9. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Problemleri
Nicelikler ve Değişimler temasını, öğrendiğimiz doğrusal ilişkileri gerçek hayat problemlerine uygulayarak tamamlıyoruz. Bu derste bir durumu bilinmeyenle modellemeyi, kurduğumuz birinci dereceden denklemi çözmeyi ve "en az / en çok / yeterli" gibi ifadeler içeren durumları eşitsizlikle çözmeyi öğreneceğiz. Buradaki beceri — sözel ifadeyi matematiğe çevirmek — sınavların ve günlük hayatın en çok işe yarayan parçasıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Problemi Denklemle Modelleme
Bir problemi çözmenin güvenli yolu üç adımdır:
- Bilinmeyeni seç: aranan büyüklüğe
xde. - Modeli kur: verilen ilişkiyi
xcinsinden bir denklem olarak yaz. - Çöz ve yorumla:
x'i bul, sonucu problemin diline geri çevir.
Sık geçen kalıplar: "bir fazlası" → x+1, "3 katı" → 3x, "yarısı" → \dfrac{x}{2}, "5 eksiği" → x-5.
Bir sayının 3 katının 4 fazlası 19'a eşittir. Bu sayıyı bulunuz.
- Bilinmeyen: sayı
=x. - Modeli kur:
3x+4=19. - Çöz:
3x=15\Rightarrow x=5.
5'tir.2. Doğrusal İlişki İçeren Problemler
Birçok gerçek durum f(x)=ax+b kalıbındadır: sabit bir başlangıç (b) artı birim başına değişim (a). Örneğin "açılış ücreti + km başına ücret", "üyelik + adet başına fiyat".
Bir taksi 15 TL açılış ücreti ve kilometre başına 6 TL almaktadır. x km'lik yolculuğun ücreti f(x) olduğuna göre f(x)'i yazınız ve 69 TL ödeyen birinin kaç km gittiğini bulunuz.
Sabit açılış ücreti b, km başına ücret eğim a'dır. Sonra f(x)=69 denklemini kur.
- Model:
f(x)=6x+15(sabit15, birim başına6). 69TL için:6x+15=69.- Çöz:
6x=54\Rightarrow x=9.
f(x)=6x+15; yolculuk 9 km'dir.3. Eşitsizlikle Modelleme
"En az", "en çok", "yeterli", "geçmek için" gibi ifadeler bir eşitsizliğe işaret eder. Eşitsizlikte de denklem gibi çözülür; tek fark: negatif sayı ile çarpıp bölerken eşitsizlik yönü ters döner.
| İfade | Sembol |
|---|---|
| en az, asgari | \ge |
| en çok, en fazla | \le |
| ...den büyük | > |
| ...den küçük | < |
Bir öğrencinin ilk iki sınav notu 70 ve 80'dir. Ortalamasının en az 75 olması için üçüncü sınavdan en az kaç almalıdır?
- Üçüncü not
=x. Ortalama koşulu:\dfrac{70+80+x}{3}\ge 75. - Her iki tarafı
3ile çarp:150+x\ge 225. - Çöz:
x\ge 75.
75 almalıdır.3-2x>7 eşitsizliğini çözünüz.
3'ü karşıya at:-2x>4.-2ile böl → yön ters döner:x<-2.
x<-2.Çözümü sayı doğrusunda göstermek, hangi sayıların koşulu sağladığını anlamayı kolaylaştırır. x<-2 çözümü, -2'nin solundaki tüm sayılardır; -2 dahil değildir (boş nokta).
x<-2 eşitsizliğinin çözüm kümesi. Uç nokta -2 boş (dahil değil, kesin küçüktür) işaretlenir; ok yönü -2'den küçük tüm sayıları kapsar.Çözümlü Örnekler
Bir sayının yarısının 7 fazlası, kendisinin 5 eksiğine eşittir. Sayıyı bulunuz.
- Sayı
=x. Model:\dfrac{x}{2}+7=x-5. - Her tarafı
2ile çarp:x+14=2x-10. - Çöz:
14+10=2x-x\Rightarrow x=24.
24'tür.Ali'nin yaşı kardeşinin yaşının 3 katıdır. Yaşları toplamı 32 ise Ali kaç yaşındadır?
- Kardeşin yaşı
=x, Ali=3x. - Toplam:
x+3x=32\Rightarrow 4x=32\Rightarrow x=8. - Ali:
3x=24.
24 yaşındadır.Bir spor salonu aylık 200 TL üyelik ve seans başına 30 TL almaktadır. Bütçesi 500 TL olan biri ayda en çok kaç seansa katılabilir?
- Seans sayısı
=x. Koşul:30x+200\le 500. 30x\le 300\Rightarrow x\le 10.
10 seans.Bir manavda elmanın kilosu 40 TL, armudun kilosu 30 TL'dir. Toplam 5 kg meyveye 180 TL ödeyen biri kaç kg elma almıştır?
Elma x kg ise armut (5-x) kg'dır. Toplam ücreti x cinsinden yaz.
- Elma
=xkg, armut=(5-x)kg. - Ücret:
40x+30(5-x)=180. - Dağıt:
40x+150-30x=180\Rightarrow 10x=30\Rightarrow x=3.
3 kg elma almıştır.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
Bir sayının 5 katının 3 eksiği 22'dir. Sayıyı bul.
5x-3=22\Rightarrow 5x=25\Rightarrow x=5.
5.Bir kalem 8 TL, bir defter 12 TL'dir. 4 kalem ve bir miktar defter için 80 TL ödendiyse kaç defter alınmıştır?
- Defter sayısı
=x.8\cdot 4+12x=80. 32+12x=80\Rightarrow 12x=48\Rightarrow x=4.
4 defter.2x+5\le 17 eşitsizliğini çöz.
2x\le 12\Rightarrow x\le 6.
x\le 6.Bir otoparkta ilk saat 20 TL, sonraki her saat 10 TL'dir. 70 TL ödeyen biri kaç saat kalmıştır?
- Toplam saat
=x. İlk saat20, kalan(x-1)saat10'ar TL:20+10(x-1)=70. 20+10x-10=70\Rightarrow 10x+10=70\Rightarrow 10x=60\Rightarrow x=6.
6 saat.Bir sınıfın mevcudu, 4 öğrenci daha gelirse 30'u geçer. Sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
- Mevcut
=x. Koşul:x+4>30. x>26, yani en az27.
27 öğrenci.Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır. 6 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacaktır. Oğul şimdi kaç yaşındadır?
Oğul x ise baba 4x'tir. 6 yıl sonra her ikisine de 6 ekle, sonra koşulu kur.
- Oğul
=x, baba=4x. 6yıl sonra:4x+6=3(x+6).4x+6=3x+18\Rightarrow x=12.
12 yaşındadır.Bir işçi çalıştığı her gün 200 TL kazanmakta, gelmediği her gün için ise 100 TL kesinti yapılmaktadır. 25 günlük dönemde işçinin eline 3500 TL geçtiyse kaç gün çalışmıştır?
Çalıştığı gün x ise gelmediği gün (25-x)'tir. Net kazancı x cinsinden yaz: çalışılan günler +200, gelinmeyen günler -100.
- Çalıştığı gün
=x, gelmediği gün=(25-x). - Net kazanç:
200x-100(25-x)=3500. - Dağıt:
200x-2500+100x=3500\Rightarrow 300x=6000\Rightarrow x=20.
20 gün çalışmıştır.Ardışık üç tam sayının toplamı 72'dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Ortadaki sayıya x dersen sayılar x-1,\ x,\ x+1 olur; toplamları sade çıkar.
- Sayılar
x-1,\ x,\ x+1. - Toplam:
(x-1)+x+(x+1)=3x=72\Rightarrow x=24. - En büyüğü
x+1=25.
25'tir.Sık Yapılan Hatalar
- Bilinmeyeni net seçmemek. Çözüme başlamadan "
xnedir?" diye yaz; yanlış büyüklüğüxalmak tüm modeli bozar. - Negatifle bölerken eşitsizlik yönünü çevirmemek.
-2x>4isex<-2(yön döner),x>-2değil. - Sözel kalıbı yanlış çevirmek. "
5eksiği"x-5, "5ten eksiği"5-x'tir; "en az"\ge, "en çok"\le. - Toplam kısıtını kullanmayı unutmak. İki parça bir toplamı paylaşıyorsa, biri
xise diğeri(\text{toplam}-x)'tir.
Not: Problem çözümünde her zaman üç adımı izle: bilinmeyeni seç → modeli kur → çöz ve yorumla. Bulduğun sayıyı mutlaka problemin sorusuna geri bağla ("sayı", "km", "seans" gibi).