12. Sınıf · Türev
Türevin Tanımı ve Anlamı
Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızını ölçer. Önce iki nokta arasındaki ortalama değişim oranını (kesenin eğimini) buluruz; sonra ikinci noktayı birinciye yaklaştırıp limit alırız. Bu limit, o noktadaki teğetin eğimi ve fonksiyonun o noktadaki türevidir. Bu derste türevin limitle tanımını, anlık değişim oranını ve teğet eğimi yorumunu öğreneceğiz; bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Ortalama Değişim Oranı
y=f(x) fonksiyonunda x, a'dan b'ye değişirken ortalama değişim oranı, grafiğin A\big(a,f(a)\big) ve B\big(b,f(b)\big) noktalarından geçen kesenin eğimidir:
\text{Ortalama değişim oranı}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}
Bu, "x bir birim arttığında y ortalama ne kadar değişir" sorusunun yanıtıdır.
f(x)=x^2 fonksiyonunun x=1 ile x=3 arasındaki ortalama değişim oranını bulunuz.
- Uç değerleri hesapla:
f(1)=1,f(3)=9. - Orana koy:
\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4.
4 (kesenin eğimi).2. Anlık Değişim Oranı ve Türevin Tanımı
İkinci noktayı birinciye yaklaştırırsak (b\to a), kesen yavaş yavaş teğete dönüşür. Kesenin eğiminin bu limitine anlık değişim oranı veya f fonksiyonunun a noktasındaki türevi denir ve f'(a) ile gösterilir:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
Burada h=b-a ikinci noktanın birinciye uzaklığıdır; h\to 0 olunca B\to A olur. Bu limit varsa f, a noktasında türevlenebilir denir.
f(x)=x^2 eğrisinde A(1,1) ve B(3,9) noktalarından geçen kesenin eğimi 4'tür. B noktası A'ya yaklaştıkça kesen, A noktasındaki teğete dönüşür; teğetin eğimi (yani f'(1)) 2'dir.f(x)=x^2 fonksiyonunun x=1 noktasındaki türevini tanımı kullanarak bulunuz.
f(1+h)=(1+h)^2 açılımını yaz; payda h ortak çarpanını sadeleştirdikten sonra h\to 0 koy.
- Tanımı yaz:
f'(1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}. f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2,f(1)=1.- Pay:
(1+2h+h^2)-1=2h+h^2=h(2+h). - Sadeleştir:
\dfrac{h(2+h)}{h}=2+h. - Limit:
\lim_{h\to 0}(2+h)=2.
f'(1)=2.3. Teğetin Eğimi ve Teğet Denklemi
Bir noktadaki türev, grafiğe o noktada çizilen teğet doğrusunun eğimidir. Eğimi m=f'(a) olan ve \big(a,f(a)\big) noktasından geçen teğetin denklemi:
y-f(a)=f'(a)\,(x-a)
Türev pozitifse fonksiyon o noktada artıyor, negatifse azalıyor, sıfırsa teğet yataydır.
f(x)=x^2 eğrisine x=1 noktasında çizilen teğetin denklemini yazınız. (f'(1)=2 bulunmuştu.)
- Değme noktası:
a=1,f(1)=1, eğimm=f'(1)=2. - Teğet denklemi:
y-1=2(x-1). - Düzenle:
y=2x-1.
y=2x-1.4. Türev Fonksiyonu
Her x için türevi hesaplarsak yeni bir fonksiyon elde ederiz; buna türev fonksiyonu f'(x) denir:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
Bir kez f'(x)'i bulunca, herhangi bir noktadaki türevi yerine koyarak (f'(a)) okuruz.
f(x)=x^2 fonksiyonunun türev fonksiyonu f'(x)'i tanımdan bulunuz.
f(x+h)=(x+h)^2=x^2+2xh+h^2.- Pay:
(x^2+2xh+h^2)-x^2=2xh+h^2=h(2x+h). - Sadeleştir:
\dfrac{h(2x+h)}{h}=2x+h. - Limit:
\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.
f'(x)=2x.Çözümlü Örnekler
f(x)=3x+2 fonksiyonunun türevini tanımdan bulunuz.
f(x+h)=3(x+h)+2=3x+3h+2.- Pay:
(3x+3h+2)-(3x+2)=3h. - Sadeleştir:
\dfrac{3h}{h}=3. - Limit:
\lim_{h\to 0}3=3.
f'(x)=3 (doğrusal fonksiyonun türevi, eğimine eşittir).f(x)=x^2-4x fonksiyonunun x=3 ile x=5 arasındaki ortalama değişim oranını bulunuz.
f(3)=9-12=-3,f(5)=25-20=5.- Oran:
\dfrac{5-(-3)}{5-3}=\dfrac{8}{2}=4.
4.f(x)=x^2+1 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini tanımdan bulunuz.
f(2+h)=(2+h)^2+1 açılımında sabit terimler sadeleşir; pay h'li terimlerden oluşur.
f(2+h)=(2+h)^2+1=4+4h+h^2+1=5+4h+h^2,f(2)=5.- Pay:
(5+4h+h^2)-5=4h+h^2=h(4+h). - Sadeleştir:
\dfrac{h(4+h)}{h}=4+h. - Limit:
\lim_{h\to 0}(4+h)=4.
f'(2)=4.f(x)=\dfrac{1}{x} fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini tanımdan bulunuz.
Payı tek kesir hâline getir: \dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2} ortak paydada birleşir; sonra h ile sadeleşir.
- Pay:
\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\dfrac{-h}{2(2+h)}. - Tüm ifade:
\dfrac{1}{h}\cdot\dfrac{-h}{2(2+h)}=\dfrac{-1}{2(2+h)}. - Limit:
\lim_{h\to 0}\dfrac{-1}{2(2+h)}=\dfrac{-1}{2\cdot 2}=-\dfrac{1}{4}.
f'(2)=-\dfrac{1}{4}.f(x)=x^2 eğrisine x=-2 noktasında çizilen teğetin denklemini yazınız.
- Türev fonksiyonu
f'(x)=2xolduğundan eğimm=f'(-2)=-4. - Değme noktası:
\big(-2,\ f(-2)\big)=(-2,\ 4). - Teğet:
y-4=-4\big(x-(-2)\big)=-4(x+2). - Düzenle:
y=-4x-4.
y=-4x-4.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
f(x)=x^2 fonksiyonunun x=2 ile x=4 arasındaki ortalama değişim oranını bul.
f(2)=4,f(4)=16.- Oran:
\dfrac{16-4}{4-2}=\dfrac{12}{2}=6.
6.f(x)=5x-7 fonksiyonunun türevini tanımdan bul.
f(x+h)=5(x+h)-7=5x+5h-7.- Pay:
5h, sadeleştir:\dfrac{5h}{h}=5. - Limit:
5.
f'(x)=5.f(x)=x^2+3 fonksiyonunun x=1 noktasındaki türevini tanımdan bul.
f(1+h)=(1+h)^2+3=1+2h+h^2+3=4+2h+h^2,f(1)=4.- Pay:
2h+h^2=h(2+h), sadeleştir:2+h. - Limit:
2.
f'(1)=2.f(x)=x^2-2x fonksiyonunun türev fonksiyonu f'(x)'i tanımdan bul.
f(x+h)=(x+h)^2-2(x+h)=x^2+2xh+h^2-2x-2h.- Pay:
f(x+h)-f(x)=2xh+h^2-2h=h(2x+h-2). - Sadeleştir:
2x+h-2, limit:2x-2.
f'(x)=2x-2.f(x)=x^2 eğrisine x=3 noktasında çizilen teğetin eğimini bul.
f'(x)=2xolduğundan eğimf'(3)=2\cdot 3=6.
6.f(x)=4 (sabit fonksiyon) için f'(x)'i tanımdan bul.
f(x+h)=4,f(x)=4.- Pay:
4-4=0, oran:\dfrac{0}{h}=0. - Limit:
0.
f'(x)=0 (sabit fonksiyonun türevi sıfırdır).f(x)=x^3 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini tanımdan bul.
(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3 açılımını kullan; sabit terim 8, f(2)=8 ile sadeleşir.
f(2+h)=(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3,f(2)=8.- Pay:
12h+6h^2+h^3=h(12+6h+h^2). - Sadeleştir:
12+6h+h^2, limit:12.
f'(2)=12.f(x)=\sqrt{x} fonksiyonunun x=4 noktasındaki türevini tanımdan bul.
Payı eşlenikle (\sqrt{4+h}+2) çarp: \sqrt{4+h}-2 ifadesi \dfrac{h}{\sqrt{4+h}+2}'ye dönüşür.
- Pay:
\sqrt{4+h}-\sqrt{4}=\sqrt{4+h}-2. - Eşlenikle çarp:
\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\dfrac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}=\dfrac{(4+h)-4}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}=\dfrac{h}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}. - Sadeleştir:
\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}. - Limit:
\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}.
f'(4)=\dfrac{1}{4}.f(x)=x^2-4x+1 eğrisine, teğeti yatay olan noktanın apsisini bul.
Teğet yatay ise eğim 0'dır. Türev fonksiyonunu bulup f'(x)=0 denklemini çöz.
- Türev fonksiyonu (tanımdan):
f(x+h)-f(x)=2xh+h^2-4h=h(2x+h-4), sadeleştir ve limit al:f'(x)=2x-4. - Yatay teğet:
f'(x)=0\Rightarrow 2x-4=0\Rightarrow x=2.
x=2.Sık Yapılan Hatalar
- Ortalama ile anlık değişim oranını karıştırmak. İki nokta arası ortalama (kesen eğimi); tek nokta için anlık değişim (
h\to 0limiti, teğet eğimi) hesaplanır. hile sadeleştirmedenh=0koymak. Limitte doğrudanh=0yazarsan\dfrac{0}{0}belirsizliği çıkar; önce paydahortak çarpanını sadeleştir.(a+h)^2=a^2+h^2sanmak. Doğrusu(a+h)^2=a^2+2ah+h^2'dir; orta terimi unutmak türevi yanlış yapar.- Teğet denkleminde eğimi noktayla karıştırmak. Teğet
y-f(a)=f'(a)(x-a); eğim türev değerif'(a), geçtiği nokta\big(a,f(a)\big)'dır.
Not: Türevin özü tek cümlede: kesenin eğiminin, iki nokta birbirine yaklaşırken aldığı limit. Tanımdan türev alırken refleksin "pay aç →
hparantezine al → sadeleştir →h\to 0" olsun.