9. Sınıf · İstatistiksel Araştırma Süreci
Tek Değişkenli Veri Dağılımları
İstatistiksel Araştırma Süreci teması, bir soruyu veriyle yanıtlamayı öğretir. Bu derste tek nicel değişkenli bir veri kümesini özetleyen ölçüleri — merkezî eğilim (aritmetik ortalama, ortanca/medyan, tepe değer/mod) ve yayılım (açıklık) — hesaplamayı ve bir veriyi sütun grafiğinden okumayı öğreneceğiz. Bu ölçüler, "veri genelde nerede toplanıyor ve ne kadar yayılmış?" sorusunun yanıtıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Aritmetik Ortalama
Bir veri kümesinin aritmetik ortalaması \overline{x}, tüm değerlerin toplamının veri sayısına bölümüdür:
\overline{x}=\dfrac{\text{verilerin toplamı}}{\text{veri sayısı}}
Ortalama, verinin "ağırlık merkezini" temsil eder; aşırı büyük ya da küçük bir uç değerden etkilenir.
5,\ 8,\ 11,\ 16 verilerinin aritmetik ortalamasını bulunuz.
- Topla:
5+8+11+16=40. - Veri sayısına böl:
\overline{x}=\dfrac{40}{4}=10.
\overline{x}=10.2. Ortanca (Medyan)
Medyan, veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortadaki değerdir. Sıralama yapmadan medyan bulunamaz.
- Veri sayısı tek ise: ortadaki değer.
- Veri sayısı çift ise: ortadaki iki değerin ortalaması.
Medyan, uç değerlerden ortalamadan daha az etkilenir.
3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10 verisi sayı doğrusuna dizildiğinde medyan, ortadaki iki değer olan 6 ile 7'nin tam ortasındadır: \dfrac{6+7}{2}=6{,}5. Çift veride medyan bir veri değeri olmak zorunda değildir.7,\ 3,\ 9,\ 4,\ 10,\ 6 verilerinin medyanını bulunuz.
Önce küçükten büyüğe sırala. Veri sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalamasını al.
- Sırala:
3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10. 6veri (çift); ortadakiler3.ve4.sıradaki6ve7.- Medyan:
\dfrac{6+7}{2}=6{,}5.
=6{,}5.3. Tepe Değer (Mod)
Mod, veri kümesinde en çok tekrar eden değerdir. Bir kümede birden fazla mod olabilir; hiç tekrar yoksa mod yoktur.
4,\ 6,\ 6,\ 9,\ 6,\ 4 verilerinin modunu bulunuz.
- Tekrarlara bak:
6üç kez,4iki kez,9bir kez. - En çok tekrar eden değer
6'dır.
=6.4. Açıklık (Yayılım)
Açıklık (ranj), verinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki farktır; verinin ne kadar yayıldığını gösterir:
\text{Açıklık}=\text{en büyük değer}-\text{en küçük değer}
14,\ 9,\ 21,\ 6,\ 18 verilerinin açıklığını bulunuz.
- En büyük
21, en küçük6. - Açıklık
=21-6=15.
15.5. Sütun Grafiğinden Veri Okuma
Sütun grafiğinde her kategori bir sütunla, değeri sütunun yüksekliğiyle gösterilir. Merkezî eğilim ve açıklık ölçülerini doğrudan yüksekliklerden okuyabilirsin.
4, Salı 8, Çarşamba 6, Perşembe 10. Ortalama \dfrac{4+8+6+10}{4}=7, açıklık 10-4=6'dır.Yukarıdaki grafikte dört günün satışları 4,\ 8,\ 6,\ 10'dur. Medyanı bulunuz.
- Sırala:
4,\ 6,\ 8,\ 10. - Çift veri; ortadakiler
6ve8:\dfrac{6+8}{2}=7.
=7.Çözümlü Örnekler
12,\ 15,\ 18,\ 15 verilerinin ortalama, medyan ve modunu bulunuz.
- Ortalama:
\dfrac{12+15+18+15}{4}=\dfrac{60}{4}=15. - Sırala:
12,\ 15,\ 15,\ 18; medyan\dfrac{15+15}{2}=15. - Mod: en çok tekrar eden
15.
15, medyan 15, mod 15.Bir öğrencinin 4 sınav ortalaması 80'dir. Beşinci sınavdan 90 alırsa yeni ortalaması kaç olur?
- İlk dört sınavın toplamı:
4\cdot 80=320. - Beşinciyi ekle:
320+90=410. - Yeni ortalama:
\dfrac{410}{5}=82.
82.3,\ 7,\ x,\ 9,\ 11 verilerinin ortalaması 8 ise x kaçtır?
- Ortalama formülü:
\dfrac{3+7+x+9+11}{5}=8. 30+x=40\Rightarrow x=10.
x=10.10 kişilik bir grubun yaş açıklığı 24, en küçük yaş 18 ise en büyük yaş kaçtır?
- Açıklık
=en büyük-en küçük:24=x-18. x=42.
42.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
2,\ 4,\ 9,\ 5 verilerinin ortalamasını bul.
\dfrac{2+4+9+5}{4}=\dfrac{20}{4}=5.
5.8,\ 3,\ 5,\ 12,\ 7 verilerinin medyanını bul.
- Sırala:
3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 12. 5veri (tek); ortadaki7.
7.5,\ 5,\ 8,\ 8,\ 8,\ 2 verilerinin modu ve açıklığı nedir?
- Mod: en çok tekrar eden
8(üç kez). - Açıklık:
8-2=6.
8, açıklık 6.6,\ 10,\ x verilerinin ortalaması 9 ise x kaçtır?
\dfrac{6+10+x}{3}=9\Rightarrow 16+x=27\Rightarrow x=11.
11.Bir sınıfın sınav notları sütun grafiğinde 50,\ 70,\ 90,\ 70 olarak okunuyor. Notların modunu bul.
- En çok tekrar eden değer
70(iki kez).
=70.7,\ 7,\ 10,\ 13,\ 13 verilerinin ortalama, medyan ve modunu bul. Hepsi eşit mi?
- Ortalama:
\dfrac{7+7+10+13+13}{5}=\dfrac{50}{5}=10. - Sırala:
7,\ 7,\ 10,\ 13,\ 13;5veri (tek), ortadaki3.değer10. - Mod:
7iki kez,13iki kez tekrar ediyor; iki mod var:7ve13.
10, medyan 10, mod 7 ve 13 (iki tepe değerli).5 kişilik bir takımın boy ortalaması 174 cm'dir. Takıma boyu 186 cm olan bir oyuncu katılırsa yeni ortalama kaç olur?
Önce 5 kişinin boy toplamını 5\cdot 174 ile bul; yeni oyuncuyu ekleyip 6'ya böl.
- İlk
5kişinin toplamı:5\cdot 174=870. - Yeni oyuncuyu ekle:
870+186=1056. - Yeni ortalama:
\dfrac{1056}{6}=176cm.
176 cm.4,\ 9,\ 9,\ x,\ 14 verilerinin medyanı 9, en küçük değeri 4'tür. Açıklık 12 ise x kaç olabilir?
Açıklık = en büyük - en küçük olduğundan önce en büyük değeri bul; sonra x'in bu sıralamayı bozmamasına dikkat et.
- Açıklık
=en büyük-en küçük=12; en küçük4olduğundan en büyük=4+12=16. - Demek ki verilerden biri
16olmalı; listede14var, o hâldex=16. - Kontrol: sıralı liste
4,\ 9,\ 9,\ 14,\ 16; ortadaki3.değer9, medyan doğru.
x=16.Bir öğrencinin ilk 3 sınav ortalaması 70'tir. Dört sınavın ortalamasını 75 yapmak için dördüncü sınavdan kaç almalıdır?
Dört sınavın olması gereken toplamından, ilk üç sınavın toplamını çıkar.
- İlk üç sınavın toplamı:
3\cdot 70=210. - Dört sınavın olması gereken toplamı:
4\cdot 75=300. - Dördüncü sınav notu:
300-210=90.
90.Sık Yapılan Hatalar
- Medyanda sıralamayı atlamak. Önce her zaman küçükten büyüğe sırala, sonra ortadakini seç.
- Çift veri sayısında medyanı tek değer sanmak. Ortadaki iki değerin ortalamasını al.
- Mod ile medyanı karıştırmak. Mod en çok tekrar eden değer, medyan sıralı listenin ortasıdır.
- Açıklığı veri sayısıyla karıştırmak. Açıklık
=en büyük-en küçük; kaç veri olduğuyla ilgili değildir. - Modu tek değer sanmak. Bir kümede en yüksek tekrarı birden çok değer paylaşıyorsa mod birden fazladır; hiç tekrar yoksa mod yoktur.
Not: Bir veri kümesini özetlerken önce sırala. Ortalama uç değerlerden etkilenir; uç değer varsa medyan veriyi daha sağlıklı temsil eder.