11. Sınıf · Çember ve Daire
Dairede Alan ve Çevre
Bir dairenin çevresi ve alanı, yarıçap r ile \pi sayısından hesaplanır. Bu derste tam dairenin çevre ve alan formüllerini, bir daire diliminin (sektör) alanını ve yay uzunluğunu, ayrıca bir daire kesmesinin (segment) alanını öğreneceğiz. Hepsinin temelinde tek bir fikir var: dilime düşen pay, merkez açının 360°'ye oranıdır. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmasıyla pekiştireceğiz.
1. Dairenin Çevresi ve Alanı
Yarıçapı r olan bir dairede:
\text{Çevre}=2\pi r \qquad\qquad \text{Alan}=\pi r^2
Çap d=2r olduğundan çevre \pi d olarak da yazılır. Problemlerde aksi belirtilmedikçe \pi sembolik bırakılır; bazı sorularda \pi\approx 3 alınması istenir.
Yarıçapı 7 cm olan bir dairenin çevresini ve alanını \pi cinsinden bulunuz.
- Çevre:
2\pi r=2\pi\cdot 7=14\picm. - Alan:
\pi r^2=\pi\cdot 7^2=49\picm².
14\pi cm, alan 49\pi cm².Bir dairenin alanı 36\pi cm² ise yarıçapı kaç cm'dir?
\pi r^2=36\pi denkleminde her iki tarafı \pi'ye böl, sonra karekök al.
\pi r^2=36\pi \Rightarrow r^2=36.r=6cm (yarıçap pozitiftir).
6 cm.2. Yay Uzunluğu
Bir yay, çemberin bir parçasıdır. Merkez açısı \alpha derece olan yayın uzunluğu, tüm çevrenin (2\pi r) o açının 360°'ye oranı kadarıdır:
\ell=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r
Yani \alpha=360° alırsak \ell=2\pi r (tüm çevre) çıkar; bu, formülün mantığını gösterir.
Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde merkez açısı 60° olan yayın uzunluğunu bulunuz.
- Formülü uygula:
\ell=\dfrac{60°}{360°}\cdot 2\pi\cdot 6. - Oranı sadeleştir:
\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}, yani\ell=\dfrac{1}{6}\cdot 12\pi=2\picm.
2\pi cm.3. Daire Dilimi (Sektör) Alanı
Bir daire dilimi, iki yarıçap ve aralarındaki yay ile sınırlanan "pasta dilimi" bölgesidir. Merkez açısı \alpha olan dilimin alanı, tüm daire alanının (\pi r^2) açıya düşen oranıdır:
A_{\text{dilim}}=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2
\alpha olan taranmış daire dilimi (sektör). Alanı, tüm dairenin \dfrac{\alpha}{360°} katıdır.Yarıçapı 6 cm olan bir dairede merkez açısı 90° olan dilimin alanını bulunuz.
90°, tam dairenin dörtte biridir: \dfrac{90}{360}=\dfrac14.
- Tüm daire alanı:
\pi\cdot 6^2=36\picm². - Dilim oranı:
\dfrac{90°}{360°}=\dfrac14. - Dilim alanı:
\dfrac14\cdot 36\pi=9\picm².
9\pi cm².Yay uzunluğu biliniyorsa dilim alanını şöyle de yazabiliriz: A_{\text{dilim}}=\dfrac{\ell\cdot r}{2}. (İkisi de aynı \dfrac{\alpha}{360°} oranından gelir.)
4. Daire Kesmesi (Segment) Alanı
Bir daire kesmesi, bir kiriş ile o kirişin kapattığı yay arasında kalan bölgedir. Alanı, dilim alanından, yarıçapların oluşturduğu üçgenin alanını çıkararak bulunur:
A_{\text{kesme}}=A_{\text{dilim}}-A_{\text{üçgen}}
Burada üçgen, merkez ile kirişin uç noktalarının oluşturduğu ikizkenar üçgendir; tepe açısı \alpha, iki kenarı r olduğundan alanı \dfrac12 r^2\sin\alpha'dır.
Yarıçapı 4 cm olan bir dairede merkez açısı 90° olan kirişin ayırdığı küçük daire kesmesinin alanını bulunuz.
Önce 90°'lik dilimin alanını bul; sonra dik kenarları r=4 olan dik üçgenin alanını çıkar.
- Dilim alanı:
\dfrac{90°}{360°}\cdot \pi\cdot 4^2=\dfrac14\cdot 16\pi=4\picm². - Üçgen alanı (
\alpha=90°olduğundan dik üçgen, dik kenarlarır=4):\dfrac12\cdot 4\cdot 4=8cm². - Kesme alanı:
4\pi-8cm².
(4\pi-8) cm².Çözümlü Örnekler
Çevresi 20\pi cm olan bir dairenin alanını bulunuz.
Önce çevreden yarıçapı çek: 2\pi r=20\pi.
- Çevreden yarıçap:
2\pi r=20\pi \Rightarrow r=10cm. - Alan:
\pi r^2=\pi\cdot 10^2=100\picm².
100\pi cm².Yarıçapı 9 cm olan bir dairede merkez açısı 120° olan dilimin alanını bulunuz.
- Tüm alan:
\pi\cdot 9^2=81\picm². - Oran:
\dfrac{120°}{360°}=\dfrac13. - Dilim:
\dfrac13\cdot 81\pi=27\picm².
27\pi cm².Yarıçapı 10 cm olan bir çemberde uzunluğu 4\pi cm olan bir yayın merkez açısı kaç derecedir?
\ell=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r formülünde \alpha'yı yalnız bırak.
- Formül:
4\pi=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi\cdot 10=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 20\pi. \pi'leri sadeleştir:4=\dfrac{20\alpha}{360}=\dfrac{\alpha}{18}.\alpha=4\cdot 18=72°.
72°.Bir daire diliminin merkez açısı 45° ve alanı 2\pi cm² ise dairenin yarıçapı kaç cm'dir?
\dfrac{45}{360}=\dfrac18; \dfrac18\pi r^2=2\pi denkleminden r'yi çek.
- Dilim alanı:
\dfrac{45°}{360°}\cdot \pi r^2=\dfrac18\pi r^2. - Eşitle:
\dfrac18\pi r^2=2\pi \Rightarrow r^2=16. r=4cm.
4 cm.Yarıçapı 6 cm olan bir dairede merkez açısı 60° olan kesmenin (segment) alanını bulunuz.
60°'lik dilimden, kenarları r=6 ve aralarındaki açı 60° olan üçgeni çıkar; bu üçgen eşkenardır, alanı \dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 6^2.
- Dilim alanı:
\dfrac{60°}{360°}\cdot \pi\cdot 6^2=\dfrac16\cdot 36\pi=6\picm². - Üçgen: iki kenarı
6ve aralarındaki açı60°olan üçgen eşkenardır; alanı\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 6^2=9\sqrt3cm². - Kesme:
6\pi-9\sqrt3cm².
(6\pi-9\sqrt3) cm².Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin çevresini ve alanını \pi cinsinden bul.
- Çevre:
2\pi\cdot 5=10\picm. - Alan:
\pi\cdot 5^2=25\picm².
10\pi cm, alan 25\pi cm².Çevresi 16\pi cm olan bir dairenin yarıçapı kaç cm'dir?
2\pi r=16\pi \Rightarrow r=8cm.
8 cm.Yarıçapı 12 cm olan bir çemberde merkez açısı 30° olan yayın uzunluğu kaçtır?
\ell=\dfrac{30°}{360°}\cdot 2\pi\cdot 12=\dfrac{1}{12}\cdot 24\pi=2\picm.
2\pi cm.Yarıçapı 8 cm olan bir dairede merkez açısı 45° olan dilimin alanı kaçtır?
- Tüm alan:
\pi\cdot 8^2=64\picm². - Oran:
\dfrac{45°}{360°}=\dfrac18. - Dilim:
\dfrac18\cdot 64\pi=8\picm².
8\pi cm².Bir daire diliminin merkez açısı 72° ve yarıçapı 5 cm ise alanı kaçtır?
- Oran:
\dfrac{72°}{360°}=\dfrac15. - Tüm alan:
\pi\cdot 5^2=25\picm². - Dilim:
\dfrac15\cdot 25\pi=5\picm².
5\pi cm².Yarıçapı 9 cm olan bir çemberde uzunluğu 3\pi cm olan yayın merkez açısı kaç derecedir?
3\pi=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi\cdot 9=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 18\pi.3=\dfrac{18\alpha}{360}=\dfrac{\alpha}{20}\Rightarrow \alpha=60°.
60°.Bir daire diliminin alanı 12\pi cm² ve yarıçapı 6 cm ise merkez açısı kaç derecedir?
A=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2 formülünde \alpha'yı yalnız bırak.
- Tüm alan:
\pi\cdot 6^2=36\picm². 12\pi=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 36\pi \Rightarrow \dfrac{12}{36}=\dfrac{\alpha}{360}\Rightarrow \dfrac13=\dfrac{\alpha}{360}.\alpha=120°.
120°.Yarıçapı 10 cm olan bir dairede merkez açısı 90° olan kirişin ayırdığı küçük kesmenin alanı kaçtır?
90°'lik dilim alanından, dik kenarları r=10 olan dik üçgenin alanını çıkar.
- Dilim:
\dfrac{90°}{360°}\cdot \pi\cdot 10^2=\dfrac14\cdot 100\pi=25\picm². - Üçgen (
90°açı, dik kenarlarr=10):\dfrac12\cdot 10\cdot 10=50cm². - Kesme:
25\pi-50cm².
(25\pi-50) cm².Bir daire diliminin yay uzunluğu 6\pi cm ve yarıçapı 9 cm ise dilimin alanı kaçtır?
Dilim alanı yay uzunluğu ile A=\dfrac{\ell\cdot r}{2} biçiminde de yazılır.
- Formülü kullan:
A=\dfrac{\ell\cdot r}{2}=\dfrac{6\pi\cdot 9}{2}. =\dfrac{54\pi}{2}=27\picm².
27\pi cm².Bir tarla, yarıçapı 20 m olan çeyrek daire (90°) biçimindedir. Tarlanın çevresini \pi cinsinden bulunuz (iki yarıçap + yay).
Çeyrek dairenin çevresi, iki yarıçap (r+r) ile 90°'lik yay uzunluğunun toplamıdır.
- İki yarıçap:
20+20=40m. - Yay uzunluğu:
\dfrac{90°}{360°}\cdot 2\pi\cdot 20=\dfrac14\cdot 40\pi=10\pim. - Toplam çevre:
40+10\pim.
(40+10\pi) m.Sık Yapılan Hatalar
- Çevre ile alan formülünü karıştırmak. Çevre
2\pi r(uzunluk,r'nin 1. kuvveti), alan\pi r^2(yüzey,r'nin 2. kuvveti). - Oranı
360°yerine180°'ye bölmek. Hem yay uzunluğunda hem dilim alanında pay\dfrac{\alpha}{360°}'dir; tam tur360°'dir. - Kesme alanında üçgeni çıkarmayı unutmak. Daire kesmesi = dilim
-üçgen; dilimin kendisiyle karıştırma. - Çeyrek/yarım daire çevresinde yarıçapları eklemeyi atlamak. Bir dilimin çevresi, yay uzunluğuna iki yarıçapı da eklemeyi gerektirir.
Not: Daire dilimi ve yayda her şey tek bir orana dayanır:
\dfrac{\alpha}{360°}. Yay uzunluğu bu oranın2\pi rile, dilim alanı ise\pi r^2ile çarpımıdır. Kesme alanı için dilimden üçgeni çıkarmayı unutma.