10. Sınıf · Geometrik Şekiller
Sinüs ve Kosinüs Teoremleri
Trigonometri yalnız dik üçgenle sınırlı değildir: herhangi bir üçgende kenarlarla açılar arasında sinüs ve kosinüs teoremleri kurar. Bu derste bir üçgende eksik kenarı ya da açıyı bulmak için sinüs teoremini (\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}) ve kosinüs teoremini (a^2=b^2+c^2-2bc\cos A) ne zaman kullanacağını öğreneceğiz. Bu iki teorem, geometri ve gerçek hayat (üçgenleme, navigasyon) problemlerinin anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Kenar – Açı Adlandırması
Bir üçgende her kenar, karşısındaki açıyla aynı harfle adlandırılır: a kenarı \widehat{A} açısının karşısındadır.
A,\ B,\ C olan üçgen. a=|BC| kenarı \widehat{A}'nın, b=|AC| kenarı \widehat{B}'nin, c=|AB| kenarı \widehat{C}'nin karşısındadır.2. Sinüs Teoremi
Bir üçgende her kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir:
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}
Ne zaman? Bir kenar–karşı açı çifti biliniyorsa ve başka bir açı ya da kenar aranıyorsa.
Bir üçgende \widehat{A}=30°, a=5 ve \widehat{B}=90° ise b kenarını bulunuz.
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} orantısını kur; \sin 30°=\dfrac12, \sin 90°=1.
\dfrac{5}{\sin 30°}=\dfrac{b}{\sin 90°}\Rightarrow \dfrac{5}{1/2}=\dfrac{b}{1}.10=b.
b=10.3. Kosinüs Teoremi
İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenar kosinüs teoremiyle bulunur:
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
Ne zaman? İki kenar + aralarındaki açı verildiğinde (üçüncü kenarı bulmak için) ya da üç kenar verildiğinde (bir açıyı bulmak için). A=90° ise \cos 90°=0 olur ve teorem Pisagor'a indirgenir.
A köşesinde buluşan b ve c kenarları ile \widehat{A} açısı bilindiğinde, karşı kenar a kosinüs teoremiyle bulunur: a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.Bir üçgende b=4, c=3 ve aralarındaki açı \widehat{A}=60° ise a kenarını bulunuz.
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot\cos 60°.\cos 60°=\dfrac12:a^2=25-24\cdot\dfrac12=25-12=13.a=\sqrt{13}.
a=\sqrt{13}.4. Hangi Teorem?
- Kenar–karşı açı çiftin varsa → sinüs teoremi.
- İki kenar + aralarındaki açı ya da üç kenar varsa → kosinüs teoremi.
Üç kenarı a=7, b=5, c=3 olan üçgende \widehat{A} açısının kosinüsünü bulunuz.
- Kosinüs teoremini
\cos Aiçin düzenle:a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. 49=25+9-2\cdot 5\cdot 3\cos A\Rightarrow 49=34-30\cos A.30\cos A=34-49=-15\Rightarrow \cos A=-\dfrac{1}{2}.
\cos A=-\dfrac12 (yani \widehat{A}=120°).Çözümlü Örnekler
Bir üçgende \widehat{A}=45°, a=\sqrt2, \widehat{C}=90° ise c kenarını bulunuz.
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}\Rightarrow \dfrac{\sqrt2}{\sin 45°}=\dfrac{c}{\sin 90°}.\sin 45°=\dfrac{\sqrt2}{2}:\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2/2}=2=\dfrac{c}{1}.
c=2.İki kenarı 5 ve 8, aralarındaki açısı 60° olan üçgenin üçüncü kenarını bulunuz.
a^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos 60°=25+64-80\cdot\dfrac12.=89-40=49\Rightarrow a=7.
7.Üç kenarı 3, 4, 5 olan üçgende 5 kenarının karşısındaki açının kosinüsünü bulunuz.
5^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos A\Rightarrow 25=25-24\cos A.24\cos A=0\Rightarrow \cos A=0→ açı90°.
\cos A=0 (dik açı).Bir üçgende \widehat{B}=30°, b=6 ve \widehat{A}=45° ise a kenarını bulunuz.
\dfrac{a}{\sin 45°}=\dfrac{6}{\sin 30°}\Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt2/2}=\dfrac{6}{1/2}=12.a=12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=6\sqrt2.
a=6\sqrt2.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
İki kenarı 6 ve 10, aralarındaki açısı 60° olan üçgenin üçüncü kenarını bul.
a^2=36+100-2\cdot6\cdot10\cdot\dfrac12=136-60=76\Rightarrow a=2\sqrt{19}.
2\sqrt{19}.\widehat{A}=30°, a=4, \widehat{B}=90° ise b kaçtır?
\dfrac{4}{1/2}=\dfrac{b}{1}\Rightarrow b=8.
8.Üç kenarı 2, 2, 2 olan üçgende bir açının kosinüsü kaçtır?
4=4+4-2\cdot2\cdot2\cos A\Rightarrow 4=8-8\cos A\Rightarrow \cos A=\dfrac12(eşkenar →60°).
\dfrac12.\widehat{A}=90°, b=6, c=8 ise kosinüs teoremiyle a kaçtır?
a^2=36+64-2\cdot6\cdot8\cos 90°=100-0=100\Rightarrow a=10.
10 (Pisagor ile aynı).\dfrac{a}{\sin A}=10 ve \sin B=\dfrac12 ise b kenarı kaçtır?
- Sinüs teoremi:
\dfrac{b}{\sin B}=10\Rightarrow b=10\cdot\dfrac12=5.
5.İki kenarı 7 ve 5, aralarındaki açısı 120° olan üçgenin üçüncü kenarını bul. (\cos 120°=-\dfrac12.)
Kosinüs teoreminde \cos 120°=-\dfrac12 negatiftir; -2bc\cos A terimi bu yüzden artı işaretine döner.
a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos 120°=49+25-70\cdot\left(-\dfrac12\right).=74+35=109.a=\sqrt{109}.
\sqrt{109}.Üç kenarı a=6, b=5, c=4 olan üçgende en büyük açı hangi kenarın karşısındadır ve bu açının kosinüsü kaçtır?
En büyük açı, en uzun kenarın (a=6) karşısındadır. \widehat{A} için kosinüs teoremini \cos A'ya göre düzenle.
- En uzun kenar
a=6olduğundan en büyük açı\widehat{A}'dır. a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow 36=25+16-2\cdot 5\cdot 4\cos A.36=41-40\cos A\Rightarrow 40\cos A=5\Rightarrow \cos A=\dfrac{1}{8}.
a=6'nın karşısında; \cos A=\dfrac{1}{8}.Bir üçgende \widehat{A}=30°, \widehat{B}=45° ve a=6 ise b kenarını bul. (\sin 45°=\dfrac{\sqrt2}{2}.)
Kenar–karşı açı çifti (a, \widehat{A}) verilmiş; sinüs teoremiyle \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} kur.
\dfrac{6}{\sin 30°}=\dfrac{b}{\sin 45°}\Rightarrow \dfrac{6}{1/2}=\dfrac{b}{\sqrt2/2}.12=\dfrac{b}{\sqrt2/2}\Rightarrow b=12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=6\sqrt2.
b=6\sqrt2.Sık Yapılan Hatalar
- Yanlış teoremi seçmek. Kenar–karşı açı çifti → sinüs; iki kenar+aralarındaki açı veya üç kenar → kosinüs.
- Kosinüs teoreminde işaret hatası. Formül
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A; eksi işaretini ve\cos Anegatifse işaret dönüşünü gözden kaçırma. - Kenarı yanlış açıyla eşlemek.
adaima\widehat{A}'nın karşısındaki kenardır. a^2'dena'ya geçerken kökü atlamak. Sonuçtaa=\sqrt{\dots}almayı unutma.- Kosinüsü negatif çıkınca şaşırmak.
\cos A<0ise açı geniştir (90°<A<180°); bu bir hata değil, geçerli bir sonuçtur. Örneğin\cos A=-\dfrac12\Rightarrow A=120°.
Not: Karar kuralı net: bir kenar ve karşı açısı varsa sinüs teoremi; iki kenar + aralarındaki açı ya da üç kenar varsa kosinüs teoremi.
A=90°'de kosinüs teoremi Pisagor olur.