9. Sınıf · Geometrik Şekiller

Üçgende Kenar-Açı Bağıntıları

~6 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Bir üçgende açılarla kenarlar birbirine bağlıdır: büyük açının karşısında uzun kenar bulunur. Bu derste kenar-açı sıralaması ilişkisini ve bir üçgenin var olabilmesi için kenarlarının sağlaması gereken üçgen eşitsizliğini ( $|b-c|<a<b+c$ ) öğreneceğiz. Bu iki kural, "bu üçgen çizilebilir mi?", "üçüncü kenar kaç olabilir?" ve "açıları/kenarları sırala" tipindeki soruların anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Kenar-Açı İlişkisi

Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzun, küçük açının karşısındaki kenar daha kısadır. Açıların sıralaması ile karşı kenarların sıralaması aynıdır:

$\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C} \iff a>b>c$

Burada $a$ kenarı $\widehat{A}$ açısının (yani $A$ köşesinin) karşısındaki kenardır.

Şekil 1 — Açılar

A,\ B,\ C

. Her kenar, karşısındaki açıyla eşleşir: en büyük açının karşısındaki kenar en uzun, en küçük açının karşısındaki kenar en kısadır.

Örnek

Soru

Bir üçgende $\widehat{A}=80°$ , $\widehat{B}=60°$ , $\widehat{C}=40°$ ise $a,\ b,\ c$ kenarlarını büyükten küçüğe sıralayınız.

Açı sıralaması: $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$ ( $80°>60°>40°$ ).
Kenarlar aynı sırayı izler: $a>b>c$ .

Sonuç:

a>b>c

2. Üçgen Eşitsizliği

Üç doğru parçasının üçgen oluşturabilmesi için, bir kenar her zaman diğer ikisinin toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır:

$|b-c|<a<b+c$

Pratikte: en uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Değilse üçgen oluşmaz.

Şekil 2 — Tabanı

a

olan üçgen.

b

c

kenarlarının tabanın iki ucunu birleştirebilmesi için

b+c>a

olmalıdır; aksi halde iki kenar buluşamaz ve üçgen kapanmaz.

Örnek

Soru

$5,\ 8,\ 12$ uzunluklarındaki çubuklarla bir üçgen oluşturulabilir mi?

En uzun kenarı, diğer iki kenarın toplamıyla karşılaştır. Toplam, en uzun kenardan büyük olmalı.

En uzun kenar $12$ ; diğer ikisinin toplamı $5+8=13$ .
$12<13$ olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanır.

Sonuç: Evet, üçgen oluşturulabilir.

3. Üçüncü Kenarın Alabileceği Değerler

İki kenarı $b$ ve $c$ verilen bir üçgende üçüncü kenar $a$ , şu aralıkta olmalıdır:

$|b-c|<a<b+c$

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki kenarı $7$ ve $4$ 'tür. Üçüncü kenar bir tam sayı ise alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulunuz.

Aralık: $|7-4|<a<7+4$ , yani $3<a<11$ .
Tam sayı $a$ : $4,\ 5,\ \dots,\ 10$ (uçlar dâhil değil).
En küçük $4$ , en büyük $10$ .

Sonuç: En küçük

4

, en büyük

10

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir üçgende $a=10$ , $b=7$ , $c=5$ ise açıları büyükten küçüğe sıralayınız.

Kenar sıralaması: $a>b>c$ ( $10>7>5$ ).
Açılar karşı kenarlarla aynı sırada: $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$ .

Sonuç:

\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}

Örnek

Soru

Kenarları $3,\ 4,\ 9$ olan bir üçgen çizilebilir mi?

En uzun kenar $9$ ; diğer ikisinin toplamı $3+4=7$ .
$9>7$ olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanmaz.

Sonuç: Hayır, çizilemez.

Örnek

Soru

İki kenarı $6$ ve $6$ olan ikizkenar üçgende üçüncü kenar bir tam sayıdır. Kaç farklı değer alabilir?

Aralık: $|6-6|<a<6+6$ , yani $0<a<12$ .
Tam sayı değerler: $1,\ 2,\ \dots,\ 11$ .
Bunların sayısı $11$ 'dir.

Sonuç:

11

farklı değer.

Örnek

Soru

Bir üçgende $\widehat{B}$ en büyük açıysa, hangi kenar en uzundur?

En büyük açının karşısındaki kenar en uzundur.
$\widehat{B}$ 'nin karşısındaki kenar $b$ 'dir.

Sonuç:

b

kenarı en uzundur.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Kenarları $2,\ 5,\ 6$ olan bir üçgen çizilebilir mi?

En uzun kenar $6$ ; diğerlerinin toplamı $2+5=7>6$ .

Sonuç: Evet, çizilebilir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki kenarı $9$ ve $5$ 'tir. Üçüncü kenar tam sayı ise kaç farklı değer alabilir?

Aralık: $|9-5|<a<9+5\Rightarrow 4<a<14$ .
Tam sayılar: $5,\ 6,\dots,13$ → $9$ değer.

Sonuç:

9

farklı değer.

Örnek

Soru

$\widehat{A}=50°$ , $\widehat{B}=70°$ , $\widehat{C}=60°$ olan üçgende en uzun kenar hangisidir?

En büyük açı $\widehat{B}=70°$ .
Karşısındaki kenar $b$ en uzundur.

Sonuç:

b

kenarı.

Örnek

Soru

Bir üçgende $a=8$ , $b=8$ , $c=3$ ise en küçük açı hangi kenarın karşısındadır?

En kısa kenar $c=3$ .
En kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür: $\widehat{C}$ .

Sonuç:

\widehat{C}

(kenar

c

'nin karşısı).

Örnek

Soru

İki kenarı $10$ ve $4$ olan üçgende üçüncü kenar $x$ tam sayıdır. $x$ 'in alabileceği en büyük değer nedir?

Aralık: $|10-4|<x<10+4\Rightarrow 6<x<14$ .
En büyük tam sayı $13$ .

Sonuç:

13

Örnek

Soru

Bir üçgende $\widehat{A}=40°$ , $\widehat{B}=40°$ ise kenarlar arasında nasıl bir ilişki vardır?

Önce üçüncü açıyı bul. İki açı eşitse karşılarındaki kenarlar da eşittir (ikizkenar).

$\widehat{C}=180°-40°-40°=100°$ .
$\widehat{A}=\widehat{B}$ olduğundan karşı kenarlar eşit: $a=b$ .
En büyük açı $\widehat{C}$ olduğundan en uzun kenar $c$ 'dir: $c>a=b$ .

Sonuç:

a=b

c

en uzun kenardır (

c>a=b

Örnek

Soru

Bir üçgenin çevresi $20$ ve iki kenarı $5$ ile $9$ 'dur. Üçüncü kenar üçgen eşitsizliğini sağlıyor mu?

Üçüncü kenar: $20-5-9=6$ .
En uzun kenar $9$ ; diğerlerinin toplamı $5+6=11>9$ .
Eşitsizlik sağlanır.

Sonuç: Evet, üçüncü kenar

6

'dır ve üçgen eşitsizliği sağlanır.

Örnek

Soru

Kenar uzunlukları $x-2$ , $x$ ve $x+3$ olan bir üçgende $x$ bir tam sayıdır. $x$ en az kaç olabilir?

En uzun kenar $x+3$ 'tür. Üçgen eşitsizliği için en uzun kenar, diğer ikisinin toplamından küçük olmalı: $x+3<(x-2)+x$ . Ayrıca her kenar pozitif olmalı.

En uzun kenar $x+3$ ; üçgen eşitsizliği: $x+3<(x-2)+x$ .
$x+3<2x-2\Rightarrow 5<x\Rightarrow x>5$ .
Kenarların pozitifliği ( $x-2>0\Rightarrow x>2$ ) bu koşulu aşmaz.
Tam sayı $x>5$ 'in en küçüğü $6$ 'dır.

Sonuç:

x

en az

6

olabilir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki kenarı $11$ ve $7$ 'dir. Üçüncü kenar $a$ tam sayı ise $a$ 'nın alabileceği tüm değerlerin toplamı kaçtır?

Önce aralığı bul, sonra aralıktaki tam sayıları topla. Ardışık tam sayıların toplamı için $\dfrac{(\text{ilk}+\text{son})\cdot \text{adet}}{2}$ kullanabilirsin.

Aralık: $|11-7|<a<11+7\Rightarrow 4<a<18$ .
Tam sayılar: $5,\ 6,\ \dots,\ 17$ ; adet $17-5+1=13$ .
Toplam: $\dfrac{(5+17)\cdot 13}{2}=\dfrac{22\cdot 13}{2}=11\cdot 13=143$ .

Sonuç:

143

Sık Yapılan Hatalar

Açı-kenar eşleşmesini ters kurmak. Büyük açının karşısında uzun kenar bulunur; küçük açıyla uzun kenarı eşleştirme.
Üçgen eşitsizliğinde uç değerleri dâhil etmek. $|b-c|<a<b+c$ eşitsizlikleri kesindir; $a$ , $|b-c|$ ya da $b+c$ 'ye eşit olamaz (eşitlikte üçgen düzleşir).
Yalnız bir koşulu kontrol etmek. Üçgen eşitsizliği için en güvenlisi: en uzun kenar < diğer ikisinin toplamı olduğunu doğrulamak yeterlidir.
Kenar aralığını yanlış saymak. $3<a<11$ aralığında tam sayılar $4$ 'ten $10$ 'a kadardır (uçlar hariç); say verirken dikkat et.

Not: İki temel kural: (1) açı sıralaması $=$ karşı kenar sıralaması; (2) üçüncü kenar daima $|b-c|$ ile $b+c$ arasındadır. Sıralama sorusunda önce büyük açıyı/uzun kenarı bul.

1. Kenar-Açı İlişkisi

2. Üçgen Eşitsizliği

3. Üçüncü Kenarın Alabileceği Değerler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Geometrik Şekiller — diğer konular