çözümebak

11. Sınıf · Analitik Geometri

Çemberin Analitik İncelenmesi

~8 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Çember, bir noktaya (merkeze) eşit uzaklıkta olan noktaların kümesidir. Bu sabit uzaklık yarıçaptır. Bu derste çemberin standart denklemini, merkez ile yarıçapı bu denklemden nasıl okuyacağımızı, genel denklemi kareye tamamlayarak standart biçime çevirmeyi ve bir noktanın çembere göre konumunu öğreneceğiz. Her şey, geçen dersteki uzaklık formülünün doğrudan bir uygulamasıdır. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Çemberin Standart Denklemi

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çember üzerindeki her (x,y) noktası, merkeze tam r uzaklıktadır. Uzaklık formülünü kurup karesini alırsak çemberin standart (merkezil) denklemi çıkar:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Merkez orijinde (M(0,0)) ise denklem sadeleşir: x^2+y^2=r^2.

yxrO(a, b)
Şekil 1 — Merkezi M(a,b), yarıçapı r olan çember. Çember üzerindeki her nokta merkeze r uzaklıktadır; (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 denklemi bu sabit uzaklığın karesini ifade eder.
Örnek
Soru

Merkezi M(2,-3) ve yarıçapı 5 olan çemberin standart denklemini yazınız.

  1. Standart biçim: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
  2. a=2, b=-3, r=5 yerine koy: (x-2)^2+(y-(-3))^2=5^2.
  3. Sadeleştir: (x-2)^2+(y+3)^2=25.
Sonuç: (x-2)^2+(y+3)^2=25.

2. Denklemden Merkez ve Yarıçapı Okuma

Standart denklemde işaretlerin tersi merkezi, sağ tarafın karekökü ise yarıçapı verir. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 denkleminde merkez M(a,b) ve r=\sqrt{r^2}'dir. Parantez içindeki işaretlere dikkat: (x+4) aslında (x-(-4)) demektir, yani a=-4.

Örnek
Soru

(x+4)^2+(y-1)^2=36 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Parantez içindeki işareti ters çevir: (x+4)=(x-(-4)), bu yüzden a=-4. Yarıçap \sqrt{36}'dır.

  1. (x+4)^2=(x-(-4))^2\Rightarrow a=-4.
  2. (y-1)^2\Rightarrow b=1.
  3. r^2=36\Rightarrow r=6.
Sonuç: Merkez M(-4,1), yarıçap r=6.
Örnek
Soru

x^2+y^2=49 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

  1. Denklem x^2+y^2=r^2 biçiminde; merkez orijindedir: M(0,0).
  2. r^2=49\Rightarrow r=7.
Sonuç: Merkez M(0,0), yarıçap r=7.

3. Merkez ve Bir Noktadan Çember Denklemi

Yarıçap verilmemişse, merkez ile çember üzerindeki bir nokta arasındaki uzaklık yarıçaptır. Önce r'yi (ya da r^2'yi) uzaklık formülüyle bul, sonra standart denkleme yerleştir.

Örnek
Soru

Merkezi M(1,2) olan ve A(4,6) noktasından geçen çemberin denklemini yazınız.

Yarıçap |MA|'dır. Denklemde r^2 gerektiği için karekök almana bile gerek yok; r^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 doğrudan kullan.

  1. r^2=|MA|^2=(4-1)^2+(6-2)^2=3^2+4^2=9+16=25.
  2. Standart denklem: (x-1)^2+(y-2)^2=25.
Sonuç: (x-1)^2+(y-2)^2=25.
Örnek
Soru

Bir çemberin çapının uçları A(-2,1) ve B(4,9)'dur. Çemberin denklemini yazınız.

Çapın orta noktası merkezdir; yarıçap ise çapın yarısıdır (ya da merkez ile bir uç arası uzaklık).

  1. Merkez (çapın orta noktası): M=\left(\dfrac{-2+4}{2},\dfrac{1+9}{2}\right)=(1,5).
  2. Yarıçap karesi: r^2=|MA|^2=(1-(-2))^2+(5-1)^2=3^2+4^2=25.
  3. Denklem: (x-1)^2+(y-5)^2=25.
Sonuç: (x-1)^2+(y-5)^2=25.

4. Genel Denklem ve Kareye Tamamlama

Çember denklemi parantezler açılınca genel biçimde de yazılır:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

Bu biçimi merkez–yarıçap okunabilen standart biçime çevirmek için kareye tamamlarız: x ve y terimlerini ayrı gruplayıp her grupta katsayının yarısının karesini ekleyip çıkarırız.

Örnek
Soru

x^2+y^2-6x+4y-12=0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

x grubunda -6'nın yarısı -3; (x-3)^2 için 9 eklemen gerekir. y grubunda 4'ün yarısı 2; (y+2)^2 için 4 ekle. Eklediklerini sağ tarafa da ekle.

  1. Terimleri grupla: (x^2-6x)+(y^2+4y)=12.
  2. Kareye tamamla: x^2-6x+9 ve y^2+4y+4; eklenen 9 ile 4'ü sağ tarafa da ekle.
  3. (x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25.
  4. Standart biçimden oku: merkez M(3,-2), r=\sqrt{25}=5.
Sonuç: Merkez M(3,-2), yarıçap r=5.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Merkezi M(-1,3) ve yarıçapı \sqrt{10} olan çemberin denklemini yazınız.

  1. Standart biçim: (x-(-1))^2+(y-3)^2=(\sqrt{10})^2.
  2. Sadeleştir: (x+1)^2+(y-3)^2=10.
Sonuç: (x+1)^2+(y-3)^2=10.
Örnek
Soru

A(3,2) noktası (x-1)^2+(y+1)^2=16 çemberinin üzerinde midir, içinde midir, dışında mıdır?

Noktayı denklemin sol tarafına koy; çıkan sayı r^2=16'dan küçükse iç, eşitse üzeri, büyükse dış bölgededir.

  1. Sol tarafa koy: (3-1)^2+(2+1)^2=2^2+3^2=4+9=13.
  2. Karşılaştır: 13<16.
  3. Sonuç değer r^2'den küçük olduğundan nokta çemberin içindedir.
Sonuç: Nokta çemberin içindedir (13<16).
Örnek
Soru

x^2+y^2+8x-2y+8=0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

  1. Grupla: (x^2+8x)+(y^2-2y)=-8.
  2. Kareye tamamla: x^2+8x+16 için 16, \;y^2-2y+1 için 1 ekle.
  3. (x+4)^2+(y-1)^2=-8+16+1=9.
  4. Oku: merkez M(-4,1), r=\sqrt{9}=3.
Sonuç: Merkez M(-4,1), yarıçap r=3.
Örnek
Soru

Merkezi M(2,-1) olan ve x eksenine teğet olan çemberin denklemini yazınız.

Bir çember bir eksene teğetse, merkezin o eksene uzaklığı yarıçaptır. Merkezin x eksenine uzaklığı |b|'dir.

  1. x eksenine teğet olduğundan yarıçap, merkezin x eksenine uzaklığına eşittir: r=|-1|=1.
  2. Denklem: (x-2)^2+(y+1)^2=1^2=1.
Sonuç: (x-2)^2+(y+1)^2=1.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

Merkezi M(3,5) ve yarıçapı 4 olan çemberin denklemini yaz.

  1. (x-3)^2+(y-5)^2=4^2.
  2. (x-3)^2+(y-5)^2=16.
Sonuç: (x-3)^2+(y-5)^2=16.
Örnek
Soru

(x-5)^2+(y+2)^2=81 çemberinin merkezini ve yarıçapını bul.

  1. Merkez: M(5,-2).
  2. r=\sqrt{81}=9.
Sonuç: Merkez M(5,-2), r=9.
Örnek
Soru

Merkezi orijinde olan ve A(6,8) noktasından geçen çemberin denklemini yaz.

  1. r^2=6^2+8^2=36+64=100.
  2. x^2+y^2=100.
Sonuç: x^2+y^2=100.
Örnek
Soru

Merkezi M(-2,4) olan ve A(1,8) noktasından geçen çemberin denklemini yaz.

  1. r^2=(1-(-2))^2+(8-4)^2=3^2+4^2=25.
  2. (x+2)^2+(y-4)^2=25.
Sonuç: (x+2)^2+(y-4)^2=25.
Örnek
Soru

x^2+y^2-10x+6y+18=0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bul.

  1. Grupla: (x^2-10x)+(y^2+6y)=-18.
  2. Kareye tamamla: 25 ve 9 ekle: (x-5)^2+(y+3)^2=-18+25+9=16.
  3. Merkez M(5,-3), r=4.
Sonuç: Merkez M(5,-3), r=4.
Örnek
Soru

Bir çemberin çapının uçları A(0,0) ve B(6,8)'dir. Çemberin denklemini yaz.

  1. Merkez: M=\left(\dfrac{0+6}{2},\dfrac{0+8}{2}\right)=(3,4).
  2. r^2=(3-0)^2+(4-0)^2=9+16=25.
  3. (x-3)^2+(y-4)^2=25.
Sonuç: (x-3)^2+(y-4)^2=25.
Örnek
Soru

P(5,1) noktası (x-2)^2+(y+3)^2=20 çemberine göre hangi bölgededir?

Noktayı sol tarafa koy; çıkan değeri r^2=20 ile karşılaştır.

  1. Sol tarafa koy: (5-2)^2+(1+3)^2=3^2+4^2=9+16=25.
  2. Karşılaştır: 25>20.
  3. Değer r^2'den büyük olduğundan nokta çemberin dışındadır.
Sonuç: Çemberin dışında (25>20).
Örnek
Soru

Merkezi M(-3,4) olan ve y eksenine teğet olan çemberin denklemini yaz.

y eksenine teğet bir çemberde yarıçap, merkezin y eksenine uzaklığı olan |a|'ya eşittir.

  1. y eksenine uzaklık: r=|-3|=3.
  2. Denklem: (x+3)^2+(y-4)^2=9.
Sonuç: (x+3)^2+(y-4)^2=9.
Örnek
Soru

x^2+y^2-4x-6y-3=0 çemberinin alanını bulunuz. (\pi cinsinden yazınız.)

Önce kareye tamamlayıp yarıçapı bul; alan \pi r^2'dir.

  1. Grupla: (x^2-4x)+(y^2-6y)=3.
  2. Kareye tamamla: 4 ve 9 ekle: (x-2)^2+(y-3)^2=3+4+9=16.
  3. r^2=16\Rightarrow r=4.
  4. Alan: \pi r^2=\pi\cdot 16=16\pi.
Sonuç: 16\pi.
Örnek
Soru

M(1,-2) merkezli bir çember, 4x^2+4y^2=36 çemberi ile aynı yarıçaplıdır. Bu M merkezli çemberin denklemini yazınız.

Önce verilen denklemi x^2+y^2=r^2 biçimine getirmek için her terimi 4'e böl; oradan r'yi oku.

  1. Verilen denklemi sadeleştir: 4x^2+4y^2=36\Rightarrow x^2+y^2=9, yani r^2=9, r=3.
  2. Aynı yarıçaplı, M(1,-2) merkezli çember: (x-1)^2+(y+2)^2=9.
Sonuç: (x-1)^2+(y+2)^2=9.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Çember denkleminin özü tek bir cümledir: "merkeze uzaklık sabit (r)". Standart biçim (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 sana merkezi ve yarıçapı doğrudan verir; genel biçimle karşılaşınca ilk işin kareye tamamlamak olsun. Yarıçap verilmemişse onu çoğu zaman bir uzaklık (merkez–nokta ya da merkez–eksen) olarak hesaplarsın.

Analitik Geometri — diğer konular