11. Sınıf · Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri
İkinci Dereceden Denklem Sistemleri
Bir denklem sistemi, aynı anda sağlanması gereken birden çok denklemin bir araya gelmesidir. Bu derste ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerini çözeceğiz: bir doğru ile bir parabolün (y=ax^2+bx+c ile y=mx+n) ya da iki eğrinin ortak noktalarını arayacağız. Ana yöntemimiz yerine koyma (yok etme) olacak: bir bilinmeyeni diğeri cinsinden yazıp tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denkleme indirgeyeceğiz. Çözüm sayısının (0, 1 ya da 2) ne anlama geldiğini diskriminant (\Delta) ile geometrik olarak yorumlayacağız. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Doğrusal–İkinci Derece Sistemi: Yerine Koyma
En sık karşılaşılan sistem, bir doğrusal denklem ile bir ikinci dereceden denklemden oluşur:
\begin{cases} y = x^2 + bx + c \\ y = mx + n \end{cases}
Her iki denklemde de y yalnız olduğundan, ifadeleri eşitleriz. Bu, tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem verir; köklerini bulup karşılık gelen y değerlerini hesaplarız. Geometrik olarak çözümler, doğru ile eğrinin kesişim noktalarıdır.
\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} sistemini çözünüz.
- İki ifadeyi eşitle:
x^2 = x + 2. - Bir tarafa topla:
x^2 - x - 2 = 0. - Çarpanlara ayır:
(x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2veyax=-1. ydeğerleri (y=x+2):x=2içiny=4;x=-1içiny=1.
(2,\,4) ve (-1,\,1).2. Çözüm Sayısı ve Diskriminant
Yerine koyma sonunda ax^2+bx+c=0 biçiminde bir denklem elde ederiz. Kök sayısı, doğru ile eğrinin kesişim sayısını verir ve \Delta=b^2-4ac ile belirlenir:
\Delta>0 \Rightarrow \text{2 kesişim} \qquad \Delta=0 \Rightarrow \text{1 kesişim (teğet)} \qquad \Delta<0 \Rightarrow \text{kesişim yok}
\Delta=0 durumunda doğru, eğriye teğettir (bir ortak nokta). \Delta<0 ise sistem reel çözümsüzdür.
y=x^2-4x+3 parabolü; kökleri x=1 ve x=3, tepe noktası T(2,-1). Bir doğru bu eğriyi \Delta'ya göre iki noktada keser, teğet geçer ya da hiç kesmez.\begin{cases} y = x^2 + 1 \\ y = 2x \end{cases} sisteminin kaç çözümü vardır?
İfadeleri eşitleyip ax^2+bx+c=0 biçimine getir, sonra \Delta=b^2-4ac işaretine bak.
- Eşitle:
x^2+1=2x \Rightarrow x^2-2x+1=0. \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0.\Delta=0olduğundan tek çözüm vardır (doğru parabole teğet).- Tek kök:
x=\dfrac{2}{2}=1,y=2\cdot1=2.
(1,\,2) (teğet).3. İki Bilinmeyen, Tek Denklem: x'i Çekme
Sistemin doğrusal denklemi y yerine x ile verilmiş olabilir (x=\dots) ya da x+y, x-y gibi bir bağıntı içerebilir. O zaman doğrusal denklemden bir bilinmeyeni çekip ikinci dereceden denklemde yerine koyarız.
\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} sistemini çözünüz.
- Doğrusal denklemden
y'yi çek:y = 5 - x. - İkinci denklemde yerine koy:
x^2 + (5-x)^2 = 13. - Aç:
x^2 + 25 - 10x + x^2 = 13 \Rightarrow 2x^2 - 10x + 12 = 0. 2'ye böl:x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0.x=2 \Rightarrow y=3;\;x=3 \Rightarrow y=2.
(2,\,3) ve (3,\,2).4. Çarpım ve Toplam Verilen Sistemler
\begin{cases} x+y=S \\ xy=P \end{cases} biçimindeki sistemlerde x ve y, kökleri toplamı S, çarpımı P olan
t^2 - S\,t + P = 0
denkleminin kökleridir (Vieta bağıntıları). Bu, simetrik sistemleri hızla çözmenin pratik yoludur.
\begin{cases} x+y=7 \\ xy=12 \end{cases} sistemini çözünüz.
x ve y, t^2 - (x+y)t + xy = 0 denkleminin kökleridir.
- Yardımcı denklemi kur:
t^2 - 7t + 12 = 0. - Çarpanlara ayır:
(t-3)(t-4)=0 \Rightarrow t=3veyat=4. - Kökler
3ve4olduğundan\{x,y\}=\{3,4\}.
(3,\,4) ve (4,\,3).Çözümlü Örnekler
\begin{cases} y = x^2 - 3x \\ y = x - 3 \end{cases} sistemini çözünüz.
- Eşitle:
x^2 - 3x = x - 3. - Düzenle:
x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0. x=1veyax=3.y=x-3:x=1 \Rightarrow y=-2;\;x=3 \Rightarrow y=0.
(1,\,-2) ve (3,\,0).y = x^2 - 2x + 4 parabolü ile y = k doğrusunun teğet olması için k kaç olmalıdır?
Eşitleyince oluşan ikinci dereceden denklemde \Delta=0 olmalı; ya da tepe noktasının y değerini bul.
- Eşitle:
x^2 - 2x + 4 = k \Rightarrow x^2 - 2x + (4-k) = 0. - Teğet için
\Delta=0:(-2)^2 - 4(4-k) = 0. 4 - 16 + 4k = 0 \Rightarrow 4k = 12 \Rightarrow k = 3.- Kontrol: tepe noktası
x=1'dey=1-2+4=3— yatay doğru tam tepeye teğet.
k=3.\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 6 \end{cases} sistemini çözünüz.
- Doğrusal denklemden
x'i çek:x = y + 1. - Yerine koy:
(y+1)\,y = 6 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0. - Çarpanlara ayır:
(y+3)(y-2)=0 \Rightarrow y=-3veyay=2. x=y+1:y=-3 \Rightarrow x=-2;\;y=2 \Rightarrow x=3.
(-2,\,-3) ve (3,\,2).\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + m \end{cases} sisteminin gerçek çözümü olmaması için m hangi değerleri alır?
Eşitleyip \Delta<0 koşulunu yaz; m'yi içeren bir eşitsizlik çöz.
- Eşitle:
x^2 = 2x + m \Rightarrow x^2 - 2x - m = 0. - Çözümsüzlük için
\Delta<0:(-2)^2 - 4(1)(-m) < 0. 4 + 4m < 0 \Rightarrow 4m < -4 \Rightarrow m < -1.
m < -1.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
\begin{cases} y = x^2 \\ y = 3x - 2 \end{cases} sistemini çöz.
- Eşitle:
x^2 = 3x - 2 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0. (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1veyax=2.y=3x-2:x=1 \Rightarrow y=1;\;x=2 \Rightarrow y=4.
(1,\,1) ve (2,\,4).\begin{cases} x + y = 6 \\ xy = 8 \end{cases} sistemini çöz.
- Yardımcı denklem:
t^2 - 6t + 8 = 0. (t-2)(t-4)=0 \Rightarrow t=2veyat=4.
(2,\,4) ve (4,\,2).\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ y = x + 1 \end{cases} sistemini çöz.
- Eşitle:
x^2 - 1 = x + 1 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0. (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2veyax=-1.y=x+1:x=2 \Rightarrow y=3;\;x=-1 \Rightarrow y=0.
(2,\,3) ve (-1,\,0).\begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} sistemini çöz.
x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullan; x-y zaten verilmiş.
- Çarpanlara ayır:
x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 16. x-y=2olduğundan2\,(x+y)=16 \Rightarrow x+y=8.- Artık sistem
\begin{cases} x-y=2 \\ x+y=8 \end{cases}. Topla:2x=10 \Rightarrow x=5,y=3.
(5,\,3).y = x^2 + 2x + 5 parabolü ile y = 2x + k doğrusunun teğet olması için k kaçtır?
- Eşitle:
x^2 + 2x + 5 = 2x + k \Rightarrow x^2 + (5-k) = 0. - Teğet için
\Delta=0. Buradab=0,c=5-k:\Delta = 0 - 4(5-k) = 0. -20 + 4k = 0 \Rightarrow k = 5.
k=5.\begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} sistemini çöz.
y = 4 - xyerine koy:x^2 + (4-x)^2 = 10.- Aç:
x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 8x + 6 = 0. 2'ye böl:x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0.x=1 \Rightarrow y=3;\;x=3 \Rightarrow y=1.
(1,\,3) ve (3,\,1).\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = -x + 3 \end{cases} sisteminin çözümlerini bul; doğru parabolü hangi noktalarda keser?
İfadeleri eşitle; ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin kökleri kesişim apsisleridir.
- Eşitle:
x^2 - 4x + 3 = -x + 3 \Rightarrow x^2 - 3x = 0. - Ortak çarpan:
x(x-3)=0 \Rightarrow x=0veyax=3. y=-x+3:x=0 \Rightarrow y=3;\;x=3 \Rightarrow y=0.
(0,\,3) ve (3,\,0).\begin{cases} x + y = 5 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6} \end{cases} sistemini çöz.
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy} özdeşliğiyle xy'yi bul; sonra toplam–çarpım yöntemini uygula.
- Paydaları birleştir:
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{5}{xy}. - Bu
\dfrac{5}{6}'ya eşit:\dfrac{5}{xy}=\dfrac{5}{6} \Rightarrow xy=6. - Toplam
5, çarpım6:t^2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow (t-2)(t-3)=0. - Kökler
2ve3.
(2,\,3) ve (3,\,2).\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + m \end{cases} sisteminin çözüm kümesinde köklerin çarpımı -3 ise m kaçtır? Bu m için çözümleri bulun.
Eşitleyince x^2 - 2x - m = 0 olur; köklerin çarpımı \dfrac{c}{a}=-m'dir.
- Eşitle:
x^2 = 2x + m \Rightarrow x^2 - 2x - m = 0. - Köklerin çarpımı
\dfrac{c}{a}=\dfrac{-m}{1}=-m. Bu-3'e eşit:-m=-3 \Rightarrow m=3. - Denklem:
x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3veyax=-1. y=x^2:x=3 \Rightarrow y=9;\;x=-1 \Rightarrow y=1.
m=3; çözümler (3,\,9) ve (-1,\,1).Sık Yapılan Hatalar
ydeğerlerini bulmayı unutmak. Sistemin çözümü bir sayı değil, bir(x,y)ikilisidir;x'leri bulduktan sonra mutlaka karşılık geleny'leri hesapla.y'yi yanlış denklemde yerine koymak.xdeğerini, hesabı kolay olan denklemde (genelde doğrusal olanda) yerine koy; iki denklemde de aynıyçıkmalı.\Deltaile çözüm sayısını karıştırmak.\Delta>0iki,\Delta=0bir (teğet),\Delta<0sıfır gerçek çözüm demektir; "teğet" tek noktada kesişmedir.- Toplam–çarpım denkleminde işaret hatası.
t^2 - S\,t + P = 0'da toplamın katsayısı eksiS, sabit terim artıP'dir.
Not: İkinci dereceden bir sistemde refleksin yerine koyma olsun: doğrusal denklemden bir bilinmeyeni çek, tek bilinmeyenli ikinci derece denklemi kur, köklerini bul ve geri yerleştir.
x+yilexyverilmişset^2 - S t + P = 0kısayolu işini hızlandırır.