çözümebak

TYT Matematik · Fonksiyonlar

Fonksiyon Kavramı ve Çeşitleri

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Fonksiyon, iki küme arasında kurallı bir eşlemedir: bir kümedeki her elemanı, diğer kümede bir tek elemana bağlar. TYT'de fonksiyon sorularının tamamı bu tek cümlelik tanımdan türer. Bu konuda fonksiyonun tanımını, üç temel kümeyi (tanım, değer, görüntü) ve fonksiyon çeşitlerini netleştirip f(a) tipi soruları hatasız çözeceğiz.

1. Fonksiyon Tanımı

A ve B iki boş olmayan küme olsun. A'nın her elemanını B'nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya, A'dan B'ye bir fonksiyon denir ve

f:A\to B

biçiminde yazılır. x\in A elemanının eşlendiği B elemanına x'in görüntüsü denir ve f(x) ile gösterilir.

Bir bağıntının fonksiyon olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır:

KoşulAnlamı
Her eleman eşlenmeliA'da açıkta (görüntüsüz) eleman kalamaz
Tek görüntü olmalıBir elemanın iki farklı görüntüsü olamaz

Kısa kural: Tanım kümesindeki her noktadan tam olarak bir ok çıkmalıdır. Hiç ok çıkmayan ya da iki ok çıkan eleman varsa o bağıntı fonksiyon değildir.

2. Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi

f:A\to B fonksiyonunda üç küme ayırt edilir:

KümeTanımıGösterim
Tanım kümesif'in tanımlı olduğu kümedir (A)tüm x değerleri
Değer kümesiGörüntülerin seçildiği kümedir (B)hedef küme
Görüntü kümesiGerçekten oluşan görüntülerin kümesidirB'nin alt kümesi

Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir; eşit olmak zorunda değildir. Bu ayrım, ileride "örten fonksiyon" tanımının temelini oluşturur.

3. Fonksiyon Çeşitleri

ÇeşitTanımıÖrnek
Bire birFarklı elemanların görüntüleri de farklıdırf(x)=2x
ÖrtenGörüntü kümesi = değer kümesiher y\in B kullanılır
İçineEn az bir değer elemanı görüntü olarak çıkmazörten olmayan
SabitHer elemanı tek bir değere eşler, f(x)=cf(x)=5
BirimHer elemanı kendisine eşler, f(x)=xf(3)=3
Doğrusalf(x)=ax+b biçimindedir, a\neq 0f(x)=3x-1

Bir fonksiyon aynı anda birden çok özellik taşıyabilir; örneğin birim fonksiyon f(x)=x hem bire bir hem örtendir.

Örnek
Soru

f(x)=2x+1 fonksiyonu için f(3) ve f(-2) değerlerini bulunuz.

x yerine istenen değeri doğrudan yazarız.

  1. f(3)=2\cdot 3+1=6+1=7.
  2. f(-2)=2\cdot(-2)+1=-4+1=-3.
Sonuç: f(3)=7 ve f(-2)=-3.
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-1 fonksiyonu için f(0) ve f(3) değerlerini bulunuz.

  1. f(0)=0^{2}-1=0-1=-1.
  2. f(3)=3^{2}-1=9-1=8.
Sonuç: f(0)=-1 ve f(3)=8.
Örnek
Soru

f(x)=3x-5 fonksiyonu için f(a)=4 ise a değeri kaçtır?

f(a) ifadesini elde etmek için x yerine a yaz, sonra çıkan denklemi a için çöz.

  1. x yerine a yaz: f(a)=3a-5.
  2. Verilen eşitliği kur: 3a-5=4.
  3. Çöz: 3a=9 \Rightarrow a=3.
Sonuç: a=3.
Örnek
Soru

Doğrusal bir f(x)=ax+b fonksiyonu için f(1)=5 ve f(2)=8 veriliyor. a ve b değerlerini bulunuz.

İki bilinmeyen (a ve b) için iki denklem kur. Denklemleri taraf tarafa çıkarırsan b yok olur.

  1. f(1)=5 \Rightarrow a+b=5.
  2. f(2)=8 \Rightarrow 2a+b=8.
  3. İkinci denklemden birinciyi çıkar: (2a+b)-(a+b)=8-5 \Rightarrow a=3.
  4. a=3 değerini birinciye yaz: 3+b=5 \Rightarrow b=2.
Sonuç: a=3 ve b=2, yani f(x)=3x+2.
Örnek
Soru

A=\{1,2,3\} ve B=\{a,b,c\} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi A'dan B'ye bir fonksiyondur?

R_1=\{(1,a),(1,b),(2,c),(3,a)\}

R_2=\{(1,a),(2,a),(3,c)\}

Her tanım elemanından tam olarak bir ok çıkmalı. Aynı birinci bileşenin iki kez tekrar etmesi, o elemanın iki görüntüsü olduğu anlamına gelir.

  1. R_1 bağıntısında 1 elemanı hem a hem b ile eşlenmiş. Bir elemanın iki görüntüsü olduğundan R_1 fonksiyon değildir.
  2. R_2 bağıntısında 1\to a, 2\to a, 3\to c. Her tanım elemanının tek görüntüsü var (farklı elemanların aynı görüntüye gitmesi sorun değildir). Bu yüzden R_2 bir fonksiyondur.
Sonuç: Yalnızca R_2 bir fonksiyondur.
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3} fonksiyonu hangi x değerinde tanımsızdır?

Rasyonel bir ifadede payda asla 0 olamaz. Paydayı sıfır yapan değeri bul; o değer tanım kümesinden çıkarılır.

  1. Payda sıfır olamaz: x-3\neq 0.
  2. Paydayı sıfır yapan değeri bul: x-3=0 \Rightarrow x=3.
  3. Demek ki fonksiyon x=3'te tanımsızdır; tanım kümesi \mathbb{R}\setminus\{3\} olur.
Sonuç: f fonksiyonu x=3 değerinde tanımsızdır.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-3x+2 fonksiyonu için f(4)-f(1) değeri kaçtır?

  1. f(4)=4^{2}-3\cdot 4+2=16-12+2=6.
  2. f(1)=1^{2}-3\cdot 1+2=1-3+2=0.
  3. Fark: f(4)-f(1)=6-0=6.
Sonuç: 6
Örnek
Soru

f(2x-1)=6x+5 olduğuna göre f(3) değeri kaçtır?

  1. İçerideki ifadeyi 3 yapan x'i bul: 2x-1=3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2.
  2. Bu x değerini sağ tarafta yerine koy: f(3)=6\cdot 2+5=12+5=17.
Sonuç: f(3)=17
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2} fonksiyonu için f(5) değeri kaçtır?

  1. x yerine 5 yaz: f(5)=\dfrac{3\cdot 5+1}{5-2}.
  2. Pay ve paydayı hesapla: \dfrac{15+1}{3}=\dfrac{16}{3}.
Sonuç: f(5)=\dfrac{16}{3}
Örnek
Soru

Gerçek sayılarda tanımlı f(x)=\sqrt{x-4} fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

  1. Karekök içindeki ifade negatif olamaz: x-4\geq 0.
  2. Eşitsizliği çöz: x\geq 4.
  3. Tanım kümesi [4,\infty) aralığıdır.
Sonuç: Tanım kümesi x\geq 4, yani [4,\infty).
Örnek
Soru

f(x)=ax+3 ve f(2)=11 olduğuna göre f(5) değeri kaçtır?

  1. f(2)=11 \Rightarrow 2a+3=11.
  2. a'yı bul: 2a=8 \Rightarrow a=4, yani f(x)=4x+3.
  3. f(5)=4\cdot 5+3=20+3=23.
Sonuç: f(5)=23
Örnek
Soru

f(x)=2x-7 doğrusal fonksiyonu için f(x)=f(-x) eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

  1. f(x)=2x-7 ve f(-x)=2(-x)-7=-2x-7.
  2. Eşitliği kur: 2x-7=-2x-7.
  3. Çöz: 2x+2x=-7+7 \Rightarrow 4x=0 \Rightarrow x=0.
Sonuç: x=0
Örnek
Soru

A=\{-1,0,1,2\} kümesinden gerçek sayılara tanımlı f(x)=x^{2}+1 fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

  1. Her elemanın görüntüsünü hesapla: f(-1)=(-1)^{2}+1=2.
  2. f(0)=0^{2}+1=1 ve f(1)=1^{2}+1=2.
  3. f(2)=2^{2}+1=5.
  4. Tekrar edenleri bir kez yazarak görüntü kümesini oluştur: \{1,2,5\}.
Sonuç: Görüntü kümesi \{1,2,5\}.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir kargo şirketi, bir paketin gönderim ücretini f(x)=3x+20 kuralıyla hesaplıyor; burada x paketin kilogram cinsinden ağırlığı, f(x) ise lira cinsinden ücrettir. Buna göre 4 kg'lık bir paketin ücreti ile 1 kg'lık bir paketin ücreti arasındaki fark kaç liradır?

A) 9 · B) 12 · C) 20 · D) 23 · E) 32

  1. 4 kg için ücret: f(4)=3\cdot 4+20=32 lira.
  2. 1 kg için ücret: f(1)=3\cdot 1+20=23 lira.
  3. Fark: f(4)-f(1)=32-23=9 lira. (Sabit terim 20 farkta sadeleşir; yalnızca 3\cdot(4-1)=9 kalır.)
Sonuç: A) 9
Örnek
Soru

Bir taksi, açılış ücreti ile birlikte gidilen her kilometre için sabit bir tutar ekleyerek ücretlendiriyor ve toplam ücret doğrusal bir f(x)=ax+b fonksiyonuyla veriliyor. 2 km sonunda ücret 34 lira, 5 km sonunda ücret 58 lira olduğuna göre, açılış ücreti (yani f(0)) kaç liradır?

A) 10 · B) 12 · C) 16 · D) 18 · E) 22

  1. Verilenler: 2a+b=34 ve 5a+b=58.
  2. İkinci denklemden birinciyi çıkar: 3a=24\Rightarrow a=8 (km başına ücret).
  3. 2\cdot 8+b=34\Rightarrow b=18. Açılış ücreti f(0)=b=18 liradır.
Sonuç: D) 18
Örnek
Soru

Bir su deposu, g(t)=\dfrac{120}{t-1} kuralıyla modellenen bir basınç değerine sahiptir; burada t saat cinsinden zamandır. Bu modelin geçerli olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir. Buna göre modelin tanımsız olduğu t değeri ile t=4 anındaki basınç değerinin toplamı kaçtır?

A) 40 · B) 41 · C) 42 · D) 43 · E) 44

  1. Payda sıfır olamaz: t-1=0\Rightarrow t=1. Model t=1'de tanımsızdır.
  2. t=4 için basınç: g(4)=\dfrac{120}{4-1}=\dfrac{120}{3}=40.
  3. İstenen toplam: 1+40=41.
Sonuç: B) 41
Örnek
Soru

Bir okulda öğrencilere bir kart dağıtım uygulaması yapılıyor. A=\{\text{Ali},\text{Beren},\text{Can}\} öğrenci kümesinden B=\{\text{kırmızı},\text{mavi}\} renk kümesine, "her öğrenciye tam bir kart rengi" atayan eşlemeler birer fonksiyon kabul ediliyor. Buna göre tüm öğrencilere aynı rengin verilmediği kaç farklı atama (fonksiyon) yapılabilir?

A) 2 · B) 4 · C) 6 · D) 8 · E) 9

Önce toplam fonksiyon sayısını bul; sonra "hepsi aynı renk" olan durumları çıkar.

  1. Her öğrenciye 2 renkten biri verilir; toplam fonksiyon sayısı 2^{3}=8.
  2. "Hepsi aynı renk" durumları: hepsi kırmızı ya da hepsi mavi, yani 2 durum.
  3. İstenen: 8-2=6.
Sonuç: C) 6
Örnek
Soru

Bir fabrikada üretim maliyeti f(x)=2x+5 (bin TL) fonksiyonuyla, satış geliri ise g(x)=4x-1 (bin TL) fonksiyonuyla modelleniyor; x üretilen ürün miktarıdır (bin adet). Kâr, gelir ile maliyetin farkı olarak K(x)=g(x)-f(x) biçiminde tanımlanıyor. Buna göre fabrikanın başabaş noktası (kârın sıfır olduğu x değeri) kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

Önce K(x) fonksiyonunu yaz; sonra K(x)=0 denklemini çöz.

  1. Kâr fonksiyonu: K(x)=g(x)-f(x)=(4x-1)-(2x+5)=2x-6.
  2. Başabaş noktası: K(x)=0\Rightarrow 2x-6=0\Rightarrow x=3.
Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

Bir mağaza, kampanyada bir ürünün fiyatını f(x)=\dfrac{x-3}{2} kuralıyla belirliyor; x ürünün etiket fiyatıdır (TL). Müşteri bir üründe f(x)=12 lira ödediğine göre, bu ürünün etiket fiyatı x kaç liradır?

A) 21 · B) 24 · C) 27 · D) 30 · E) 33

f(x)=12 eşitliğini kur ve x için çöz; payı 2 ile çarpmadan paydadan kurtulma adımını atlama.

  1. Eşitliği kur: \dfrac{x-3}{2}=12.
  2. Paydadan kurtul: x-3=24.
  3. Çöz: x=27.
Sonuç: C) 27

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

f(a)= değer tipi sorularda zaman kaybetmeden a'yı doğrudan kuralda yerine koy; denklem çıkıyorsa onu çöz. "Bu bağıntı fonksiyon mudur?" sorularında ise tek soruya odaklan: her tanım elemanının bir ve yalnız bir görüntüsü var mı? Hiç görüntüsü olmayan ya da iki görüntüsü olan tek bir eleman bile varsa, cevap "fonksiyon değildir".

Fonksiyonlar — diğer konular