çözümebak

TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme

EBOB ve EKOK

~10 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki ya da daha çok sayıyı birlikte bölünebilme ve ortak kat olma açısından ilişkilendirir. TYT'de bu konu hem doğrudan hesap sorularıyla hem de "en büyük eşit parça", "tekrar birlikte" gibi günlük problemlerle gelir. Anahtar, asal çarpan yöntemini doğru kullanmak ve probleme hangi kavramın gerektiğine doğru karar vermektir.

EBOB ve EKOK Tanımı

EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki ya da daha çok sayıyı aynı anda (kalansız) bölen sayıların en büyüğüdür.

EKOK (En Küçük Ortak Kat): Verilen sayıların hepsinin ortak katı olan pozitif sayıların en küçüğüdür.

Asal Çarpan Yöntemi

Önce her sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Ardından:

KavramKural
EBOBOrtak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımı
EKOKTüm asal çarpanların en büyük üslerinin çarpımı

Örneğin 12=2^{2}\cdot 3 ve 18=2\cdot 3^{2} için ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür:

\text{EBOB}(12,18)=2^{1}\cdot 3^{1}=6,\qquad \text{EKOK}(12,18)=2^{2}\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36

EBOB'da her ortak çarpanın en küçük üssü (2^{1}, 3^{1}), EKOK'ta görünen tüm çarpanların en büyük üssü (2^{2}, 3^{2}) alınır.

Aşağıdaki Venn şeması bu mantığı görselleştirir: iki sayının ortak asal çarpanları kesişimde toplanır (bu kısım EBOB'u verir), tüm çarpanların birleşimi ise EKOK'u verir.

48 = 2⁴·372 = 2³·3²22³·3(EBOB)3EBOB = 2³·3 = 24EKOK = 2⁴·3² = 144
Şekil 1 — 48=2^{4}\cdot 3 ve 72=2^{3}\cdot 3^{2} sayılarının asal çarpanları. Kesişimdeki ortak kısım 2^{3}\cdot 3=\text{EBOB}=24; tüm çarpanların birleşimi 2^{4}\cdot 3^{2}=\text{EKOK}=144'tür.

EBOB · EKOK İlişkisi

İki sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı, sayıların çarpımına eşittir:

\text{EBOB}(a,b)\cdot \text{EKOK}(a,b)=a\cdot b

Yukarıdaki örnekte doğrulayalım: 6\cdot 36=216 ve 12\cdot 18=216. Eşitlik sağlanır.

Dikkat: Bu kural yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç ya da daha çok sayıda \text{EBOB}\cdot\text{EKOK} çarpımı, sayıların çarpımına eşit olmak zorunda değildir.

Aralarında Asal Sayılar

\text{EBOB}(a,b)=1 ise a ile b aralarında asaldır (ortak asal çarpanları yoktur). Bu durumda yukarıdaki ilişkiden:

\text{EKOK}(a,b)=\frac{a\cdot b}{1}=a\cdot b

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

24 ile 36 sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.

  1. Asal çarpanlara ayır: 24=2^{3}\cdot 3 ve 36=2^{2}\cdot 3^{2}.

  2. EBOB için ortak çarpanların en küçük üsleri: 2^{2}\cdot 3^{1}=4\cdot 3=12.

  3. EKOK için tüm çarpanların en büyük üsleri: 2^{3}\cdot 3^{2}=8\cdot 9=72.

  4. Doğrula: \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=12\cdot 72=864 ve 24\cdot 36=864. Eşit.

Sonuç: \text{EBOB}(24,36)=12, \text{EKOK}(24,36)=72.
Örnek
Soru

İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 72'dir. Sayılardan biri 24 ise diğeri kaçtır?

İki sayı için \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b ilişkisini kullan.

  1. İlişkiyi yaz: \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b.

  2. Bilinenleri yerleştir: 6\cdot 72=24\cdot b, yani 432=24\cdot b.

  3. b'yi çöz: b=\dfrac{432}{24}=18.

  4. Kontrol: \text{EBOB}(24,18)=6 ve \text{EKOK}(24,18)=72 olduğundan tutarlı.

Sonuç: Diğer sayı 18'dir.
Örnek
Soru

\text{EBOB}(8,15) ve \text{EKOK}(8,15) değerlerini bulunuz.

  1. Asal çarpanlara ayır: 8=2^{3} ve 15=3\cdot 5.

  2. Ortak asal çarpan yok, dolayısıyla \text{EBOB}(8,15)=1. Sayılar aralarında asaldır.

  3. Aralarında asal olduklarından \text{EKOK}(8,15)=8\cdot 15=120.

Sonuç: \text{EBOB}=1, \text{EKOK}=120.
Örnek
Soru

Boyutları 12 cm ve 18 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir karton, hiç artık kalmadan eş karelere bölünecektir. En büyük bu karelerin bir kenarı kaç cm olur?

"En büyük eşit parça" → EBOB. Kenar uzunluğu hem 12'yi hem 18'i tam bölmelidir.

  1. Karenin kenarı a ise, a sayısı hem 12'yi hem 18'i kalansız bölmelidir; yani a bunların ortak bölenidir.

  2. Kareler en büyük olacağından a, ortak bölenlerin en büyüğü olmalıdır: a=\text{EBOB}(12,18).

  3. 12=2^{2}\cdot 3, 18=2\cdot 3^{2} olduğundan \text{EBOB}=2\cdot 3=6.

  4. Kenar 6 cm olur; karton \dfrac{12}{6}\cdot\dfrac{18}{6}=2\cdot 3=6 kareye bölünür.

Sonuç: Karenin kenarı 6 cm'dir.
Örnek
Soru

İki uyarı ışığından biri 12 saniyede bir, diğeri 18 saniyede bir yanıp sönüyor. Aynı anda yandıktan sonra ilk kez kaç saniye sonra yine birlikte yanarlar?

"Tekrar/aynı anda birlikte" → EKOK. Aranan an, hem 12'nin hem 18'in ortak katıdır.

  1. Birinci ışık 12, 24, 36,\dots saniyelerde; ikincisi 18, 36, 54,\dots saniyelerde yanar.

  2. Birlikte yanmaları için geçen süre, 12 ile 18'in ortak katı olmalıdır.

  3. İlk (en küçük) ortak an: \text{EKOK}(12,18)=2^{2}\cdot 3^{2}=36 saniye.

  4. Gerçekten 36, hem 12'nin (3 kat) hem 18'in (2 kat) katıdır.

Sonuç: 36 saniye sonra yeniden birlikte yanarlar.
Örnek
Soru

\text{EKOK}(a,12)=60 ve \text{EBOB}(a,12)=3 olduğuna göre a kaçtır?

  1. İki sayı için \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot 12 ilişkisini kullan.

  2. Yerleştir: 3\cdot 60=a\cdot 12, yani 180=12a.

  3. Çöz: a=\dfrac{180}{12}=15.

  4. Kontrol: 15=3\cdot 5 ve 12=2^{2}\cdot 3; \text{EBOB}=3, \text{EKOK}=2^{2}\cdot 3\cdot 5=60. Tutarlı.

Sonuç: a=15.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

30, 45 ve 75 sayılarının EBOB'unu bulunuz.

  1. Asal çarpanlara ayır: 30=2\cdot 3\cdot 5, 45=3^{2}\cdot 5, 75=3\cdot 5^{2}.

  2. Üçünde de ortak asal çarpanlar 3 ve 5'tir.

  3. Ortak çarpanların en küçük üsleri: 3^{1}\cdot 5^{1}=15.

Sonuç: \text{EBOB}(30,45,75)=15.
Örnek
Soru

\dfrac{2}{15}, \dfrac{4}{9} ve \dfrac{8}{45} kesirlerini eşit paydalı yapmak için kullanılacak en küçük ortak payda kaçtır?

Paydaların EKOK'u en küçük ortak paydayı verir.

  1. Paydaları asal çarpanlara ayır: 15=3\cdot 5, 9=3^{2}, 45=3^{2}\cdot 5.

  2. EKOK için tüm çarpanların en büyük üsleri: 3^{2}\cdot 5=9\cdot 5=45.

  3. Demek ki en küçük ortak payda 45'tir.

Sonuç: 45.
Örnek
Soru

Hem 4'e hem 6'ya bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük üç basamaklı sayı kaçtır?

Önce 4 ve 6'nın katlarını bul, sonra 2 ekle.

  1. Aranan sayı 4k+2 ve 6m+2 biçimindedir; yani sayıdan 2 çıkarınca hem 4'e hem 6'ya tam bölünür.

  2. 4 ve 6'nın ortak katları \text{EKOK}(4,6)=12'nin katlarıdır: 12,24,36,\dots

  3. Sayı 12t+2 biçimindedir. En küçük üç basamaklı değer için 12t+2\geq 100, yani 12t\geq 98, t\geq 8{,}1\dots olur; t=9.

  4. 12\cdot 9+2=108+2=110. Kontrol: 110-2=108, 108=4\cdot 27=6\cdot 18.

Sonuç: 110.
Örnek
Soru

Aralarındaki oran \dfrac{3}{4} olan iki sayının EKOK'u 96'dır. Bu sayıların toplamı kaçtır?

Oran sade ise sayıları 3k ve 4k al; 3 ile 4 aralarında asaldır.

  1. Oran \dfrac{3}{4} sade olduğundan sayıları 3k ve 4k yaz; k bunların EBOB'udur.

  2. 3 ile 4 aralarında asal olduğundan \text{EKOK}(3k,4k)=3\cdot 4\cdot k=12k.

  3. 12k=96 olduğundan k=8.

  4. Sayılar 3\cdot 8=24 ve 4\cdot 8=32. Toplamları 24+32=56.

Sonuç: 56.
Örnek
Soru

Bir manav, 48 elma ve 60 armudu, her kasede yalnızca bir tür meyve olacak ve tüm kaseler eşit sayıda meyve içerecek biçimde kaselere dolduracaktır. En az kaç kase kullanır?

Kase başına meyve sayısı hem 48'i hem 60'ı tam bölmeli ve kase sayısı en az olmalı.

  1. Her kasede eşit sayıda meyve olacağından kase başına meyve sayısı hem 48'i hem 60'ı bölmelidir.

  2. Kase sayısı en az olması için her kasedeki meyve en çok olmalı: \text{EBOB}(48,60).

  3. 48=2^{4}\cdot 3, 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5 olduğundan \text{EBOB}=2^{2}\cdot 3=12.

  4. Her kasede 12 meyve olur: elmalar \dfrac{48}{12}=4, armutlar \dfrac{60}{12}=5 kase. Toplam 4+5=9 kase.

Sonuç: 9 kase.
Örnek
Soru

İki sayının EBOB'u 9, EKOK'u 270'tir. Bu iki sayının toplamı en çok kaç olabilir?

Sayıları 9x ve 9y yaz; burada x ile y aralarında asaldır.

  1. EBOB 9 olduğundan sayılar 9x ve 9y biçimindedir ve \text{EBOB}(x,y)=1 (aralarında asal).

  2. Bu durumda \text{EKOK}=9xy=270, yani xy=30.

  3. Çarpımı 30 olan aralarında asal (x,y) ikilileri: (1,30), (2,15), (3,10), (5,6).

  4. Toplam 9x+9y=9(x+y) en büyük olsun diye x+y en büyük olan ikiliyi seç: (1,30) için x+y=31.

  5. Toplam 9\cdot 31=279. (Sayılar 9 ve 270.)

Sonuç: En çok 279.
Örnek
Soru

Bir bisiklet pistinde Ali bir turu 40 saniyede, Veli 50 saniyede, Can 60 saniyede tamamlıyor. Aynı çizgiden aynı anda başlayan üçü, başlangıç çizgisinde ilk kez kaç dakika sonra yine birlikte olur?

"Yine birlikte" → tur sürelerinin EKOK'u. Sonucu dakikaya çevir.

  1. Üçü başlangıçta birlikte olacağı an, 40, 50, 60'ın ortak katı olmalıdır; en küçüğü için EKOK alınır.

  2. Asal çarpanlar: 40=2^{3}\cdot 5, 50=2\cdot 5^{2}, 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5.

  3. EKOK, tüm çarpanların en büyük üsleriyle: 2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}=8\cdot 3\cdot 25=600 saniye.

  4. 600 saniye =\dfrac{600}{60}=10 dakikadır.

Sonuç: 10 dakika sonra.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

İki sınıfın öğrenci sayıları 15 ile 25'tir. Okul yönetimi, her iki sınıftan da eşit ve tam sayıda öğrenci alarak karma bir grup kurmak istiyor; gruptaki öğrenci sayısı her iki sınıf sayısını da tam bölmeli ve mümkün olduğunca büyük olmalıdır.

Buna göre grupta en çok kaç öğrenci olur?

A) 5 · B) 4 · C) 3 · D) 6 · E) 7

  1. İstenen, 15 ile 25'in en büyük ortak böleni: \text{EBOB}(15,25).

  2. 15=3\cdot 5, 25=5^{2} → ortak asal yalnızca 5; \text{EBOB}=5.

Sonuç: A) 5
Örnek
Soru

Üç farklı zil, sırasıyla 12, 18 ve 24 saniyede bir çalıyor. Hepsi aynı anda çaldıktan sonra ilk kez yeniden birlikte çaldıkları anın kaç saniye sonra olduğu soruluyor.

Buna göre bu süre kaç saniyedir?

A) 48 · B) 60 · C) 72 · D) 84 · E) 96

  1. Birlikte çalma süresi EKOK(12,18,24) olmalıdır.

  2. 12=2^{2}\cdot 3, 18=2\cdot 3^{2}, 24=2^{3}\cdot 3 → EKOK =2^{3}\cdot 3^{2}=8\cdot 9=72.

Sonuç: C) 72
Örnek
Soru

Dikdörtgen bir bahçenin kenarları sırasıyla 48 m ve 72 m'dir. Bahçe, kenarları boyunca boşluk kalmayacak şekilde eş kenarlı kare çit bölmelerine ayrılacaktır.

Buna göre bir karenin kenar uzunluğu en çok kaç metredir?

A) 12 · B) 16 · C) 18 · D) 20 · E) 24

  1. Kare kenarı hem 48'i hem 72'yi bölmeli → \text{EBOB}(48,72).

  2. 48=2^{4}\cdot 3, 72=2^{3}\cdot 3^{2} → \text{EBOB}=2^{3}\cdot 3=24.

Sonuç: E) 24
Örnek
Soru

Bir terzi, biri 36 cm, diğeri 48 cm uzunluğunda iki kumaş şeridini hiç artık bırakmadan eşit uzunlukta ve mümkün olan en uzun parçalara kesecektir. Kesilen tüm parçalar bir kutuya konuyor.

Buna göre kutuda toplam kaç parça olur?

A) 5 · B) 6 · C) 7 · D) 8 · E) 9

  1. Parça uzunluğu hem 36'yı hem 48'i bölmeli ve en uzun olmalı → \text{EBOB}(36,48).

  2. 36=2^{2}\cdot 3^{2}, 48=2^{4}\cdot 3 → \text{EBOB}=2^{2}\cdot 3=12 cm.

  3. Parça sayısı: \dfrac{36}{12}+\dfrac{48}{12}=3+4=7.

Sonuç: C) 7
Örnek
Soru

İki makinenin günlük ürettiği parça sayılarının en büyük ortak böleni 8, en küçük ortak katı 240'tır. Makinelerden biri günde 48 parça üretiyorsa diğerinin günlük üretimi soruluyor.

Buna göre diğer makine günde kaç parça üretir?

A) 30 · B) 36 · C) 40 · D) 45 · E) 50

  1. İki sayı için \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b.

  2. Yerleştir: 8\cdot 240=48\cdot b\Rightarrow 1920=48b\Rightarrow b=40.

  3. Kontrol: 48=2^{4}\cdot 3, 40=2^{3}\cdot 5 → \text{EBOB}=8, \text{EKOK}=2^{4}\cdot 3\cdot 5=240. Tutarlı.

Sonuç: C) 40
Örnek
Soru

Bir otogardan üç farklı hat otobüsü sırasıyla 10, 15 ve 20 dakikada bir hareket ediyor. Üç hat aynı anda kalktıktan sonra ilk kez yine aynı anda hareket edecekleri ana kadar geçen süre soruluyor.

Buna göre bu süre kaç dakikadır?

A) 30 · B) 45 · C) 60 · D) 90 · E) 120

  1. "Yine aynı anda" → \text{EKOK}(10,15,20).

  2. 10=2\cdot 5, 15=3\cdot 5, 20=2^{2}\cdot 5 → \text{EKOK}=2^{2}\cdot 3\cdot 5=60.

Sonuç: C) 60

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Problemi anahtar kelimeyle ayır:

İfadeKavram
en çok / en büyük / en fazla eşit ...EBOB
en az / tekrar birlikte / aynı anda / en küçük ortak ...EKOK

"En büyük eş parça, en fazla kişiye eşit paylaştırma" gibi bölme içeren sorular EBOB; "yeniden birlikte, en az kaç ... sonra, ortak tur" gibi kat içeren sorular EKOK ister. İki sayıda hesabı \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b ile hızlıca doğrulayabilirsin.

Sayılar ve Bölünebilme — diğer konular