10. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Parabol
Nicelikler ve Değişimler temasının en geniş konusu, grafiği parabol olan ikinci dereceden (karesel) fonksiyonlardır. Bu derste f(x)=ax^2+bx+c fonksiyonunun grafiğini; kollarının yönünü, tepe noktasını, eksen kesişimlerini ve simetri eksenini bulmayı öğreneceğiz. Parabol; atış hareketinden alan optimizasyonuna kadar pek çok değişimin modelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Karesel Fonksiyon ve Kolların Yönü
a\neq 0 olmak üzere f(x)=ax^2+bx+c fonksiyonuna karesel (ikinci dereceden) fonksiyon denir. Grafiği bir paraboldür.
a>0→ kollar yukarı açılır (parabolün en küçük değeri vardır).a<0→ kollar aşağı açılır (en büyük değeri vardır).
f(x)=-2x^2+3x-1 parabolünün kolları hangi yöne açılır?
- Baş katsayı
a=-2<0. a<0olduğundan kollar aşağı açılır.
2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Tepe noktasının apsisi (simetri ekseni) ve ordinatı:
r=-\dfrac{b}{2a} \qquad k=f(r)
Tepe noktası T(r,\ k)'dir; simetri ekseni x=r düşey doğrusudur.
f(x)=x^2-4x+3 parabolü. a=1>0 (kollar yukarı), tepe noktası T(2,-1), kökler x=1 ve x=3, y kesişimi (0,3), simetri ekseni x=2.f(x)=x^2-6x+5 parabolünün tepe noktasını bulunuz.
Önce r=-\dfrac{b}{2a} ile apsisi bul, sonra r'yi fonksiyonda yerine koyarak ordinatı hesapla.
a=1,\ b=-6:r=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3.k=f(3)=3^2-6\cdot 3+5=9-18+5=-4.
T(3,\ -4).3. Eksen Kesişimleri
yekseni:x=0→(0,\ c).xekseni (kökler):f(x)=0denklemini çöz. Kök sayısı diskriminant\Delta=b^2-4ac'ye bağlıdır:\Delta>0iki kök,\Delta=0bir (çift) kök,\Delta<0kök yok (parabolxeksenini kesmez).
f(x)=x^2-4x+3 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
ykesişimi:c=3→(0,3).- Kökler:
x^2-4x+3=0\Rightarrow (x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,\ x=3.
(0,3), (1,0) ve (3,0).4. En Büyük / En Küçük Değer
Tepe noktasının ordinatı k, fonksiyonun uç değeridir:
a>0→ken küçük değer.a<0→ken büyük değer.
Tepe noktasının ordinatını köklere uğramadan da bulabilirsin: k=f(r) yerine doğrudan k=-\dfrac{\Delta}{4a} formülü kullanılır (\Delta=b^2-4ac). İki yöntem de aynı sonucu verir; hangisi hızlıysa onu seç.
f(x)=-x^2+4x+1 fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
a=-1<0, en büyük değer tepededir.r=-\dfrac{4}{2(-1)}=2.k=f(2)=-4+8+1=5.
5 (x=2'de).Çözümlü Örnekler
f(x)=2x^2-8x+6 parabolünün tepe noktasını ve simetri eksenini bulunuz.
a=2,\ b=-8:r=-\dfrac{-8}{2\cdot 2}=2.k=f(2)=2\cdot4-16+6=8-16+6=-2.
T(2,-2), simetri ekseni x=2.f(x)=x^2-2x-8 parabolünün köklerini bulunuz.
x^2-2x-8=0\Rightarrow (x-4)(x+2)=0.x=4veyax=-2.
4 ve -2.f(x)=x^2+bx+9 parabolünün tepe noktası x=3 doğrusu üzerindeyse b kaçtır?
- Simetri ekseni
r=-\dfrac{b}{2a}=3,a=1. -\dfrac{b}{2}=3\Rightarrow b=-6.
b=-6.Bir taş h(t)=-5t^2+20t (metre) yüksekliğiyle atılıyor. Ulaştığı en yüksek nokta kaç metredir?
a=-5<0; en yüksek nokta tepededir.r=-\dfrac{20}{2(-5)}=2s.h(2)=-5\cdot4+40=-20+40=20.
20 m.f(x)=x^2-6x+11 fonksiyonunu tepe biçimi f(x)=(x-r)^2+k olarak yazıp tepe noktasını okuyunuz.
Tam kareye tamamla: x^2-6x için \left(\dfrac{-6}{2}\right)^2=9 ekleyip çıkar.
- Tam kareye tamamla:
x^2-6x+11=(x^2-6x+9)-9+11=(x-3)^2+2. - Tepe biçimi
(x-r)^2+kile karşılaştır:r=3,\ k=2.
f(x)=(x-3)^2+2, tepe noktası T(3,\ 2).Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
f(x)=3x^2-1 parabolünün kolları hangi yöne açılır?
a=3>0→ yukarı.
f(x)=x^2-10x+21 parabolünün tepe noktasının apsisini bul.
r=-\dfrac{-10}{2}=5.
x=5.f(x)=x^2-9 parabolünün x eksenini kestiği noktaları bul.
x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3.
(-3,0) ve (3,0).f(x)=-x^2+6x fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
r=-\dfrac{6}{2(-1)}=3;f(3)=-9+18=9.
9.f(x)=2x^2+4x+5 parabolünün y eksenini kestiği nokta nedir?
x=0→f(0)=5.
(0,5).f(x)=x^2-2x-3 parabolünün tepe noktasını bul.
r=-\dfrac{-2}{2}=1;f(1)=1-2-3=-4.
T(1,\ -4).f(x)=2x^2-12x+7 fonksiyonunun en küçük değerini k=-\dfrac{\Delta}{4a} formülüyle bul.
Önce \Delta=b^2-4ac'yi hesapla, sonra -\dfrac{\Delta}{4a}'yı bul. Sonucu f(r) ile de doğrulayabilirsin.
\Delta=(-12)^2-4\cdot2\cdot7=144-56=88.k=-\dfrac{88}{4\cdot2}=-\dfrac{88}{8}=-11.- (Doğrulama:
r=\dfrac{12}{4}=3,f(3)=18-36+7=-11.)
-11.Tepe noktası T(2,\ -1) olan ve (0,\ 3) noktasından geçen parabolün f(x)=a(x-r)^2+k biçiminde denklemini yaz.
Tepe biçiminde r=2,\ k=-1 yerleşir; bilinmeyen a'yı (0,3) noktasını koyarak bul.
- Tepe biçimi:
f(x)=a(x-2)^2-1. (0,3)noktasını koy:3=a(0-2)^2-1=4a-1.4a=4\Rightarrow a=1. Yanif(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+3.
f(x)=(x-2)^2-1 (açık biçim x^2-4x+3).Kenarlarının toplamı sabit olan dikdörtgenlerden çevresi 20 m olanın alanı en çok kaç \text{m}^2 olur?
Bir kenara x dersen, çevre 20 olduğundan diğer kenar 10-x olur. Alan A(x)=x(10-x) bir paraboldür; tepesinde en büyüktür.
- Kenarlar
xve10-x(çünkü2x+2(10-x)=20). - Alan:
A(x)=x(10-x)=-x^2+10x,a=-1<0(yukarıdan tepe = en büyük). r=-\dfrac{10}{2(-1)}=5;A(5)=5\cdot5=25.
25\ \text{m}^2 (kare: 5\times5).Sık Yapılan Hatalar
- Tepe apsisinde işareti unutmak.
r=-\dfrac{b}{2a}; baştaki eksiyi atlama. - Kolların yönünü
cile belirlemek. Yönü baş katsayıabelirler, sabit terimcdeğil. - Kök yokken grafiği yanlış yorumlamak.
\Delta<0ise parabolxeksenini kesmez; bu, fonksiyonun hep aynı işaretli olması demektir. - En büyük/küçük değeri apsisle karıştırmak. Uç değer tepe noktasının ordinatı
k'dir;x=ronun alındığı yerdir.
Not: Bir parabolü çözmenin omurgası tepe noktasıdır:
r=-\dfrac{b}{2a},k=f(r). Yön (a'nın işareti) + tepe + eksen kesişimleri ile grafiğin tamamı çıkar.