çözümebak

AYT Matematik · İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol

İkinci Dereceden Denklemler

~10 dk okumaZorluk: Orta21 çözümlü soru

İkinci dereceden (kuadratik) denklem ax^2+bx+c=0 (a\ne 0) biçimindeki denklemdir ve AYT'nin en sık çıkan konularından biridir. Bu derste denklemi çarpanlara ayırma ile çözmeyi, diskriminant (\Delta) ile kök sayısını yorumlamayı, kök formülünü ve kök–katsayı (Vieta) bağıntılarını adım adım işleyeceğiz.

1. İkinci Dereceden Denklem Nedir?

En yüksek dereceli terimi ikinci dereceden olan denklem ikinci dereceden denklem adını alır:

ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne 0

Burada a baş katsayı, b orta katsayı, c ise sabit terimdir. a\ne 0 koşulu zorunludur; aksi hâlde denklem birinci dereceden (bx+c=0) olurdu. Denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökleri (çözümleri) denir.

2. Çarpanlara Ayırma ile Çözüm

x^2+bx+c=0 biçimindeki (baş katsayısı 1 olan) denklemlerde, çarpımı c, toplamı b olan iki sayı aranır. Genel hâlde (a\ne 1) ise çarpımı a\cdot c, toplamı b olan iki sayı bulunur ve orta terim bu iki parçaya bölünerek gruplama yapılır.

Örnek
Soru

x^2-5x+6=0 denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.

  1. Çarpımı 6, toplamı -5 olan iki sayı ara: bunlar -2 ve -3.

  2. Çarpanlara ayır: x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.

  3. Her çarpanı sıfıra eşitle: x-2=0 \Rightarrow x=2 veya x-3=0 \Rightarrow x=3.

Sonuç: x=2 veya x=3.

3. Diskriminant (\Delta) ve Kök Sayısı

Köklerin sayısını ve türünü, denklemi çözmeden önce diskriminant belirler:

\Delta=b^2-4ac

\Delta değeriKök durumu
\Delta > 0İki farklı reel kök
\Delta = 0Çift (eşit) kök — tek bir reel kök
\Delta < 0Reel kök yok
Örnek
Soru

x^2-4x+4=0 denkleminin köklerini, önce diskriminantı bularak inceleyiniz.

  1. Katsayılar: a=1, b=-4, c=4.

  2. Diskriminant: \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0.

  3. \Delta=0 olduğundan denklemin çift (eşit) kökü vardır. Denklem (x-2)^2=0 biçiminde yazılır.

  4. Tek kök: x=2.

Sonuç: \Delta=0; çift kök x=2.
Örnek
Soru

x^2+x+1=0 denkleminin reel kökü var mıdır?

  1. Katsayılar: a=1, b=1, c=1.

  2. Diskriminant: \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.

  3. \Delta=-3 < 0 olduğundan denklemin reel kökü yoktur.

Sonuç: Reel kök yoktur (\Delta < 0).

4. Kök Formülü

Çarpanlara ayrılamayan denklemler için her zaman geçerli olan genel çözüm kök formülüdür:

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Buradaki \pm işareti iki kökü verir: x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} ve x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}. Tüm payın 2a'ya bölündüğüne dikkat et.

Örnek
Soru

x^2-5x+6=0 denklemini kök formülüyle çözünüz ve sonucu çarpanlara ayırma ile karşılaştırınız.

  1. Katsayılar: a=1, b=-5, c=6.

  2. Diskriminant: \Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.

  3. Formülü uygula: x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 1}{2}.

  4. İki kök: x_1=\dfrac{5+1}{2}=3 ve x_2=\dfrac{5-1}{2}=2.

Sonuç: x=2 veya x=3 — çarpanlara ayırma ile aynı sonuç.

5. Kök–Katsayı (Vieta) Bağıntıları

Kökleri bulmadan, köklerin toplamını ve çarpımını doğrudan katsayılardan elde edebiliriz:

x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

Bu bağıntılar, simetrik ifadelerin hesabını kolaylaştırır. Sık kullanılan bir özdeşlik:

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Ayrıca kökleri x_1 ve x_2 olan (baş katsayısı 1) denklem şöyle kurulur:

x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0

Örnek
Soru

x^2-6x+4=0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 olsun. x_1+x_2, x_1x_2 ve x_1^2+x_2^2 değerlerini bulunuz.

Kökleri bulmana gerek yok. Toplam ve çarpımı Vieta bağıntılarıyla al, sonra x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 özdeşliğini kullan.

  1. Katsayılar: a=1, b=-6, c=4.

  2. Köklerin toplamı: x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-6}{1}=6.

  3. Köklerin çarpımı: x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{1}=4.

  4. Simetrik ifade: x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=6^2-2\cdot 4=36-8=28.

Sonuç: x_1+x_2=6, x_1x_2=4, x_1^2+x_2^2=28.
Örnek
Soru

Kökleri 2 ve 3 olan, baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

  1. Toplam ve çarpımı hesapla: x_1+x_2=2+3=5, x_1x_2=2\cdot 3=6.

  2. Genel kalıba yerleştir: x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0.

  3. Yerine koy: x^2-5x+6=0.

Sonuç: x^2-5x+6=0.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

2x^2-7x+3=0 denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.

Baş katsayı 1 değil. Çarpımı a\cdot c=2\cdot 3=6, toplamı b=-7 olan iki sayı ara ve orta terimi böl.

  1. Çarpımı 6, toplamı -7 olan sayılar: -1 ve -6.

  2. Orta terimi böl: 2x^2-x-6x+3=0.

  3. Gruplara ayır: x(2x-1)-3(2x-1)=0 \Rightarrow (2x-1)(x-3)=0.

  4. Çözümler: 2x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2} veya x-3=0 \Rightarrow x=3.

Sonuç: x=\dfrac{1}{2} veya x=3.
Örnek
Soru

x^2-6x+m=0 denkleminin iki farklı reel kökü olması için m hangi koşulu sağlamalıdır?

İki farklı reel kök için \Delta > 0 olmalı. \Delta'yı m cinsinden yaz ve eşitsizliği çöz.

  1. Katsayılar: a=1, b=-6, c=m.

  2. Diskriminant: \Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot m=36-4m.

  3. İki farklı reel kök koşulu: \Delta > 0 \Rightarrow 36-4m > 0.

  4. Çöz: 4m < 36 \Rightarrow m < 9.

Sonuç: m < 9.
Örnek
Soru

x^2-2x-5=0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 ise \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} değerini bulunuz.

Paydaları eşitleyince \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} olur. Toplam ve çarpımı Vieta ile al.

  1. Vieta: x_1+x_2=-\dfrac{-2}{1}=2 ve x_1x_2=\dfrac{-5}{1}=-5.

  2. İfadeyi tek kesir yap: \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}.

  3. Değerleri yerleştir: \dfrac{2}{-5}=-\dfrac{2}{5}.

Sonuç: \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=-\dfrac{2}{5}.
Örnek
Soru

x^2+kx+9=0 denkleminin çift (eşit) kökü olması için k değerlerini bulunuz.

Çift kök için \Delta=0 olmalı. \Delta'yı k cinsinden yazıp sıfıra eşitle; iki ayrı k değeri çıkacak.

  1. Katsayılar: a=1, b=k, c=9.

  2. Diskriminant: \Delta=k^2-4\cdot 1\cdot 9=k^2-36.

  3. Çift kök koşulu: \Delta=0 \Rightarrow k^2-36=0 \Rightarrow k^2=36.

  4. Çöz: k=6 veya k=-6.

Sonuç: k=6 veya k=-6.
Örnek
Soru

Bir ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı 7, çarpımı 10'dur. Bu kökleri ve denklemi bulunuz.

  1. Köklerden x^2-(\text{toplam})\,x+(\text{çarpım})=0 kalıbını kur: x^2-7x+10=0.

  2. Çarpanlara ayır: çarpımı 10, toplamı -7 olan sayılar -2 ve -5, yani (x-2)(x-5)=0.

  3. Kökler: x=2 veya x=5. (Kontrol: 2+5=7, 2\cdot 5=10.)

Sonuç: Denklem x^2-7x+10=0; kökler x=2 ve x=5.
Örnek
Soru

3x^2-2x+1=0 denkleminin kök formülüyle reel kökü olup olmadığını inceleyiniz.

  1. Katsayılar: a=3, b=-2, c=1.

  2. Diskriminant: \Delta=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8.

  3. \Delta=-8 < 0 olduğundan \sqrt{\Delta} reel değildir; kök formülü reel sonuç vermez.

  4. Sonuç: Denklemin reel kökü yoktur.

Sonuç: Reel kök yoktur (\Delta=-8 < 0).
Örnek
Soru

x^2-7x+m=0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 olup x_1-x_2=3 ise m kaçtır?

(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 özdeşliğini kullan. Toplam ve çarpımı Vieta ile katsayılardan oku.

  1. Vieta: x_1+x_2=7 ve x_1x_2=m.

  2. Fark özdeşliği: (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=49-4m.

  3. x_1-x_2=3 verildiğinden: 3^2=49-4m \Rightarrow 9=49-4m.

  4. Çöz: 4m=40 \Rightarrow m=10.

Sonuç: m=10.
Örnek
Soru

x^2-3x+1=0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 ise x_1^3+x_2^3 değerini bulunuz.

x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) özdeşliğini kullan. Toplam ve çarpımı Vieta ile al.

  1. Vieta: x_1+x_2=3 ve x_1x_2=1.

  2. Küp toplamı özdeşliği: x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2).

  3. Yerine koy: 3^3-3\cdot 1\cdot 3=27-9=18.

Sonuç: x_1^3+x_2^3=18.
Örnek
Soru

x^2-(m+2)x+m+5=0 denkleminin köklerinden biri 0 ise diğer kök kaçtır?

Bir kök 0 ise denklemin sabit terimi sıfır olmalıdır (çünkü çarpım \dfrac{c}{a}). Önce m'yi bul, sonra toplamdan diğer kökü al.

  1. x=0 kök ise denklemi sağlar: 0-(m+2)\cdot 0+m+5=0 \Rightarrow m+5=0 \Rightarrow m=-5.

  2. m=-5 için denklem: x^2-(-5+2)x+0=0 \Rightarrow x^2+3x=0.

  3. Çarpanlara ayır: x(x+3)=0 \Rightarrow x=0 veya x=-3.

Sonuç: Diğer kök x=-3.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

x^{2}+(k-1)x+4=0 denkleminin çift katlı (tek) kökü vardır.

Buna göre k'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A) -2 · B) 0 · C) 2 · D) 4 · E) 6

  1. Tek (çift katlı) kök için diskriminant sıfır: \Delta=(k-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 4=0.

  2. (k-1)^{2}=16\Rightarrow k-1=\pm 4\Rightarrow k=5 ya da k=-3.

  3. Değerlerin toplamı: 5+(-3)=2.

Sonuç: C) 2
Örnek
Soru

x^{2}-3x+1=0 denkleminin kökleri a ve b olduğuna göre a^{2}+b^{2} değeri kaçtır?

A) 5 · B) 6 · C) 7 · D) 8 · E) 9

a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab özdeşliğini kullan; a+b ve ab'yi katsayılardan oku.

  1. Vieta: a+b=3, a\cdot b=1.

  2. a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=3^{2}-2\cdot 1=9-2=7.

Sonuç: C) 7
Örnek
Soru

Kökleri x_1 ve x_2 olan 2x^{2}-8x+3=0 denklemi için \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} değeri kaçtır?

A) \dfrac{3}{8} · B) \dfrac{1}{2} · C) \dfrac{4}{3} · D) \dfrac{8}{3} · E) 3

  1. Vieta: x_1+x_2=\dfrac{8}{2}=4, x_1 x_2=\dfrac{3}{2}.

  2. \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\dfrac{4}{\frac{3}{2}}=\dfrac{8}{3}.

Sonuç: D) \dfrac{8}{3}
Örnek
Soru

x^2-6x+2=0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2'dir. Kökleri x_1^2 ve x_2^2 olan ikinci dereceden denklem x^2+px+q=0 biçiminde yazılıyor.

Buna göre p+q toplamı kaçtır?

A) -28 · B) -24 · C) -4 · D) 4 · E) 32

Yeni denklemde p=-(x_1^2+x_2^2) ve q=x_1^2x_2^2 olur. Bu iki simetrik ifadeyi Vieta ile hesapla.

  1. Vieta: x_1+x_2=6, x_1x_2=2.

  2. Karelerin toplamı: x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-4=32.

  3. Karelerin çarpımı: x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=2^2=4.

  4. Yeni denklem x^2-(x_1^2+x_2^2)x+x_1^2x_2^2=0 olduğundan p=-32, q=4.

  5. Toplam: p+q=-32+4=-28.

Sonuç: A) -28
Örnek
Soru

x^2-(2k-1)x+k^2-1=0 denkleminin reel kökü olmadığına göre k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

Reel kök olmaması için \Delta < 0. Diskriminantı k cinsinden yaz, sadeleştir ve eşitsizliği çöz; sonra en küçük tam sayıyı seç.

  1. Katsayılar: a=1, b=-(2k-1), c=k^2-1.

  2. Diskriminant: \Delta=(2k-1)^2-4(k^2-1)=4k^2-4k+1-4k^2+4=-4k+5.

  3. Reel kök yok: \Delta < 0 \Rightarrow -4k+5 < 0 \Rightarrow k > \dfrac{5}{4}.

  4. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı k=2'dir.

Sonuç: B) 2
Örnek
Soru

ax^2+bx+c=0 denkleminin kökleri 2 ve -3'tür. Aynı a, b, c için cx^2+bx+a=0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

A) -\dfrac{1}{6} · B) \dfrac{1}{6} · C) \dfrac{1}{2} · D) \dfrac{5}{6} · E) 1

ax^2+bx+c=0 ile cx^2+bx+a=0 denklemlerinin kökleri birbirinin tersidir. Yeni köklerin toplamı \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{-3} olur.

  1. İlk denklemin köklerinin tersi, cx^2+bx+a=0 denkleminin kökleridir. (Denklemi x^2 ile bölüp \tfrac{1}{x}=t koyunca bu görülür.)

  2. Yeni kökler: \dfrac{1}{2} ve \dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}.

  3. Toplam: \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6}.

Sonuç: B) \dfrac{1}{6}

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Köklerin sayısı veya işareti soruluyorsa, denklemi çözmeden önce diskriminanta bak: \Delta > 0 iki farklı reel kök, \Delta=0 çift kök, \Delta < 0 reel kök yok. Toplam–çarpım (-\dfrac{b}{a} ve \dfrac{c}{a}) ya da simetrik ifade (x_1^2+x_2^2, \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} gibi) soruluyorsa kökleri tek tek bulmaya çalışma; Vieta bağıntıları çoğu zaman dakikalar kazandırır.

İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol — diğer konular