1}^{3}=3^{2}-1^{2}=9-1=8.
Sonuç: 8.

3. Polinomların Belirli İntegrali

Polinomu terim terim integralleyip Newton–Leibniz kuralını uygularız. Köşeli parantezdeki ters türevi düzgün yazmak, işaret hatalarını önler.

Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{2}\big(3x^{2}+1\big)\,dx değerini bulunuz.

  1. Ters türev: \int (3x^{2}+1)\,dx=x^{3}+x.
  2. Sınırları yerleştir: \Big[x^{3}+x\Big]_{0}^{2}=\big(2^{3}+2\big)-\big(0+0\big).
  3. Hesapla: (8+2)-0=10.
Sonuç: 10.

4. Belirli İntegralin Temel Özellikleri

Aşağıdaki özellikler hesabı kolaylaştırır:

\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0 \qquad\qquad \int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{b}^{a} f(x)\,dx

\int_{a}^{b} f(x)\,dx+\int_{b}^{c} f(x)\,dx=\int_{a}^{c} f(x)\,dx \qquad\qquad \int_{a}^{b} k\,f(x)\,dx=k\int_{a}^{b} f(x)\,dx

Sırasıyla: alt ve üst sınır eşitse integral 0'dır; sınırların yerini değiştirmek işareti değiştirir; aralık iki parçaya bölünebilir; sabit çarpan dışarı alınır.

Örnek
Soru

\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,dx=9 ise \displaystyle\int_{5}^{2} 3f(x)\,dx değerini bulunuz.

  1. Sabiti dışarı al: \int_{5}^{2} 3f(x)\,dx=3\int_{5}^{2} f(x)\,dx.
  2. Sınırları ters çevir, işaret değişir: \int_{5}^{2} f(x)\,dx=-\int_{2}^{5} f(x)\,dx=-9.
  3. Çarp: 3\cdot(-9)=-27.
Sonuç: -27.

5. Eğri ile x-Ekseni Arasındaki Alan

[a,b] aralığında f(x)\ge 0 ise alan doğrudan integraldir: A=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

Eğer bölge eksenin altında kalıyorsa (f(x)\le 0), integral negatif çıkar. Alan pozitif bir büyüklük olduğundan mutlak değer alınır:

A=\Big|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\Big|

Eğri aralık içinde ekseni kesiyorsa, önce kesim noktasından böl: eksen üstü ve eksen altı parçaların alanlarını ayrı ayrı (mutlak değerle) bulup topla. Aksi hâlde negatif ve pozitif katkılar birbirini götürür ve yanlış alan bulursun.

Örnek
Soru

f(x)=x^{2} eğrisi ile x-ekseni arasında, x=0 ile x=3 arasındaki alanı bulunuz.

[0,3] aralığında x^2\ge 0, yani eğri eksenin üstünde; alan doğrudan \int_0^3 x^2\,dx'tir.

  1. Aralıkta f(x)=x^{2}\ge 0, bölge eksenin üstünde; alan integralin kendisidir.
  2. Ters türev: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}.
  3. Sınırları yerleştir: \Big[\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{3}=\dfrac{27}{3}-0=9.
Sonuç: Alan 9 birimkaredir.
Örnek
Soru

f(x)=x-2 doğrusu ile x-ekseni arasında, x=0 ile x=2 arasındaki alanı bulunuz.

[0,2] aralığında x-2\le 0, yani bölge eksenin altında. İntegral negatif çıkar; alan için mutlak değer al.

  1. Aralıkta x-2\le 0 (örneğin x=0 için -2); bölge eksenin altında.
  2. İntegrali hesapla: \int_{0}^{2}(x-2)\,dx=\Big[\dfrac{x^{2}}{2}-2x\Big]_{0}^{2}=\big(2-4\big)-0=-2.
  3. Alan pozitiftir, mutlak değer al: A=|-2|=2.
Sonuç: Alan 2 birimkaredir.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{2}\big(4x^{3}\big)\,dx değerini bulunuz.

  1. Ters türev: \int 4x^{3}\,dx=x^{4}.
  2. Sınırlar: \Big[x^{4}\Big]_{1}^{2}=2^{4}-1^{4}=16-1=15.
Sonuç: 15.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(x^{2}+2\big)\,dx değerini bulunuz.

  1. Ters türev: \dfrac{x^{3}}{3}+2x.
  2. Üst sınır x=1: \dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3}.
  3. Alt sınır x=-1: \dfrac{-1}{3}-2=-\dfrac{7}{3}.
  4. Çıkar: \dfrac{7}{3}-\big(-\dfrac{7}{3}\big)=\dfrac{14}{3}.
Sonuç: \dfrac{14}{3}.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx değerini bulunuz.

\sqrt{x}=x^{1/2}; ters türevi \dfrac{2}{3}x^{3/2}. 4^{3/2}=(\sqrt4)^3=8 olduğunu kullan.

  1. Üslü yaz, integralle: \int x^{1/2}\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
  2. Üst sınır x=4: \dfrac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\dfrac{2}{3}\cdot 8=\dfrac{16}{3}.
  3. Alt sınır x=1: \dfrac{2}{3}\cdot 1=\dfrac{2}{3}.
  4. Çıkar: \dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}.
Sonuç: \dfrac{14}{3}.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx=4 ve \displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,dx=5 ise \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx kaçtır?

Aralık birleştirme özelliği: \int_0^1+\int_1^3=\int_0^3.

  1. Aralıkları birleştir: \int_{0}^{3} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} f(x)\,dx+\int_{1}^{3} f(x)\,dx.
  2. Topla: 4+5=9.
Sonuç: 9.
Örnek
Soru

f(x)=4-x^{2} parabolü ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

Önce eğrinin ekseni kestiği yerleri bul (4-x^2=0); bunlar sınırlardır. Aralarında 4-x^2\ge 0 olduğundan bölge eksenin üstündedir.

  1. Eksen kesimleri: 4-x^{2}=0\Rightarrow x=\pm 2. Sınırlar a=-2, b=2.
  2. [-2,2] aralığında 4-x^{2}\ge 0; alan doğrudan integraldir.
  3. Ters türev: \int(4-x^{2})\,dx=4x-\dfrac{x^{3}}{3}.
  4. Üst sınır x=2: 8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}. Alt sınır x=-2: -8+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{16}{3}.
  5. Çıkar: \dfrac{16}{3}-\big(-\dfrac{16}{3}\big)=\dfrac{32}{3}.
Sonuç: Alan \dfrac{32}{3} birimkaredir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{2} 3x^{2}\,dx değerini bul.

  1. Ters türev: x^{3}.
  2. \Big[x^{3}\Big]_{0}^{2}=8-0=8.
Sonuç: 8.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{2}\big(2x+3\big)\,dx değerini bul.

  1. Ters türev: x^{2}+3x.
  2. \big(4+6\big)-\big(1+3\big)=10-4=6.
Sonuç: 6.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{3}^{3}\big(x^{4}-7x\big)\,dx değerini bul.

  1. Alt ve üst sınır eşit: integral 0'dır.
Sonuç: 0.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{1}\big(x^{3}+x\big)\,dx değerini bul.

  1. Ters türev: \dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{2}}{2}.
  2. x=1: \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}. x=0: 0.
  3. Çıkar: \dfrac{3}{4}.
Sonuç: \dfrac{3}{4}.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{2}^{6} f(x)\,dx=12 ise \displaystyle\int_{2}^{6} \dfrac{1}{2}f(x)\,dx kaçtır?

  1. Sabiti dışarı al: \dfrac{1}{2}\int_{2}^{6} f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot 12.
  2. Hesapla: 6.
Sonuç: 6.
Örnek
Soru

f(x)=2x doğrusu ile x-ekseni arasında, x=0 ile x=3 arasındaki alanı bul.

  1. [0,3] aralığında 2x\ge 0; alan integraldir.
  2. \int_{0}^{3} 2x\,dx=\Big[x^{2}\Big]_{0}^{3}=9-0=9.
Sonuç: Alan 9 birimkaredir.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx değerini bul.

\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}; ters türevi -x^{-1}=-\dfrac{1}{x}.

  1. Üslü yaz, integralle: \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\dfrac{1}{x}.
  2. Üst sınır x=4: -\dfrac{1}{4}. Alt sınır x=1: -1.
  3. Çıkar: -\dfrac{1}{4}-(-1)=-\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{4}.
Sonuç: \dfrac{3}{4}.
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-1 eğrisi ile x-ekseni arasında, x=0 ile x=2 arasındaki alanı bul. (Dikkat: eğri bu aralıkta ekseni kesiyor.)

x^2-1, x=1'de işaret değiştirir: [0,1] aralığında eksen altında, [1,2] aralığında eksen üstünde. İki parçayı ayrı hesaplayıp mutlak değerlerini topla.

  1. İşaret değişimi x=1'de (x^{2}-1=0). Ters türev: \dfrac{x^{3}}{3}-x.
  2. [0,1] (eksen altı): \int_{0}^{1}(x^{2}-1)\,dx=\big(\dfrac{1}{3}-1\big)-0=-\dfrac{2}{3}; alan \big|-\dfrac{2}{3}\big|=\dfrac{2}{3}.
  3. [1,2] (eksen üstü): \int_{1}^{2}(x^{2}-1)\,dx=\big(\dfrac{8}{3}-2\big)-\big(\dfrac{1}{3}-1\big)=\dfrac{2}{3}-\big(-\dfrac{2}{3}\big)=\dfrac{4}{3}.
  4. Topla: \dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}=2.
Sonuç: Alan 2 birimkaredir.
Örnek
Soru

f'(x)=6x ve f(0)=1 ise \displaystyle\int_{1}^{2} f'(x)\,dx değerini bul; ayrıca bunun f(2)-f(1)'e eşit olduğunu göster.

Analizin Temel Teoremi'ne göre \int_1^2 f'(x)\,dx=f(2)-f(1). Önce \int 6x\,dx=3x^2 ters türevini kullan.

  1. f'(x)=6x'in ters türevi 3x^{2} (bu, f'nin türevi olduğundan f'nin kendisi olur, sabite kadar).
  2. Belirli integral: \int_{1}^{2} 6x\,dx=\Big[3x^{2}\Big]_{1}^{2}=12-3=9.
  3. Doğrulama: f(x)=3x^{2}+c; f(0)=c=1, yani f(x)=3x^{2}+1. O hâlde f(2)-f(1)=(12+1)-(3+1)=13-4=9. Aynı sonuç.
Sonuç: 9; gerçekten f(2)-f(1)=9.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Alan sorusunda refleksin önce işaret kontrolü olsun: eğri aralıkta ekseni kesiyor mu? Kesiyorsa böl, kesmiyorsa tek integral; her zaman alanı pozitif raporla. Hesabı bitince ters türevin türevini alıp integrandı geri bulduğunu kontrol et.

İntegral — diğer konular