9. Sınıf · Algoritma ve Bilişim
Mantık: Önermeler ve Niceleyiciler
Algoritmaların karar adımları "doğru mu, yanlış mı?" sorusuna dayanır — işte mantık bunun dilidir. Bu derste önerme kavramını, önermeleri birleştiren bağlaçları (değil, ve, veya, ise, ancak ve ancak), bunların doğruluk tablolarını ve "her / bazı" gibi niceleyicileri öğreneceğiz. Mantık, hem koşul kurmanın hem de bir akıl yürütmenin geçerli olup olmadığını denetlemenin temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Önerme Kavramı
Önerme, doğru (1) ya da yanlış (0) olduğu kesin olarak söylenebilen yargı cümlesidir. Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz.
- "
5asal sayıdır." → önerme (doğru,1). - "
3>7" → önerme (yanlış,0). - "Bu çiçek çok güzel." → önerme değil (kişiden kişiye değişir).
- "Saat kaç?" → önerme değil (soru cümlesi).
Önermeler p,\ q,\ r harfleriyle gösterilir. Bir p önermesinin değili p' (ya da \neg p), doğruluk değerini tersine çevirir.
Aşağıdakilerden hangileri önermedir? "2+2=5", "Pencereyi aç.", "7 tek sayıdır."
- "
2+2=5": doğru/yanlış denebilir (yanlış) → önerme. - "Pencereyi aç.": emir cümlesi → önerme değil.
- "
7tek sayıdır": doğru → önerme.
2. Değil (Olumsuzlama)
p' önermesi, p doğruysa yanlış, p yanlışsa doğrudur:
p | p' |
|---|---|
1 | 0 |
0 | 1 |
Ayrıca (p')'=p'dir (bir önermenin değilinin değili kendisidir).
"p: 9 bir tam karedir" önermesinin değilini yazıp doğruluk değerini bulunuz.
pdoğrudur (9=3^2), yanip=1.- Değili
p': "9 bir tam kare değildir". p=1olduğundanp'=0(yanlış).
p': "9 tam kare değildir", değeri 0.3. Ve (\wedge) — Veya (\vee)
İki önerme bağlaçla birleştirilir:
- Ve (
p\wedge q): yalnız ikisi de doğruysa doğrudur. - Veya (
p\vee q): en az biri doğruysa doğrudur; yalnız ikisi de yanlışsa yanlıştır.
p | q | p\wedge q | p\vee q |
|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 | 0 |
p=1, q=0 iken p\wedge q ve p\vee q değerlerini bulunuz.
p\wedge q: ikisi birden doğru değil (q=0) →0.p\vee q: en az biri doğru (p=1) →1.
p\wedge q=0, \;p\vee q=1.p\wedge q): taralı bölge yalnız iki dairenin ortak kısmıdır. Bir nokta hem p hem q bölgesindeyse p\wedge q doğrudur; yani ikisi de doğru olmadıkça sonuç 0'dır.p\vee q): taralı bölge iki dairenin birleşimidir. Daire bölgelerinden en az birinde olmak yeter; yalnız her iki dairenin de dışında kalan nokta (ikisi de yanlış) için p\vee q=0 olur.4. İse (\Rightarrow) — Ancak ve Ancak (\Leftrightarrow)
- Koşullu (
p\Rightarrow q, "piseq"): yalnızpdoğru,qyanlış iken yanlıştır; diğer tüm durumlarda doğrudur. - İki yönlü (
p\Leftrightarrow q, "pancak ve ancakq"): iki önermenin doğruluk değerleri aynıysa doğrudur.
p | q | p\Rightarrow q | p\Leftrightarrow q |
|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 |
"Yağmur yağarsa (p) yerler ıslanır (q)" önermesi p=0 (yağmur yağmadı) iken p\Rightarrow q ne olur?
Koşullu önerme yalnız p doğru ve q yanlışken yanlıştır. p yanlışsa önerme her durumda doğru kabul edilir.
p=0(öncül yanlış).- Tabloya göre
p=0olan satırlardap\Rightarrow qdaima1'dir.
p\Rightarrow q=1 (doğru).5. Niceleyiciler: Her (\forall) ve Bazı (\exists)
Bir özelliğin kaç eleman için geçerli olduğunu niceleyiciler belirtir:
- Evrensel (
\forall, "her"): özellik bütün elemanlar için geçerli. - Varlıksal (
\exists, "bazı / en az bir"): özellik en az bir eleman için geçerli.
Değil alındığında niceleyici yer değiştirir: "her ... doğru"nun değili "bazı ... yanlış"tır.
"Her doğal sayı çifttir" önermesinin doğruluk değerini bulup değilini yazınız.
- Önerme:
\foralldoğal sayı çift. Bu yanlıştır çünkü3tektir (bir karşıt örnek yeter). - Değili: "Bazı doğal sayılar çift değildir" — bu doğrudur.
0); değili "bazı doğal sayılar tektir" (doğru).Çözümlü Örnekler
p=0, q=1 iken p'\vee q değerini bulunuz.
p'=1(p=0'ın değili).p'\vee q=1\vee 1=1.
1.p=1, q=1 iken (p\wedge q)\Rightarrow p' değerini bulunuz.
p\wedge q=1\wedge 1=1.p'=0.1\Rightarrow 0: öncül doğru, sonuç yanlış →0.
0."x>2 ise x>0'dır" önermesi her gerçek x için doğru mudur?
x>2olan her sayı zaten0'dan büyüktür.- Öncül doğruyken sonuç da daima doğru; öncül yanlışken önerme zaten doğru kabul edilir.
x için doğrudur."Bazı asal sayılar çifttir" önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
- En az bir örnek yeterli:
2hem asal hem çifttir.
1).Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
"10, 3 ile tam bölünür" önermesinin doğruluk değeri ve değili nedir?
10,3'e tam bölünmez → önerme0(yanlış).- Değili: "
10,3ile tam bölünmez" →1(doğru).
0; değili doğru.p=1, q=0 iken p\wedge q' değerini bul.
q'=1.p\wedge q'=1\wedge 1=1.
1.p=0, q=0 iken p\Rightarrow q değerini bul.
- Öncül
p=0olduğundan koşullu önerme doğrudur.
1."Her üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir" önermesinin niceleyicisi ve doğruluk değeri nedir?
- Niceleyici "her" → evrensel (
\forall). - Bu, bütün üçgenler için geçerlidir → doğru.
1)."Bütün kuşlar uçar" önermesinin değilini yaz.
- "Her" → değili "bazı ... değil".
p=1, \;q=0, \;r=1 iken (p\wedge q')\vee r değerini bul.
- İçteki değili al:
q'=1. p\wedge q'=1\wedge 1=1.(p\wedge q')\vee r=1\vee 1=1.
1.p\Rightarrow q koşullu önermesi yalnız hangi p,q değerlerinde yanlıştır? Buna dayanarak p=1, \;q=0 iken (p\Rightarrow q)' değerini bul.
p\Rightarrow qyalnızp=1veq=0iken0'dır; diğer üç durumda1'dir.- Verilen değerler tam bu durum:
p\Rightarrow q=0. - Değilini al:
(p\Rightarrow q)'=1.
p=1,\ q=0 iken yanlıştır; istenen değer 1.p\vee p' bileşik önermesi her p için aynı değeri mi alır? Doğruluk tablosu kurarak gösterin. (Böyle hep 1 olan önermelere totoloji denir.)
p için iki olası satır var: p=1 ve p=0. Her satırda önce p', sonra p\vee p' değerini yaz.
p=1satırı:p'=0,\;p\vee p'=1\vee 0=1.p=0satırı:p'=1,\;p\vee p'=0\vee 1=1.- Her iki satırda da sonuç
1çıktı.
p\vee p' daima 1'dir; bir totolojidir.De Morgan kuralıyla (p\vee q)' ifadesini p' ve q' cinsinden yaz; sonra p=1, \;q=0 için her iki tarafın da aynı değeri verdiğini doğrula.
De Morgan: bir bileşik önermenin değili alınırken \vee ile \wedge yer değiştirir ve her parçanın değili alınır. Yani (p\vee q)'=p'\wedge q'.
- Kural:
(p\vee q)'=p'\wedge q'. - Sol taraf:
p\vee q=1\vee 0=1, değili(p\vee q)'=0. - Sağ taraf:
p'=0,\;q'=1,\;p'\wedge q'=0\wedge 1=0. - İki taraf da
0; eşitlik doğrulandı.
(p\vee q)'=p'\wedge q'; verilen değerlerde her iki taraf 0.Sık Yapılan Hatalar
- Her cümleyi önerme sanmak. Soru, emir ve görüş cümleleri önerme değildir; doğru/yanlış denebilmesi gerekir.
- "Ve" ile "veya"yı karıştırmak.
p\wedge qikisi de doğruyken,p\vee qen az biri doğruyken doğrudur. p\Rightarrow q'yu öncül yanlışken yanlış sanmak. Öncül (p) yanlışsa koşullu önerme daima doğrudur.- Niceleyicinin değilini almada yön şaşırmak. "Her" → "bazı ... değil"; "bazı" → "hiçbiri / her ... değil".
- Değili daireye dağıtırken bağlacı değiştirmemek. De Morgan'a göre
(p\wedge q)'=p'\vee q've(p\vee q)'=p'\wedge q'; değil alınınca\wedgeile\veeyer değiştirir.(p\wedge q)'=p'\wedge q'yazmak yanlıştır.
Not: Bir bileşik önermenin değerini bulmanın güvenli yolu doğruluk tablosu kurmaktır: içteki ifadeleri (
p',p\wedge qgibi) tek tek hesapla, dıştakini en son birleştir.