TYT Matematik · Üslü ve Köklü İfadeler

Üslü İfadeler

~9 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Üslü ifade, aynı sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını kısaca yazmanın yoludur: $a^{n}$ , $a$ tabanının $n$ kez çarpımıdır. Bu konuda üs kurallarını, negatif ve sıfır üssü, parantezin işaret üzerindeki belirleyici rolünü ve $10$ 'un kuvvetleriyle bilimsel gösterimi işliyoruz. TYT'de üslü ifadeler hem tek başına hem de köklü sayılar, sayı basamakları ve denklemlerin içinde sürekli karşımıza çıkar.

1. Üs Kuralları

Aşağıdaki kurallar tüm üslü işlemlerin temelidir. Tabloda $a,b\ne 0$ kabul edilir; $m,n$ ise tam sayıdır.

Kural	Formül
Çarpma (taban aynı)	$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
Bölme (taban aynı)	$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
Üssün üssü	$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}$
Çarpımın kuvveti	$\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\,b^{n}$
Bölümün kuvveti	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
Sıfır üs	$a^{0}=1$
Negatif üs	$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
Negatif üslü kesir	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Dikkat: Çarpmada üsler toplanır, çarpılmaz. $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ 'dir, $a^{m\cdot n}$ değil. Üslerin çarpılması yalnızca üssün üssü alındığında ( $\left(a^{m}\right)^{n}$ ) geçerlidir.

2. Negatif ve Sıfır Üs

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti $1$ 'dir: $a^{0}=1$ ( $a\ne 0$ ). Bu, $a^{0}=0$ değildir.

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini alır:

$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}},\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Örneğin $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$ ve $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}$ .

3. İşaret Kuralı: Parantezin Önemi

Negatif tabanlı üslü ifadelerde parantezin olup olmaması sonucu tamamen değiştirir:

İfade	Anlamı	Sonuç
$(-2)^{2}$	$(-2)\cdot(-2)$	$4$
$-2^{2}$	$-(2\cdot 2)$	$-4$
$(-2)^{3}$	$(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$	$-8$
$-2^{3}$	$-(2\cdot 2\cdot 2)$	$-8$

Parantez yoksa üs yalnızca sayıya etki eder, baştaki eksi dışarıda kalır. Genel kural:

İşaret kuralı: Negatif bir tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Ama bu yalnızca taban parantez içindeyse ( $(-a)^{n}$ ) geçerlidir. $-a^{n}$ yazımında sonuç her zaman negatiftir (çünkü eksi üssün dışındadır).

4. 10'un Kuvvetleri ve Bilimsel Gösterim

$10$ 'un kuvvetleri basamak değerlerini verir:

$10^{0}=1,\quad 10^{3}=1000,\quad 10^{-1}=0{,}1,\quad 10^{-4}=0{,}0001$

Pozitif üs $10$ 'un kaç basamak büyüdüğünü, negatif üs ondalık kısımda kaç basamak küçüldüğünü gösterir. Çok büyük veya çok küçük sayıları bilimsel gösterimle yazarız: $a\cdot 10^{n}$ biçiminde, burada $1\le a < 10$ .

Örneğin $0{,}0004=4\cdot 10^{-4}$ ve $52000=5{,}2\cdot 10^{4}$ olur.

Örnek

Soru

İşlemleri yapınız: $2^{3}\cdot 2^{4}$ ve $\dfrac{3^{6}}{3^{2}}$ .

Çarpmada tabanlar aynı olduğundan üsler toplanır: $2^{3}\cdot 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}=128$ .
Bölmede tabanlar aynı olduğundan üsler çıkarılır: $\dfrac{3^{6}}{3^{2}}=3^{6-2}=3^{4}=81$ .

Sonuç:

2^{7}=128

3^{4}=81

Örnek

Soru

İşlemleri yapınız: $\left(2^{3}\right)^{2}$ ve $\left(2\cdot 3\right)^{2}$ .

Üssün üssünde üsler çarpılır: $\left(2^{3}\right)^{2}=2^{3\cdot 2}=2^{6}=64$ .
Çarpımın kuvvetinde her çarpan ayrı ayrı üs alır: $\left(2\cdot 3\right)^{2}=2^{2}\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36$ .

Sonuç:

2^{6}=64

36

Örnek

Soru

Hesaplayınız: $2^{-3}$ ve $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$ .

Negatif üs çarpmaya göre tersi alır; kesirlerde negatif üs payla paydanın yerini değiştirir.

Negatif üs: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$ .
Negatif üslü kesirde pay ve payda yer değiştirir, üs pozitife döner: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{3^{2}}{2^{2}}=\dfrac{9}{4}$ .

Sonuç:

2^{-3}=\dfrac{1}{8}

\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\dfrac{9}{4}

Örnek

Soru

Aşağıdaki ifadeleri işaretlerine dikkat ederek hesaplayınız: $(-2)^{4}$ , $\;-2^{4}$ ve $(-3)^{3}$ .

$(-2)^{4}$ : taban parantez içinde ve üs çift olduğundan sonuç pozitiftir: $(-2)^{4}=16$ .
$-2^{4}$ : parantez yok, üs yalnız $2$ 'ye etki eder, eksi dışarıda kalır: $-2^{4}=-(2^{4})=-16$ .
$(-3)^{3}$ : taban parantez içinde ve üs tek olduğundan sonuç negatiftir: $(-3)^{3}=-27$ .

Sonuç:

16

\;-16

-27

Örnek

Soru

$2^{5}+2^{5}$ toplamını tek bir üslü ifade olarak yazınız.

Eşit terimlerin toplamı çarpma demektir: $x+x=2x$ . Toplama işleminde üsler toplanmaz.

İki eşit terimin toplamı, terimin $2$ katıdır: $2^{5}+2^{5}=2\cdot 2^{5}$ .
Baştaki $2$ 'yi $2^{1}$ yazıp aynı tabanlı çarpımı birleştir: $2\cdot 2^{5}=2^{1+5}=2^{6}=64$ .
Sonuç $4^{10}$ değildir; toplamada tabanlar veya üsler birbirine eklenmez.

Sonuç:

2^{5}+2^{5}=2^{6}=64

Örnek

Soru

İşlemin sonucunu bulunuz: $\left(5^{0}+2^{-1}\right)\cdot 2$ .

Sıfır üs: $5^{0}=1$ .
Negatif üs: $2^{-1}=\dfrac{1}{2}$ .
Parantez içini topla: $5^{0}+2^{-1}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ .
$2$ ile çarp: $\dfrac{3}{2}\cdot 2=3$ .

Sonuç:

3

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

İşlemin sonucunu bulunuz: $\dfrac{2^{7}\cdot 2^{3}}{2^{8}}$ .

Payda aynı tabanlı çarpım olduğundan üsler toplanır: $2^{7}\cdot 2^{3}=2^{10}$ .
Bölmede tabanlar aynı olduğundan üsler çıkarılır: $\dfrac{2^{10}}{2^{8}}=2^{10-8}=2^{2}=4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

Hesaplayınız: $3^{-2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ .

Negatif üs ilk terimde tersini alır: $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$ .
Kesirde negatif üs payla paydayı değiştirir: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=\left(\dfrac{2}{1}\right)^{2}=4$ .
Topla: $\dfrac{1}{9}+4=\dfrac{1+36}{9}=\dfrac{37}{9}$ .

Sonuç:

\dfrac{37}{9}

Örnek

Soru

İşlemin sonucunu bulunuz: $\dfrac{12^{4}}{4^{4}}$ .

Üsler eşit olduğunda bölümün kuvveti kuralını tersine kullan: $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ .

Üsler eşit olduğundan tabanlar tek bir kesirde toplanır: $\dfrac{12^{4}}{4^{4}}=\left(\dfrac{12}{4}\right)^{4}$ .
İçteki bölmeyi sadeleştir: $\left(\dfrac{12}{4}\right)^{4}=3^{4}=81$ .

Sonuç:

81

Örnek

Soru

İşlemin sonucunu bulunuz: $\dfrac{8^{3}}{2^{5}}$ .

Önce tabanları eşitle: $8=2^{3}$ yazıp tek tabanda topla.

Payda $8$ 'i $2$ tabanına çevir: $8^{3}=\left(2^{3}\right)^{3}=2^{9}$ .
Aynı tabanlı bölmede üsler çıkarılır: $\dfrac{2^{9}}{2^{5}}=2^{9-5}=2^{4}=16$ .

Sonuç:

16

Örnek

Soru

$3^{n}=5$ olduğuna göre, $3^{n+2}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Üslerde toplama, aynı tabanlı çarpıma karşılık gelir: $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$ .

Üssü ayrıştır: $3^{n+2}=3^{n}\cdot 3^{2}$ .
$3^{2}=9$ ve $3^{n}=5$ değerlerini yerine koy: $3^{n+2}=5\cdot 9=45$ .

Sonuç:

45

Örnek

Soru

İşlemin sonucunu bulunuz: $\dfrac{6^{10}}{2^{10}\cdot 3^{8}}$ .

$6=2\cdot 3$ olduğundan çarpımın kuvveti kuralıyla payı tabanlarına ayır.

Payı çarpanlarına ayır: $6^{10}=\left(2\cdot 3\right)^{10}=2^{10}\cdot 3^{10}$ .
İfadeyi yeniden yaz: $\dfrac{2^{10}\cdot 3^{10}}{2^{10}\cdot 3^{8}}$ .
Aynı tabanları sadeleştir: $\dfrac{2^{10}}{2^{10}}=1$ ve $\dfrac{3^{10}}{3^{8}}=3^{2}=9$ .

Sonuç:

9

Örnek

Soru

$\dfrac{9^{x}}{3}=3^{5}$ eşitliğini sağlayan $x$ tam sayısı kaçtır?

İki tarafı da aynı tabana ( $3$ ) çevir; eşit tabanların üsleri eşit olmalıdır.

$9=3^{2}$ olduğundan payı $3$ tabanına çevir: $9^{x}=\left(3^{2}\right)^{x}=3^{2x}$ .
Sol tarafı tek üs altında topla: $\dfrac{3^{2x}}{3^{1}}=3^{2x-1}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $3^{2x-1}=3^{5}\Rightarrow 2x-1=5$ .
Denklemi çöz: $2x=6\Rightarrow x=3$ .

Sonuç:

x=3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir veri paketinde hücre sayısı $\dfrac{2^{8}\cdot 4^{2}}{8^{3}}$ formülüyle hesaplanıyor.

Buna göre sonuç kaçtır?

A) $2$ · B) $4$ · C) $8$ · D) $16$ · E) $32$

Taban $2$ 'ye çevir: $4^{2}=2^{4}$ , $8^{3}=2^{9}$ .
Pay: $2^{8}\cdot 2^{4}=2^{12}$ . İfade $\dfrac{2^{12}}{2^{9}}=2^{3}$ .
$2^{3}=8$ .

Sonuç: C)

8

Örnek

Soru

Bir sunucu log dosyasında kayıt sayısı $\dfrac{9\cdot 3^{5}}{3^{7}}$ ile modelleniyor.

Buna göre sadeleştirilmiş değer kaçtır?

A) $\dfrac{1}{9}$ · B) $\dfrac{1}{3}$ · C) $3$ · D) $9$ · E) $1$

$9=3^{2}$ olduğundan pay $3^{2}\cdot 3^{5}=3^{7}$ .
$\dfrac{3^{7}}{3^{7}}=1$ .

Sonuç: E)

1

Örnek

Soru

$\dfrac{2^{10}}{2^{7}\cdot 2^{2}}$ ifadesi, bir algoritmanın adım sayısını veriyor.

Buna göre bu ifade kaçtır?

A) $2$ · B) $4$ · C) $8$ · D) $16$ · E) $32$

Payda: $2^{7}\cdot 2^{2}=2^{9}$ .
$\dfrac{2^{10}}{2^{9}}=2^{1}=2$ .

Sonuç: A)

2

Örnek

Soru

Bir hücre her bölünmede ikiye ayrılmaktadır. Başlangıçta tek bir hücre varken $6$ bölünme sonunda oluşan hücre sayısı $a$ , $4$ bölünme sonunda oluşan hücre sayısı $b$ olarak gösteriliyor.

Buna göre $\dfrac{a}{b}$ oranı kaçtır?

A) $2$ · B) $4$ · C) $8$ · D) $16$ · E) $32$

Her bölünmede sayı $2$ ile çarpılır; $n$ bölünme sonunda $2^{n}$ hücre olur. Bölmede aynı tabanlı üsler çıkarılır.

$6$ bölünme sonunda $a=2^{6}$ , $4$ bölünme sonunda $b=2^{4}$ hücre oluşur.
Oranı yaz: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^{6}}{2^{4}}=2^{6-4}=2^{2}=4$ .
Çeldirici: $6-4$ yerine $6+4$ veya $6\cdot 4$ alınırsa yanlış şıklara düşülür.

Sonuç: B)

4

Örnek

Soru

Bir veri merkezinde bir dosyanın boyutu $2^{30}$ bayttır. $1$ kilobayt $2^{10}$ bayt, $1$ megabayt ise $2^{10}$ kilobayt olduğuna göre, bu dosya kaç megabayttır?

A) $2^{5}$ · B) $2^{10}$ · C) $2^{15}$ · D) $2^{20}$ · E) $2^{3}$

$1$ megabayt kaç bayttır? Önce megabaytın bayt cinsinden karşılığını $2$ tabanında yaz.

$1$ megabayt $=2^{10}$ kilobayt $=2^{10}\cdot 2^{10}$ bayt $=2^{20}$ bayttır.
Dosya boyutunu megabayta çevir: $\dfrac{2^{30}}{2^{20}}=2^{30-20}=2^{10}$ .
Çeldirici A ( $2^{5}$ ): yalnızca tek dönüşüm yapılırsa oluşan yanlıştır.

Sonuç: B)

2^{10}

Örnek

Soru

Bir gökbilimci, iki yıldız arasındaki uzaklığı $1{,}2\cdot 10^{9}$ km, bir başka iki yıldız arasındaki uzaklığı ise $4\cdot 10^{6}$ km olarak ölçüyor. Birinci uzaklık, ikincinin kaç katıdır?

A) $30$ · B) $300$ · C) $3000$ · D) $4{,}8$ · E) $48$

Bilimsel gösterimde bölme yaparken katsayıları böl, $10$ 'un kuvvetlerinde üsleri çıkar.

Oranı kur: $\dfrac{1{,}2\cdot 10^{9}}{4\cdot 10^{6}}$ .
Katsayıları böl: $\dfrac{1{,}2}{4}=0{,}3$ .
$10$ 'un kuvvetlerinde üsleri çıkar: $\dfrac{10^{9}}{10^{6}}=10^{3}$ .
Birleştir: $0{,}3\cdot 10^{3}=300$ .
Çeldirici E ( $48$ ): üsler yanlışlıkla bölünmeyip katsayı ters alınırsa oluşur.

Sonuç: B)

300

Örnek

Soru

Bir oyunda her yeni bölümde puan, bir önceki bölümün $3$ katına çıkmaktadır. Bir oyuncu $1.$ bölümde $3^{2}$ puan kazandıysa, $5.$ bölümde kazandığı puan kaçtır?

A) $3^{4}$ · B) $3^{5}$ · C) $3^{6}$ · D) $3^{7}$ · E) $3^{10}$

$1.$ bölümden $5.$ bölüme geçerken $3$ ile kaç kez çarpılır? Bölüm farkı kadar.

$1.$ bölümden $5.$ bölüme $4$ adım vardır; her adımda $3$ ile çarpılır, yani toplam çarpan $3^{4}$ 'tür.
$5.$ bölüm puanı: $3^{2}\cdot 3^{4}=3^{2+4}=3^{6}$ .
Çeldirici E ( $3^{10}$ ): üsler toplanacakken $2\cdot 5$ gibi çarpılırsa oluşan yanlıştır.

Sonuç: C)

3^{6}

Sık Yapılan Hatalar

Çarpmada üsleri çarpmak: $a^{m}\cdot a^{n}$ ifadesini $a^{m\cdot n}$ sanmak. Doğrusu üsler toplanır: $a^{m+n}$ . Üs çarpımı yalnızca $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}$ 'de olur.
Parantez–işaret karışıklığı: $-2^{2}=-4$ iken $(-2)^{2}=4$ 'tür. Parantez yoksa eksi üssün dışındadır.
Sıfır üssü $0$ sanmak: $a^{0}=1$ 'dir ( $a\ne 0$ ), $0$ değil.
Toplamı üs olarak birleştirmek: $2^{5}+2^{5}$ ifadesini $4^{10}$ veya $2^{10}$ sanmak. Doğrusu ortak çarpan paranteze alınır: $2^{5}+2^{5}=2\cdot 2^{5}=2^{6}$ .

Sınav İpucu

Üslü toplamlarda ortak çarpanı paranteze al. $2^{5}+2^{5}=2^{5}(1+1)=2^{5}\cdot 2=2^{6}$ gibi; bu yöntem $3^{n}+3^{n}+3^{n}=3\cdot 3^{n}=3^{n+1}$ türü soruları saniyeler içinde çözer.
Çarpma ve bölmede önce tabanları eşitle. Farklı tabanları ortak tabana çevirip ( $8=2^{3}$ , $9=3^{2}$ gibi) üsleri topla veya çıkar; böylece tek tabanda sadeleşir.
Negatif üs gördüğünde tersini al, kesirlerde pay-paydayı çevir; işaret kuralında parantezin yerini her zaman kontrol et.

1. Üs Kuralları

2. Negatif ve Sıfır Üs

3. İşaret Kuralı: Parantezin Önemi

4. 10'un Kuvvetleri ve Bilimsel Gösterim

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üslü ve Köklü İfadeler — diğer konular