çözümebak

AYT Matematik · Analitik Geometri

Doğrunun Analitik İncelenmesi

~10 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

Analitik geometri, doğruları sayılarla konuşturur: bir doğruyu eğimi ve bir noktasıyla tam olarak tanımlayabilir, iki doğrunun paralel mi dik mi olduğunu eğimlerine bakarak söyleyebilir, noktalar ve doğrular arasındaki uzaklıkları formülle hesaplayabiliriz. Bu konu, AYT'de hem tek başına hem de fonksiyon ve çember sorularının içinde sürekli karşımıza çıkan zemini kurar.

1. Eğim ve Doğru Denklemi

Bir doğru üzerindeki farklı A(x_1,y_1) ve B(x_2,y_2) noktaları için eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır:

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\qquad (x_1\neq x_2)

Eğim doğrunun ne kadar "dik" gittiğini ölçer: m>0 ise doğru yükselir, m<0 ise alçalır, m=0 ise yataydır. Düşey doğrularda ise eğim tanımsızdır (payda sıfır olur).

Bir doğrunun denklemini iki temel biçimde yazarız:

BiçimDenklemNe zaman kullanılır
Eğim–kesişimy=mx+nEğim m ve y eksenini kestiği n biliniyorsa
Nokta–eğimy-y_1=m(x-x_1)Bir nokta (x_1,y_1) ve eğim m biliniyorsa
xyΔx = 3Δy = 6A(1, 2)B(4, 8)
Şekil 1 — A(1,2) ve B(4,8) noktalarından geçen doğru. Kesik çizgili eğim üçgeni \Delta x=3 ve \Delta y=6 olduğunu, dolayısıyla eğimin m=\dfrac{6}{3}=2 olduğunu gösterir.

2. Paralel ve Dik Doğrular

İki doğrunun birbirine göre konumu, eğimleri arasındaki ilişkiyle belirlenir:

\textbf{Paralel:}\quad m_1=m_2 \qquad\qquad \textbf{Dik:}\quad m_1\cdot m_2=-1

Dik doğrularda eğimlerden biri diğerinin negatif tersidir: m_2=-\dfrac{1}{m_1}.

3. Uzaklık Formülleri

İki nokta arası uzaklık, Pisagor teoreminin doğrudan sonucudur:

|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Nokta–doğru uzaklığı: ax+by+c=0 doğrusu ile P(x_0,y_0) noktası arasındaki en kısa (dik) uzaklık:

d=\dfrac{\lvert a x_0+b y_0+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}

Paydadaki \sqrt{a^2+b^2}, doğrunun normal vektörünün boyudur; paydaki mutlak değer ise uzaklığın daima pozitif çıkmasını sağlar.

4. Öğretici Örnekler

Örnek
Soru

A(1,2) ve B(4,8) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

  1. Eğim formülünü yaz: m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

  2. Değerleri yerleştir: m=\dfrac{8-2}{4-1}=\dfrac{6}{3}.

  3. Sadeleştir: m=2.

Sonuç: m=2
Örnek
Soru

A(0,1) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini yazınız.

  1. Nokta–eğim biçimini kullan: y-y_1=m(x-x_1).

  2. m=2, (x_1,y_1)=(0,1) yerleştir: y-1=2(x-0).

  3. Düzenle: y=2x+1.

Sonuç: y=2x+1
Örnek
Soru

y=2x+1 doğrusuna paralel olan ve (0,3) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

  1. Paralel doğruların eğimleri eşittir: m=2.

  2. (0,3) noktası y eksenini kestiği yer olduğundan n=3.

  3. Eğim–kesişim biçimi: y=2x+3.

Sonuç: y=2x+3
Örnek
Soru

y=2x+1 doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?

  1. Dik doğrularda m_1\cdot m_2=-1.

  2. m_1=2 olduğundan 2\cdot m_2=-1.

  3. Çöz: m_2=-\dfrac{1}{2}.

Sonuç: m_2=-\dfrac{1}{2}
Örnek
Soru

A(1,2) ve B(4,6) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

  1. Uzaklık formülünü yaz: |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

  2. Farkları hesapla: x_2-x_1=3, y_2-y_1=4.

  3. Yerleştir: |AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Sonuç: |AB|=5
Örnek
Soru

3x+4y-10=0 doğrusunun P(1,2) noktasına uzaklığını bulunuz.

  1. Nokta–doğru uzaklığı formülünü yaz: d=\dfrac{\lvert a x_0+b y_0+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}.

  2. Katsayıları belirle: a=3, b=4, c=-10; nokta (x_0,y_0)=(1,2).

  3. Payı hesapla: \lvert 3\cdot 1+4\cdot 2-10\rvert=\lvert 3+8-10\rvert=\lvert 1\rvert=1.

  4. Paydayı hesapla: \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.

  5. Böl: d=\dfrac{1}{5}.

Sonuç: d=\dfrac{1}{5}

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

A(-2,5) ve B(2,-3) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Eğim formülünde işaretlere dikkat et: negatif değerleri çıkarırken işaret değişir.

  1. Eğim formülü: m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

  2. Yerleştir: m=\dfrac{-3-5}{2-(-2)}=\dfrac{-8}{4}.

  3. Sadeleştir: m=-2.

Sonuç: m=-2
Örnek
Soru

A(2,1) ve B(5,7) noktalarından geçen doğrunun denklemini y=mx+n biçiminde yazınız.

Önce iki noktadan eğimi bul, sonra nokta–eğim biçimini kullanıp y=mx+n hâline getir.

  1. Eğimi bul: m=\dfrac{7-1}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2.

  2. Nokta–eğim biçimi (A(2,1) ile): y-1=2(x-2).

  3. Düzenle: y-1=2x-4 \Rightarrow y=2x-3.

Sonuç: y=2x-3
Örnek
Soru

2x-y+3=0 doğrusuna dik olan ve (4,1) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Önce verilen doğruyu y=mx+n biçimine getirip eğimini oku; dik doğrunun eğimi bunun negatif tersidir.

  1. Verilen doğruyu çöz: 2x-y+3=0 \Rightarrow y=2x+3, yani m_1=2.

  2. Dik doğrunun eğimi negatif terstir: m_2=-\dfrac{1}{2}.

  3. Nokta–eğim biçimi ((4,1) ile): y-1=-\dfrac{1}{2}(x-4).

  4. Düzenle: y-1=-\dfrac{1}{2}x+2 \Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}x+3.

Sonuç: y=-\dfrac{1}{2}x+3
Örnek
Soru

A(-1,2) ve B(2,6) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Farkları kareye alırken işaretten bağımsız olarak sonuç pozitif çıkar; acele edip kareyi unutma.

  1. Uzaklık formülü: |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

  2. Farklar: x_2-x_1=2-(-1)=3, y_2-y_1=6-2=4.

  3. Yerleştir: |AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Sonuç: |AB|=5
Örnek
Soru

5x-12y+26=0 doğrusunun orijine (O(0,0)) uzaklığını bulunuz.

Orijinde x_0=y_0=0 olduğundan formülün payında yalnızca c sabiti kalır.

  1. Formülü yaz: d=\dfrac{\lvert a x_0+b y_0+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}.

  2. a=5, b=-12, c=26 ve (x_0,y_0)=(0,0) yerleştir: pay =\lvert 5\cdot 0-12\cdot 0+26\rvert=26.

  3. Paydayı hesapla: \sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.

  4. Böl: d=\dfrac{26}{13}=2.

Sonuç: d=2
Örnek
Soru

3x-4y+12=0 doğrusunun x ekseni ve y ekseni ile kesişim noktalarını bulunuz.

x eksenini kestiği yerde y=0, y eksenini kestiği yerde x=0 olur.

  1. x kesişimi için y=0 koy: 3x+12=0 \Rightarrow x=-4. Nokta: (-4,0).

  2. y kesişimi için x=0 koy: -4y+12=0 \Rightarrow y=3. Nokta: (0,3).

  3. Doğru x eksenini (-4,0), y eksenini (0,3) noktasında keser.

Sonuç: x kesişimi (-4,0), y kesişimi (0,3)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

4x-3y+5=0 doğrusuna dik olan ve A(2,1) noktasından geçen d doğrusu çiziliyor.

Buna göre d doğrusunun orijine uzaklığı kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) \dfrac{12}{5} · D) 3 · E) \dfrac{16}{5}

  1. Verilen doğrunun eğimi: 4x-3y+5=0 \Rightarrow m_1=-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{4}{-3}=\dfrac{4}{3}.

  2. d buna dik olduğundan eğimi negatif terstir: m_2=-\dfrac{3}{4}.

  3. A(2,1) noktasından nokta–eğim biçimi: y-1=-\dfrac{3}{4}(x-2).

  4. Düzenle: 4y-4=-3x+6 \Rightarrow 3x+4y-10=0.

  5. Orijinin bu doğruya uzaklığı: d=\dfrac{\lvert 3\cdot 0+4\cdot 0-10\rvert}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{10}{5}=2.

Sonuç: B) 2
Örnek
Soru

Köşeleri A(1,1), B(5,1) ve C(3,6) olan bir üçgen koordinat düzleminde veriliyor.

Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?

A) 8 · B) 9 · C) 10 · D) 12 · E) 15

  1. Koordinatlarla üçgen alanı formülü: S=\dfrac{1}{2}\lvert x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\rvert.

  2. Değerleri yerleştir: S=\dfrac{1}{2}\lvert 1(1-6)+5(6-1)+3(1-1)\rvert.

  3. Hesapla: S=\dfrac{1}{2}\lvert -5+25+0\rvert=\dfrac{1}{2}\cdot 20.

  4. Sonuç: S=10.

Sonuç: C) 10
Örnek
Soru

(k-1)x+3y-7=0 doğrusu, 2x+y+4=0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre k kaçtır?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 8

  1. ax+by+c=0 biçiminde eğim m=-\dfrac{a}{b}'dir.

  2. Birinci doğrunun eğimi: m_1=-\dfrac{k-1}{3}.

  3. İkinci doğrunun eğimi: m_2=-\dfrac{2}{1}=-2.

  4. Paralellik koşulu m_1=m_2: -\dfrac{k-1}{3}=-2 \Rightarrow k-1=6.

  5. Çöz: k=7.

Sonuç: D) 7
Örnek
Soru

Bir d doğrusu A(0,6) ve B(8,0) noktalarından geçmektedir. Orijinden d doğrusuna inilen dikmenin ayağı H noktasıdır.

Buna göre |OH| kaç birimdir?

A) \dfrac{12}{5} · B) \dfrac{18}{5} · C) \dfrac{24}{5} · D) 5 · E) \dfrac{28}{5}

  1. d doğrusunun denklemi (eksenleri kesim biçiminden): \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{6}=1.

  2. Paydaları eşitle (24 ile çarp): 3x+4y=24, yani 3x+4y-24=0.

  3. |OH|, orijinin bu doğruya uzaklığıdır: |OH|=\dfrac{\lvert 3\cdot 0+4\cdot 0-24\rvert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}.

  4. Hesapla: |OH|=\dfrac{24}{\sqrt{25}}=\dfrac{24}{5}.

Sonuç: C) \dfrac{24}{5}
Örnek
Soru

d_1:\ 3x-4y+12=0 ve d_2:\ 3x-4y-8=0 doğruları birbirine paraleldir.

Buna göre d_1 ile d_2 arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) 5 · E) 6

  1. Paralel doğrular arası uzaklık için d_1 üzerinde bir nokta seç. x=0 alırsak -4y+12=0\Rightarrow y=3, yani P(0,3)\in d_1.

  2. Bu noktanın d_2:\ 3x-4y-8=0 doğrusuna uzaklığını al: d=\dfrac{\lvert 3\cdot 0-4\cdot 3-8\rvert}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}.

  3. Payı hesapla: \lvert 0-12-8\rvert=\lvert -20\rvert=20.

  4. Böl: d=\dfrac{20}{5}=4.

Sonuç: C) 4
Örnek
Soru

A(-1,4) ve B(5,-2) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasının orta dikmesi (orta noktasından geçip [AB]'ye dik olan doğru) y eksenini hangi noktada keser?

A) (0,-1) · B) (0,0) · C) (0,1) · D) (0,2) · E) (0,3)

  1. Orta nokta: M=\left(\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{4+(-2)}{2}\right)=(2,1).

  2. [AB] eğimi: m_{AB}=\dfrac{-2-4}{5-(-1)}=\dfrac{-6}{6}=-1.

  3. Orta dikmenin eğimi negatif terstir: m=-\dfrac{1}{-1}=1.

  4. M(2,1)'den geçen orta dikme: y-1=1\cdot(x-2)\Rightarrow y=x-1.

  5. y eksenini kestiği yerde x=0: y=-1, yani nokta (0,-1).

Sonuç: A) (0,-1)
Örnek
Soru

Eğimi -2 olan bir d doğrusu, koordinat eksenleriyle birlikte alanı 9 birim kare olan bir üçgen oluşturmaktadır.

d doğrusunun y eksenini pozitif yarıda kestiği bilindiğine göre, d doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) 3 · B) 4 · C) 5 · D) 6 · E) 9

  1. Doğruyu y=-2x+n biçiminde yaz (n>0 veriliyor).

  2. y kesişimi (0,n); x kesişimi için 0=-2x+n\Rightarrow x=\dfrac{n}{2}, yani \left(\dfrac{n}{2},0\right).

  3. Eksenlerle oluşan dik üçgenin alanı: S=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{n}{2}\right|\cdot|n|=\dfrac{n^{2}}{4}.

  4. \dfrac{n^{2}}{4}=9\Rightarrow n^{2}=36\Rightarrow n=6 (pozitif kök seçilir).

Sonuç: D) 6

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Doğru denklemi ax+by+c=0 biçiminde verildiğinde eğim doğrudan m=-\dfrac{a}{b} formülüyle okunabilir. Bu, denklemi her seferinde y=mx+n hâline çevirmekten daha hızlıdır. Paralellik/diklik sorularında bu kısayol çok zaman kazandırır: örneğin 3x+4y-10=0 doğrusunun eğimi anında -\dfrac{3}{4} olarak bulunur.

Analitik Geometri — diğer konular