TYT Matematik · Analitik Geometri ve Katı Cisimler

Katı Cisimler (Uzay Geometri)

~10 dk okumaZorluk: Orta21 çözümlü soru

Katı cisimler, üç boyutlu uzayda yer kaplayan prizma, küp, silindir, piramit, koni ve küre gibi şekillerdir. TYT'de bu konudan beklenen, her cismin hacim (içine sığan miktar) ve yüzey alanı (dış yüzeyi kaplayan miktar) formüllerini bilmek ve sayısal değerleri yerine koyarak hızlıca sonuca varmaktır. Bu derste tüm temel formülleri tek tabloda toplar, her birini örneklerle uygularız.

1. Prizma ve Küp

Dikdörtgenler prizması, karşılıklı yüzleri dikdörtgen olan kutu biçimli cisimdir. Kenar uzunlukları $a$ , $b$ ve $c$ ile gösterilir. Küp, tüm kenarları eşit ( $a=b=c$ ) olan özel bir dikdörtgenler prizmasıdır.

Şekil 1 — Dikdörtgenler prizması. Boyut, en ve yükseklik

a

b

c

kenarlarıyla verilir. Hacim

V=a\cdot b\cdot c

Cisim	Hacim	Yüzey Alanı
Dikdörtgenler prizması ( $a,b,c$ )	$V=a\cdot b\cdot c$	$2(ab+bc+ac)$
Küp (kenar $a$ )	$V=a^{3}$	$6a^{2}$

Küpte tüm yüzler eşit kare olduğundan, $6$ adet $a^{2}$ alanlı yüzeyin toplamı $6a^{2}$ olur.

Örnek

Soru

Kenarları $2$ , $3$ ve $4$ olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bulunuz.

Hacim, üç kenarın çarpımıdır:

$V=a\cdot b\cdot c=2\cdot 3\cdot 4=24$

Sonuç:

V=24

birim küp.

Örnek

Soru

Kenarı $5$ olan kübün hacmini ve yüzey alanını bulunuz.

Hacim için $V=a^{3}$ , yüzey için $6a^{2}$ kullanılır:

$V=5^{3}=125$

$\text{Yüzey}=6\cdot 5^{2}=6\cdot 25=150$

Sonuç:

V=125

ve Yüzey

=150

2. Silindir

Silindir, alt ve üst tabanları eşit daire olan cisimdir. Taban yarıçapı $r$ , yükseklik $h$ ile gösterilir. Yüzey alanı, iki daire tabanı ( $2\pi r^{2}$ ) ile açıldığında dikdörtgen olan yan yüzeyin ( $2\pi r h$ ) toplamıdır.

Şekil 2 — Silindir. Taban yarıçapı

r

, yükseklik

h

. Hacim

V=\pi r^{2}h

Cisim	Hacim	Yüzey Alanı
Silindir ( $r,h$ )	$V=\pi r^{2}h$	$2\pi r^{2}+2\pi r h$

Örnek

Soru

Yarıçapı $3$ , yüksekliği $5$ olan silindirin hacmini bulunuz.

Önce taban alanı $\pi r^{2}$ 'yi hesapla, sonra yükseklik $h$ ile çarp. Sonucu $\pi$ cinsinden bırakabilirsin.

Hacim formülünde değerleri yerine koy:

$V=\pi r^{2}h=\pi\cdot 3^{2}\cdot 5=\pi\cdot 9\cdot 5=45\pi$

Sonuç:

V=45\pi

birim küp.

3. Piramit ve Koni

Piramit, taban alanı $T$ olan bir çokgen ve onu tepede birleştiren yan yüzlerden oluşur. Koni ise tabanı daire olan piramit gibi düşünülebilir. Her ikisinin de hacmi, aynı tabana ve yüksekliğe sahip prizma/silindirin üçte biridir.

Şekil 3 — Kare tabanlı dik piramit. Taban kenarı

a

, yükseklik

h

. Hacim

V=\dfrac{1}{3}\,a^{2}\cdot h

Şekil 4 — Koni. Taban yarıçapı

r

, yükseklik

h

. Hacim

V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h

Cisim	Hacim
Piramit (taban alanı $T$ , yükseklik $h$ )	$V=\dfrac{1}{3}\,T\cdot h$
Koni ( $r,h$ )	$V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$

Örnek

Soru

Yarıçapı $3$ , yüksekliği $4$ olan koninin hacmini bulunuz.

Koni hacminde $\dfrac{1}{3}$ çarpanını unutma:

$V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi$

Sonuç:

V=12\pi

birim küp.

4. Küre

Küre, merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu top biçimli cisimdir. Tek bir ölçüsü vardır: yarıçap $r$ . Hacim ve yüzey formüllerini karıştırmamaya dikkat et.

Şekil 5 — Küre. Tek ölçüsü yarıçap

r

'dir. Hacim

V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}

, yüzey alanı

4\pi r^{2}

Cisim	Hacim	Yüzey Alanı
Küre (yarıçap $r$ )	$V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$	$4\pi r^{2}$

Örnek

Soru

Yarıçapı $3$ olan kürenin hacmini bulunuz.

Küre hacim formülünde $r^{3}$ kullanılır:

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 3^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi$

Sonuç:

V=36\pi

birim küp.

5. Pekiştirme Sorusu

Örnek

Soru

Kenarı $4$ olan kübün yüzey alanını bulunuz.

Küpün $6$ eş yüzü vardır; her biri $a^{2}$ alanlı bir karedir.

Yüzey alanı $6a^{2}$ formülüyle hesaplanır:

$\text{Yüzey}=6a^{2}=6\cdot 4^{2}=6\cdot 16=96$

Sonuç: Yüzey

=96

birim kare.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Hacmi $120$ birim küp olan bir dikdörtgenler prizmasının iki kenarı $4$ ve $5$ birimdir. Üçüncü kenarı kaç birimdir?

Hacim formülü $V=a\cdot b\cdot c$ olduğundan $120=4\cdot 5\cdot c$ yazılır.
$120=20c$ olur, buradan $c=\dfrac{120}{20}=6$ bulunur.

Sonuç:

c=6

birim.

Örnek

Soru

Hacmi $216$ birim küp olan bir kübün yüzey alanı kaç birim karedir?

Küpte $V=a^{3}$ olduğundan $a^{3}=216$ ve $a=6$ bulunur.
Yüzey alanı $6a^{2}=6\cdot 6^{2}=6\cdot 36=216$ olur.

Sonuç: Yüzey

=216

birim kare.

Örnek

Soru

Taban yarıçapı $2$ , yüksekliği $5$ olan silindirin toplam yüzey alanı kaç birim karedir? ( $\pi$ cinsinden veriniz.)

Yüzey alanı iki taban ile yan yüzeyin toplamıdır: $2\pi r^{2}+2\pi r h$ .
Değerleri yerine koyalım: $2\pi\cdot 2^{2}+2\pi\cdot 2\cdot 5=8\pi+20\pi=28\pi$ .

Sonuç: Yüzey

=28\pi

birim kare.

Örnek

Soru

Taban yarıçapı $3$ olan bir koninin hacmi $24\pi$ birim küptür. Bu koninin yüksekliği kaç birimdir?

Koni hacmi $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$ olduğundan $24\pi=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^{2}\cdot h$ yazılır.
Sağ taraf $\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot h=3\pi h$ olur, yani $24\pi=3\pi h$ .
Buradan $h=\dfrac{24\pi}{3\pi}=8$ bulunur.

Sonuç:

h=8

birim.

Örnek

Soru

Yarıçapı $5$ olan kürenin yüzey alanı kaç birim karedir? ( $\pi$ cinsinden veriniz.)

Küre yüzey alanı formülü $4\pi r^{2}$ 'dir.
Değeri yerine koyalım: $4\pi\cdot 5^{2}=4\pi\cdot 25=100\pi$ .

Sonuç: Yüzey

=100\pi

birim kare.

Örnek

Soru

Bir kübün her kenarı $2$ katına çıkarılırsa, yeni hacmin eski hacme oranı kaç olur?

Kenar $a$ iken hacim $V=a^{3}$ olur. Kenar $2a$ olunca hacim $(2a)^{3}=8a^{3}$ olur.
Oran $\dfrac{8a^{3}}{a^{3}}=8$ bulunur.

Sonuç: Yeni hacim eskisinin

8

katıdır.

Örnek

Soru

Taban ayrıtı $6$ birim olan bir kare dik piramidin yüksekliği $10$ birimdir. Bu piramidin hacmi kaç birim küptür?

Tabanı kare olduğundan taban alanı $T=6^{2}=36$ birim karedir.
Piramit hacmi $V=\dfrac{1}{3}\,T\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot 36\cdot 10$ olur.
İşlemi tamamlayalım: $\dfrac{1}{3}\cdot 360=120$ .

Sonuç:

V=120

birim küp.

Örnek

Soru

İçi boş bir koni biçimli külahın taban yarıçapı $6$ birim, yüksekliği $9$ birimdir. Bu külahın içine sıvı doldurularak, aynı tabana ( $r=6$ ) sahip bir silindirin yarısına kadar dökülüyor. Silindirin yüksekliği $6$ birim olduğuna göre, sıvı silindirde kaç birim yüksekliğe ulaşır?

Önce koninin hacmini bul; sonra bu hacmin silindirde hangi yüksekliğe denk geldiğini $V=\pi r^{2}h$ ile çöz.

Koninin hacmi:

$V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 6^{2}\cdot 9=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 36\cdot 9=108\pi$

Silindirde aynı tabanla ( $r=6$ ) bu hacmin oluşturduğu yükseklik $h_s$ :

$108\pi=\pi\cdot 6^{2}\cdot h_s=36\pi h_s$

Buradan:

$h_s=\dfrac{108\pi}{36\pi}=3$

Sonuç: Sıvı silindirde

3

birim yüksekliğe ulaşır.

Örnek

Soru

Bir küpün yüzey alanı $96$ birim karedir. Yarıçapı, bu küpün kenarının yarısına eşit olan bir kürenin hacmi kaç $\pi$ birim küptür?

Küpün yüzey alanından kenarı bul: $6a^{2}=96\Rightarrow a^{2}=16\Rightarrow a=4$ .
Kürenin yarıçapı kenarın yarısı: $r=\dfrac{4}{2}=2$ .
Küre hacmi:

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 2^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 8=\dfrac{32}{3}\pi$

Sonuç:

V=\dfrac{32}{3}\pi

birim küp.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir su deposu, taban yarıçapı $2$ metre, yüksekliği $5$ metre olan dik silindir biçimindedir. Depo tamamen doluyken içindeki suyun tamamı, taban alanı $10$ metrekare olan dikdörtgen bir havuza boşaltılıyor. Suyun havuzda oluşturduğu yükseklik kaç $\pi$ metredir?

A) $\pi$ · B) $2\pi$ · C) $4\pi$ · D) $5\pi$ · E) $20\pi$

Silindirdeki su hacmi: $V=\pi r^{2}h=\pi\cdot 2^{2}\cdot 5=20\pi.$
Havuzda taban alanı $10$ olduğundan yükseklik: $h=\dfrac{V}{\text{taban}}=\dfrac{20\pi}{10}=2\pi\ \text{metre}.$ (Çeldirici: hacmi $10$ 'a bölmeyi unutan $20\pi$ , ya da yarıçap yerine çap kullanan $4$ kat hata yapar.)

Sonuç: B)

2\pi

Örnek

Soru

Bir kuyumcu, kenarı $6$ cm olan küp biçimli bir altın külçesini eritip, kenarı $3$ cm olan küçük küpler dökecektir. Eritmede kayıp olmadığına göre, kaç tane küçük küp elde edilir?

A) $2$ · B) $4$ · C) $6$ · D) $8$ · E) $9$

Büyük küpün hacmi: $6^{3}=216$ cm³.
Küçük küpün hacmi: $3^{3}=27$ cm³.
Küçük küp sayısı: $\dfrac{216}{27}=8.$ (Çeldirici: kenar oranı $\tfrac{6}{3}=2$ 'yi doğrudan cevap sanan A şıkkına düşer; oysa hacim oranı $2^{3}=8$ 'dir.)

Sonuç: D)

8

Örnek

Soru

Bir dondurma külahı, taban yarıçapı $3$ cm, yüksekliği $8$ cm olan dik koni biçimindedir. Külahın üstüne, yarıçapı yine $3$ cm olan yarım küre biçiminde dondurma konuyor. Külah ve üstündeki yarım kürenin toplam hacmi kaç $\pi$ cm³'tür?

A) $18\pi$ · B) $24\pi$ · C) $36\pi$ · D) $42\pi$ · E) $48\pi$

Koni hacmi: $V_k=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 8=24\pi.$
Yarım küre hacmi (tam kürenin yarısı): $V_{yk}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{2}{3}\pi\cdot 3^{3}=\dfrac{2}{3}\pi\cdot 27=18\pi.$
Toplam: $24\pi+18\pi=42\pi$ . (Çeldirici: yarım küre yerine tam küre alan $24\pi+36\pi=60\pi$ ya da koninin $\tfrac13$ 'ünü unutan kişi şaşar.)

Sonuç: D)

42\pi

Örnek

Soru

Bir hediye kutusu, kenarları $5$ cm, $4$ cm ve $3$ cm olan dikdörtgenler prizması biçimindedir. Kutunun tüm dış yüzeyi süs kağıdıyla kaplanacaktır. $1$ cm² kağıt $0{,}5$ kuruş olduğuna göre, gereken kağıdın maliyeti kaç kuruştur?

A) $47$ · B) $60$ · C) $94$ · D) $120$ · E) $188$

Yüzey alanı $2(ab+bc+ac)$ : $2(5\cdot 4+4\cdot 3+5\cdot 3)=2(20+12+15)=2\cdot 47=94\ \text{cm}^{2}.$
Maliyet: $94\cdot 0{,}5=47$ kuruş. (Çeldirici: yüzey alanı $94$ 'ü doğrudan cevap sanan C şıkkına, ya da $2$ çarpanını unutup $47\cdot 0{,}5$ yapan başka şıkka düşer.)

Sonuç: A)

47

Örnek

Soru

Bir fabrika, taban ayrıtı $4$ cm ve yüksekliği $12$ cm olan kare dik piramit biçiminde çikolatalar üretiyor. Aynı çikolatadan $8$ tanesi eritilip kayıpsız olarak küp biçimli bir kalıba dökülüyor. Oluşan küpün bir kenarı kaç cm olur?

A) $4$ · B) $6$ · C) $8$ · D) $12$ · E) $16$

Bir piramidin hacmi: $V=\dfrac{1}{3}\,a^{2}h=\dfrac{1}{3}\cdot 4^{2}\cdot 12=\dfrac{1}{3}\cdot 16\cdot 12=64\ \text{cm}^{3}.$
$8$ tanesinin toplam hacmi: $8\cdot 64=512$ cm³.
Bu hacim bir küpün hacmi olduğundan kenar: $a^{3}=512\Rightarrow a=\sqrt[3]{512}=8\ \text{cm}.$ (Çeldirici: $\tfrac13$ çarpanını unutup piramit hacmini $192$ alan, ya da $512$ 'nin küpkökü yerine kenarı $4$ veya $16$ sanan tuzağa düşer.)

Sonuç: C)

8

Örnek

Soru

Bir silindir biçimli kutunun taban yarıçapı $r$ , yüksekliği $h$ 'dir. Yarıçap aynı kalıp yükseklik $2$ katına çıkarılırsa, yeni silindirin hacmi eski hacmin kaç katı olur?

A) $\dfrac{1}{2}$ · B) $1$ · C) $2$ · D) $4$ · E) $8$

Eski hacim $V=\pi r^{2}h$ .
Yeni hacim, yükseklik $2h$ olunca: $V'=\pi r^{2}(2h)=2\pi r^{2}h=2V.$
Oran $\dfrac{V'}{V}=2$ . (Çeldirici: yarıçap değişmediği halde $2^{2}=4$ kat sanan, ya da $r$ de iki katına çıkmış gibi $8$ kat diyen tuzağa düşer.)

Sonuç: C)

2

Sık Yapılan Hatalar

Koni ve piramitte $\dfrac{1}{3}$ çarpanını unutmak. Bu cisimlerin hacmi, aynı tabanlı silindir/prizmanın tam üçte biridir.
Silindir yüzeyinde iki tabanı saymamak. Yüzey, yan alan $2\pi r h$ ile birlikte iki daire tabanı $2\pi r^{2}$ içerir.
Küre formüllerini karıştırmak: hacim $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ (küp $r^{3}$ ), yüzey $4\pi r^{2}$ (kare $r^{2}$ ).

Sınav ipucu: Hacim sonuçlarını $\pi$ cinsinden bırak; çoğu TYT şıkkı bu biçimdedir. Koni ve piramidin hacminin, aynı tabanlı silindir/prizmanın üçte biri olduğunu hatırlamak işlem yükünü azaltır.

1. Prizma ve Küp

2. Silindir

3. Piramit ve Koni

4. Küre

5. Pekiştirme Sorusu

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Analitik Geometri ve Katı Cisimler — diğer konular