AYT Matematik · Limit ve Süreklilik

Süreklilik

~9 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Bir fonksiyonun grafiğini kalemi kâğıttan kaldırmadan çizebiliyorsak, o fonksiyon süreklidir. Sezgisel bu resmin arkasında, limitle kurulan kesin bir tanım vardır. Bu konu sürekliliğin üç koşulunu, süreksizlik türlerini ve sınavların favorisi olan parçalı fonksiyon–parametre sorularını eksiksiz işler.

1. Bir Noktada Süreklilik

$f$ fonksiyonunun $x=a$ noktasında sürekli olması için aşağıdaki üç koşulun birlikte sağlanması gerekir:

 $f(a)\text{ tanımlı}\quad\wedge\quad \lim_{x\to a}f(x)\text{ var}\quad\wedge\quad \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

Koşulları sırayla okuyalım:

Koşul	Anlamı
(1) $f(a)$ tanımlı	$a$ , fonksiyonun tanım kümesindedir
(2) $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ var	Soldan limit $=$ sağdan limit (ikisi de sonlu)
(3) $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$	Limit, fonksiyon değerine eşittir

İkinci koşul, soldan ve sağdan limitlerin eşitliğini içerir:

$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)$

Bu üç koşuldan biri bile bozulursa, $f$ fonksiyonu $x=a$ noktasında süreksizdir.

Püf noktası: Soruyu çözerken üç koşulu her zaman bu sırayla yaz. Genellikle önce $f(a)$ 'yı, sonra soldan ve sağdan limitleri hesaplar, en sonda hepsini karşılaştırırsın.

Bilinen Sürekli Fonksiyonlar

Fonksiyon türü	Süreklilik
Polinomlar	Her reel sayıda süreklidir
Rasyonel fonksiyon $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$	Paydayı sıfır yapmayan ( $Q(x)\ne 0$ ) her noktada süreklidir
$\sin x,\ \cos x,\ e^{x}$	Her reel sayıda süreklidir
$\ln x,\ \sqrt{x}$	Tanımlı oldukları her noktada süreklidir

2. Süreksizlik Türleri

Bir noktada süreklilik bozulduğunda, hangi koşulun bozulduğuna göre süreksizlik üçe ayrılır:

Tür	Durum
Kaldırılabilir (giderilebilir)	Limit var ve sonlu, ama $f(a)$ tanımsız ya da $\lim\ne f(a)$
Sıçrama	Soldan ve sağdan limit ikisi de sonlu fakat birbirinden farklı
Sonsuz	Soldan ya da sağdan limit $\pm\infty$ olur

Kaldırılabilir süreksizlikte, sadece $a$ noktasındaki değeri $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ olarak yeniden tanımlayarak fonksiyonu sürekli hâle getirebiliriz; "kaldırılabilir" adı buradan gelir. Sıçrama ve sonsuz süreksizlikte ise tek bir değer değiştirerek süreklilik sağlanamaz.

Şekil — Kaldırılabilir (giderilebilir) süreksizlik:

g(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}

aslında

y=x+2

doğrusudur, ama

x=2

'de tanımsız olduğu için orada bir "delik" (içi boş nokta) vardır. Limit

4

olarak vardır;

g(2)=4

tanımlanırsa süreksizlik kalkar.

3. Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik

Parçalı tanımlı bir fonksiyonun her parçası kendi aralığında (polinom, rasyonel vb. olduğundan) zaten süreklidir. Tek kontrol edilecek yer, parçaların birleştiği noktalardır. Orada üç koşulu sınarız.

Sınavlarda en sık gelen biçim, fonksiyonu sürekli yapacak parametreyi belirlemektir. Bunun anahtarı tek bir denklemdir:

$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$

Aralıkta Süreklilik

$f$ bir $(c,d)$ açık aralığındaki her noktada sürekliyse, $f$ bu aralıkta süreklidir. Kapalı aralık $[c,d]$ için uçlarda tek taraflı süreklilik aranır: $\lim\limits_{x\to c^{+}}f(x)=f(c)$ ve $\lim\limits_{x\to d^{-}}f(x)=f(d)$ .

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ fonksiyonu $x=1$ noktasında sürekli midir? Süreksizse türünü belirleyiniz.

(1) Tanımlılık: $x=1$ için payda $x-1=0$ olur, dolayısıyla $f(1)$ tanımsızdır. İlk koşul bozuldu, fonksiyon süreksizdir.
(2) Limit: $x\ne 1$ için pay çarpanlarına ayrılır: $\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ .
Limiti al: $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=2$ . Limit var ve sonlu.
Limit sonlu olmasına rağmen $f(1)$ tanımsız olduğundan süreksizlik kaldırılabilir türdendir. ( $f(1)=2$ tanımlansaydı fonksiyon sürekli olurdu.)

Sonuç: Süreksizdir; kaldırılabilir (giderilebilir) süreksizlik.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}x^{2},& x\le 1\\ ax+1,& x>1\end{cases}$ fonksiyonu $x=1$ noktasında sürekli olacak şekilde $a$ değerini bulunuz.

Süreklilik için soldan limit $=$ sağdan limit $=$ $f(1)$ olmalıdır. Bu denklemi kurup $a$ 'yı çek.

$f(1)$ değeri: $x\le 1$ parçası geçerli, $f(1)=1^{2}=1$ .
Soldan limit: $x\to 1^{-}$ için $x\le 1$ parçası kullanılır: $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=1^{2}=1$ .
Sağdan limit: $x\to 1^{+}$ için $x>1$ parçası kullanılır: $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=a\cdot 1+1=a+1$ .
Süreklilik koşulu: $\lim\limits_{x\to 1^{-}}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}=f(1)\Rightarrow a+1=1\Rightarrow a=0$ .

Sonuç:

a=0

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}x+1,& x<2\\ x+4,& x\ge 2\end{cases}$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki süreksizlik türünü belirleyiniz.

Soldan limit: $x\to 2^{-}$ için $x<2$ parçası: $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=2+1=3$ .
Sağdan limit: $x\to 2^{+}$ için $x\ge 2$ parçası: $\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=2+4=6$ .
Soldan limit $3$ , sağdan limit $6$ ; ikisi de sonlu ama $3\ne 6$ . Limit yoktur, fonksiyon süreksizdir.
İki tek taraflı limit sonlu ve farklı olduğundan süreksizlik sıçrama türündedir. (Grafikte $x=2$ 'de $3$ ten $6$ ya bir atlama vardır.)

Sonuç: Sıçrama süreksizliği.

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki süreksizlik türünü belirleyiniz.

Tanımlılık: $x=2$ için payda $x-2=0$ olur, $f(2)$ tanımsızdır.
Sağdan limit: $x\to 2^{+}$ iken $x-2\to 0^{+}$ , dolayısıyla $\lim\limits_{x\to 2^{+}}\dfrac{1}{x-2}=+\infty$ .
Soldan limit: $x\to 2^{-}$ iken $x-2\to 0^{-}$ , dolayısıyla $\lim\limits_{x\to 2^{-}}\dfrac{1}{x-2}=-\infty$ .
Tek taraflı limitler sonsuz olduğundan süreksizlik sonsuz türündedir. ( $x=2$ doğrusu grafiğin düşey asimptotudur.)

Sonuç: Sonsuz süreksizlik.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}ax+b,& x<1\\ 3,& x=1\\ x^{2}+2,& x>1\end{cases}$ fonksiyonu $x=1$ noktasında sürekli olacak şekilde $a$ ve $b$ değerlerini bulunuz.

Üç koşulu sırayla yaz. $f(1)=3$ verildiğine göre hem soldan hem sağdan limit $3$ e eşit olmalıdır. Bu iki denklemden $a$ ve $b$ yi çöz.

Fonksiyon değeri: Verilen tanıma göre $f(1)=3$ .
Sağdan limit: $x\to 1^{+}$ için $x>1$ parçası: $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=1^{2}+2=3$ . Bu, $f(1)=3$ ile zaten uyumlu.
Soldan limit: $x\to 1^{-}$ için $x<1$ parçası: $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=a\cdot 1+b=a+b$ .
Süreklilik koşulu: Üç değerin eşitliği için $a+b=3$ . Tek denklem, iki bilinmeyen olduğundan sonsuz çözüm vardır; örneğin $a=1$ için $b=2$ .

Sonuç: Süreklilik için

a+b=3

olmalıdır (ör.

a=1,\ b=2

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x^{2}-9}{x-3}$ fonksiyonu $x=3$ noktasında kaldırılabilir süreksizliğe sahiptir. Bu süreksizliği gidermek için $f(3)$ kaç olarak tanımlanmalıdır?

$x\ne 3$ için pay çarpanlarına ayrılır: $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ .
Limiti al: $\lim\limits_{x\to 3}f(x)=\lim\limits_{x\to 3}(x+3)=6$ .
Süreksizliği gidermek için $f(3)$ , limite eşit tanımlanmalıdır.

Sonuç:

f(3)=6

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}3x-1,& x\le 2\\ x+c,& x>2\end{cases}$ fonksiyonu $x=2$ noktasında sürekli olacak şekilde $c$ değerini bulunuz.

$f(2)$ değeri: $x\le 2$ parçası geçerli: $f(2)=3\cdot 2-1=5$ .
Soldan limit: $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=3\cdot 2-1=5$ .
Sağdan limit: $\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=2+c$ .
Süreklilik koşulu: $2+c=5\Rightarrow c=3$ .

Sonuç:

c=3

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x-4}{x^{2}-16}$ fonksiyonunun süreksiz olduğu $x$ değerlerini ve her birindeki süreksizlik türünü belirleyiniz.

Payda $x^{2}-16=(x-4)(x+4)$ olduğundan süreksizlik adayları $x=4$ ve $x=-4$ tür.
$x\ne 4$ için sadeleştir: $\dfrac{x-4}{(x-4)(x+4)}=\dfrac{1}{x+4}$ .
$x=4$ : $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{1}{8}$ sonlu; $f(4)$ tanımsız $\Rightarrow$ kaldırılabilir süreksizlik.
$x=-4$ : $\dfrac{1}{x+4}$ ifadesinde payda sıfıra gider, limit $\pm\infty$ $\Rightarrow$ sonsuz süreksizlik.

Sonuç:

x=4

te kaldırılabilir,

x=-4

te sonsuz süreksizlik.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2},& x\ne 2\\ k,& x=2\end{cases}$ fonksiyonu her reel sayıda sürekli ise $k$ kaçtır?

$x\ne 2$ için sadeleştir: $\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ .
Limiti al: $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=2+2=4$ .
Süreklilik için $f(2)=\lim\limits_{x\to 2}f(x)$ olmalı: $k=4$ .

Sonuç:

k=4

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}ax+3,& x<-1\\ x^{2}-bx,& x\ge -1\end{cases}$ fonksiyonu $x=-1$ de sürekli ve $f(-1)=4$ ise $a+b$ kaçtır?

$f(-1)$ değeri: $x\ge -1$ parçası: $f(-1)=(-1)^{2}-b(-1)=1+b$ . Verilene göre $1+b=4\Rightarrow b=3$ .
Sağdan limit: $\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=1+b=4$ .
Soldan limit: $\lim\limits_{x\to -1^{-}}f(x)=a(-1)+3=-a+3$ .
Süreklilik: $-a+3=4\Rightarrow a=-1$ . Buradan $a+b=-1+3=2$ .

Sonuç:

a+b=2

Örnek

Soru

$g(x)=\dfrac{x+5}{x^{2}-x-6}$ rasyonel fonksiyonu hangi $x$ değerlerinde süreksizdir?

Rasyonel fonksiyon, paydayı sıfır yapan noktalar dışında süreklidir.
Paydayı çarpanlara ayır: $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ .
Payda sıfır olur: $x-3=0\Rightarrow x=3$ ve $x+2=0\Rightarrow x=-2$ .
Pay ( $x+5$ ) bu değerlerde sıfır olmadığından sadeleşme yoktur; her ikisinde de süreksizdir.

Sonuç:

x=3

x=-2

noktalarında süreksizdir.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}x+a,& x\le 0\\ \dfrac{\sin 2x}{x},& x>0\end{cases}$ fonksiyonu $x=0$ da sürekli ise $a$ kaçtır?

$f(0)$ değeri: $x\le 0$ parçası: $f(0)=0+a=a$ .
Soldan limit: $\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=0+a=a$ .
Sağdan limit: $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin 2x}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}2\cdot\dfrac{\sin 2x}{2x}=2\cdot 1=2$ .
Süreklilik koşulu: $a=2$ .

Sonuç:

a=2

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-ax+b}{x-3},& x\ne 3\\[2mm] c,& x=3\end{cases}$ fonksiyonu $x=3$ noktasında süreklidir. Ayrıca $x\ne 3$ için pay, $(x-3)$ ile tam bölünmekte ve bölümün diğer çarpanı $(x-2)$ olmaktadır.

Buna göre $a+b+c$ kaçtır?

A) $8$ · B) $10$ · C) $11$ · D) $12$ · E) $14$

Pay tam bölünüp bölümün diğer çarpanı $(x-2)$ olduğundan: $x^{2}-ax+b=(x-3)(x-2)=x^{2}-5x+6$ .
Katsayıları eşitle: $a=5$ ve $b=6$ .
$x\ne 3$ için $f(x)=\dfrac{(x-3)(x-2)}{x-3}=x-2$ .
Süreklilik için $c=\lim\limits_{x\to 3}f(x)=\lim\limits_{x\to 3}(x-2)=1$ .
Sonuç: $a+b+c=5+6+1=12$ .

Sonuç: D)

12

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}2x+a,& x<1\\ x^{2}+b,& 1\le x\le 2\\ bx-3,& x>2\end{cases}$ fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir.

Buna göre $a\cdot b$ çarpımı kaçtır?

A) $35$ · B) $40$ · C) $42$ · D) $48$ · E) $56$

Her parça kendi aralığında polinom olduğundan, yalnız $x=1$ ve $x=2$ birleşme noktalarını sınarız.
$x=2$ noktası: Soldan $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=2^{2}+b=4+b$ , sağdan $\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=b\cdot 2-3=2b-3$ .
Eşitle: $4+b=2b-3\Rightarrow b=7$ .
$x=1$ noktası: Soldan $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=2\cdot 1+a=2+a$ , sağdan $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=1^{2}+b=1+b$ .
Eşitle: $2+a=1+b=1+7=8\Rightarrow a=6$ .
Sonuç: $a\cdot b=6\cdot 7=42$ .

Sonuç: C)

42

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x},& x\ne 0\\[2mm] a,& x=0\end{cases}$ fonksiyonu $x=0$ noktasında süreklidir.

Buna göre $8a$ kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $6$

$x\ne 0$ için ifadeyi eşleniğiyle genişlet: $\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}$ .
Sadeleştir: $\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ .
Limiti al: $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}$ .
Süreklilik için $a=\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\dfrac{1}{4}$ .
Sonuç: $8a=8\cdot\dfrac{1}{4}=2$ .

Sonuç: B)

2

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin 4x}{x},& x<0\\[2mm] x^{2}+a,& 0\le x<2\\[1mm] bx-2,& x\ge 2\end{cases}$ fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir.

Buna göre $a+b$ kaçtır?

A) $5$ · B) $6$ · C) $7$ · D) $8$ · E) $9$

İki birleşme noktası var: $x=0$ ve $x=2$ . Her birinde soldan limit $=$ sağdan limit $=f$ değeri olmalı. $x<0$ parçasında $\frac{\sin 4x}{x}\to 4$ temel limitini kullan.

$x=0$ noktası: Soldan ( $x<0$ ): $\lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{\sin 4x}{x}=4$ (temel limit; $\frac{\sin 4x}{x}=4\cdot\frac{\sin 4x}{4x}\to 4$ ).
Sağdan ( $0\le x<2$ , kural $x^{2}+a$ ): $\lim\limits_{x\to 0^{+}}(x^{2}+a)=a$ , ayrıca $f(0)=a$ .
Süreklilik için $4=a\Rightarrow a=4$ .
$x=2$ noktası: Soldan ( $0\le x<2$ ): $\lim\limits_{x\to 2^{-}}(x^{2}+a)=4+a=4+4=8$ .
Sağdan ( $x\ge 2$ , kural $bx-2$ ): $f(2)=2b-2$ . Süreklilik için $2b-2=8\Rightarrow b=5$ .
İstenen: $a+b=4+5=9$ .

Sonuç: E)

9

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-x-6}{x-3},& x\ne 3\\[2mm] m,& x=3\end{cases}$ fonksiyonu $x=3$ 'te sürekli; $g(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-2x-3}$ fonksiyonu ise $x=n$ noktasında kaldırılabilir süreksizliğe sahiptir.

Buna göre $m+n$ kaçtır?

A) $2$ · B) $3$ · C) $4$ · D) $5$ · E) $6$

$f$ için sadeleştirip $x=3$ limitini al. $g$ için paydayı çarpanlara ayır; pay ile sadeleşen kök kaldırılabilir süreksizlik (delik) verir.

$f$ : Pay $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ , sadeleştir: $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2$ ( $x\ne 3$ ). Limit $\lim\limits_{x\to 3}(x+2)=5$ . Süreklilik için $m=5$ .
$g$ : Payda $x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$ . Süreksizlik adayları $x=3$ ve $x=-1$ .
Pay $x+1$ , paydadaki $(x+1)$ ile sadeleşir: $g(x)=\dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{1}{x-3}$ ( $x\ne -1$ ).
$x=-1$ sadeleştiği için orada kaldırılabilir süreksizlik (delik) vardır; $x=3$ ise sonsuz süreksizliktir. O hâlde $n=-1$ .
İstenen: $m+n=5+(-1)=4$ .

Sonuç: C)

4

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}+x-3$ fonksiyonu $\mathbb{R}$ 'de süreklidir.

Ara Değer Teoremi'ne göre, $f$ fonksiyonunun bir kökü aşağıdaki aralıklardan hangisinde kesinlikle vardır?

A) $(-1,0)$ · B) $(0,1)$ · C) $(1,2)$ · D) $(2,3)$ · E) $(3,4)$

$f$ sürekli olduğundan, uç noktalarda işaret değiştiren ( $f(a)\cdot f(b)<0$ ) aralıkta en az bir kök vardır.

Polinom her yerde sürekli; Ara Değer Teoremi uygulanabilir. Uç değerlerin işaretine bak.
$f(0)=0+0-3=-3<0$ .
$f(1)=1+1-3=-1<0$ . İşaret değişmedi, $(0,1)$ garanti değil.
$f(2)=8+2-3=7>0$ . $f(1)=-1<0$ ile $f(2)=7>0$ arasında işaret değişti: $f(1)\cdot f(2)<0$ .
Süreklilik $+$ işaret değişimi $\Rightarrow$ $(1,2)$ aralığında en az bir kök kesinlikle vardır.

Sonuç: C)

(1,2)

Sık Yapılan Hatalar

Sadece limitin varlığını kontrol edip $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ koşulunu atlamak. Limit var diye fonksiyon sürekli olmaz; limitin $f(a)$ 'ya eşit olması da şarttır.
Kaldırılabilir ile sıçrama süreksizliğini karıştırmak. Kaldırılabilirde limit vardır (soldan = sağdan); sıçramada soldan ile sağdan limit farklıdır.
Parçalı fonksiyonda tek taraftan limit almak. Birleşme noktasında hem soldan hem sağdan limit hesaplanmalı; çoğu hata yalnız bir parçayı kullanmaktan doğar.
Sonsuz süreksizliği "kaldırılabilir" sanmak. Limit $\pm\infty$ ise hiçbir değer atayarak süreklilik sağlanamaz.

Sınav İpucu

Süreklilik sorusunda üç koşulu sırayla yaz: $f(a)$ tanımlı mı, limit var mı, limit $=f(a)$ mı?
Parçalı fonksiyon parametresinde tek kurtarıcı denklem: $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ .
Süreksizlik türünü belirlemek için önce soldan ve sağdan limitlere bak: ikisi de sonlu ve eşit $\Rightarrow$ kaldırılabilir; sonlu ama farklı $\Rightarrow$ sıçrama; biri $\pm\infty$ $\Rightarrow$ sonsuz.
Rasyonel fonksiyonlarda süreksizlik adayları, paydayı sıfır yapan $x$ değerleridir; her birinde payı çarpanlarına ayırıp sadeleşip sadeleşmediğine bak.

1. Bir Noktada Süreklilik

Bilinen Sürekli Fonksiyonlar

2. Süreksizlik Türleri

3. Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik

Aralıkta Süreklilik

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Limit ve Süreklilik — diğer konular