çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri

Açılar ve Doğrular

~9 dk okumaZorluk: Kolay19 çözümlü soru

Açılar ve doğrular, geometri sorularının temel taşıdır. Bu konuda açı türlerini, tümler–bütünler açıları, kesişen doğrularda ters açıları ve paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açı ilişkilerini öğreneceksin. TYT'de bu ilişkiler tek başına ya da üçgen sorularının içinde sürekli karşına çıkar; ezber değil, mantığını kavramak gerekir.

1. Açı Türleri

Bir açının ölçüsü x olmak üzere açılar büyüklüklerine göre adlandırılır:

Açı türüÖlçüsü
Dar açı0° < x < 90°
Dik açıx = 90°
Geniş açı90° < x < 180°
Doğru açıx = 180°
Tam açıx = 360°

Not: Dik açı bir köşede küçük bir kare ile gösterilir. Doğru açı, kenarları zıt yönde uzanan düz bir doğrudur.

2. Tümler ve Bütünler Açılar

Ölçüleri toplamı belirli bir değere eşit olan açı çiftlerinin özel adları vardır:

Tümler ( 90° )Bütünler ( 180° )αβα + β = 90°αβα + β = 180°
Şekil 1 — Tümler açıların toplamı bir dik açıyı (90°), bütünler açıların toplamı bir doğru açıyı (180°) oluşturur.

3. Komşu ve Ters Açılar

İki açının ortak bir köşesi ve ortak bir kenarı varsa bu açılara komşu açılar denir. Toplamları 180° olan komşu açılara da komşu bütünler açılar denir.

İki doğru bir noktada kesiştiğinde dört açı oluşur. Bu açılardan karşılıklı olanlara ters açılar denir ve bunlar her zaman eşittir. Yan yana olan (komşu) açılar ise bütünlerdir.

aabbTers açılar eşit, komşu açılar bütünler (a + b = 180°)
Şekil 2 — Kesişen iki doğruda karşılıklı (ters) açılar eşittir: a = a, b = b. Komşu açılar bütünlerdir: a + b = 180°.

4. Paralel İki Doğru ve Kesen

Paralel iki doğru (d_1 \parallel d_2) bir kesen ile kesildiğinde sekiz açı oluşur. Bu açılar arasında sabit ilişkiler vardır:

İlişkiSonuç
Yöndeş açılarEşit
İç ters açılarEşit
Dış ters açılarEşit
Karşı durumlu iç açılarBütünler (toplam 180°)
1231'2'3'd₁d₂d₁ ∥ d₂ : yöndeş ( 1 = 1' ), iç ters ( 3 = 2' )
Şekil 3 — d_1 \parallel d_2 iken kesenin oluşturduğu açılar: yöndeş açılar eşit, iç ters açılar eşittir.

5. Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Bir açının ölçüsü 35° ise tümleri kaç derecedir?

  1. Tümler açıların toplamı 90°'dir.
  2. Tümleri = 90° - 35°.
  3. Sonuç: 90° - 35° = 55°.
Sonuç: Tümleri 55°'dir.
Örnek
Soru

110°'lik bir açının bütünleri kaç derecedir?

  1. Bütünler açıların toplamı 180°'dir.
  2. Bütünleri = 180° - 110°.
  3. Sonuç: 180° - 110° = 70°.
Sonuç: Bütünleri 70°'dir.
Örnek
Soru

Kesişen iki doğruda oluşan açılardan biri 70° ise, bu açının ters açısı ve komşu açısı kaç derecedir?

Ters açılar eşittir; komşu açılar bütünlerdir (toplamları 180°).

  1. Ters açı, verilen açıya eşittir: 70°.
  2. Komşu açı, verilen açıyla bütünlerdir: 180° - 70° = 110°.
Sonuç: Ters açı 70°, komşu açı 110°'dir.
Örnek
Soru

İki açı bütünlerdir ve ölçüleri sırasıyla 2x ile 3x'tir. x kaçtır ve açılar kaç derecedir?

  1. Bütünler açıların toplamı 180°: 2x + 3x = 180°.
  2. Topla: 5x = 180°.
  3. x'i bul: x = \dfrac{180°}{5} = 36°.
  4. Açıları hesapla: 2x = 72° ve 3x = 108°.
Sonuç: x = 36°; açılar 72° ve 108°'dir.
Örnek
Soru

Paralel iki doğru bir kesenle kesiliyor. Bir yöndeş açı 65° ise, bu açıyla karşı durumlu iç açı kaç derecedir?

Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir; toplamları 180°'dir.

  1. Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir: toplam 180°.
  2. Aranan açı = 180° - 65°.
  3. Sonuç: 180° - 65° = 115°.
Sonuç: Karşı durumlu iç açı 115°'dir.
Örnek
Soru

Bir açı, tümlerinin 2 katına eşittir. Bu açı kaç derecedir?

Açıya x dersen tümleri 90° - x olur. "Tümlerinin 2 katı" ifadesini denkleme çevir.

  1. Açıya x diyelim; tümleri 90° - x'tir.
  2. Koşulu yaz: x = 2(90° - x).
  3. Dağıt: x = 180° - 2x.
  4. Çöz: 3x = 180° \Rightarrow x = 60°.
Sonuç: Açı 60°'dir. (Tümleri 30°, gerçekten 60° = 2 \cdot 30°.)

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Ölçüsü 124° olan bir açı, dar açı mı geniş açı mı yoksa doğru açı mıdır?

  1. Geniş açının koşulu: 90° < x < 180°.
  2. 124° değeri için 90° < 124° < 180° sağlanır.
  3. Demek ki açı bu aralıktadır.
Sonuç: 124° bir geniş açıdır.
Örnek
Soru

Bir açının bütünleri, kendisinin 5 katıdır. Bu açı kaç derecedir?

  1. Açıya x diyelim; bütünleri 180° - x'tir.
  2. Koşulu yaz: 180° - x = 5x.
  3. Düzenle: 180° = 6x.
  4. Çöz: x = \dfrac{180°}{6} = 30°.
Sonuç: Açı 30°'dir. (Bütünleri 150° = 5 \cdot 30°.)
Örnek
Soru

İki tümler açının ölçüleri farkı 20°'dir. Büyük açı kaç derecedir?

Açılara x ve 90° - x de; farkları 20° olacak şekilde denklem kur.

  1. Açılar x ve 90° - x olsun (x büyük olan).
  2. Farkları 20°: x - (90° - x) = 20°.
  3. Sadeleştir: 2x - 90° = 20°.
  4. Çöz: 2x = 110° \Rightarrow x = 55°.
Sonuç: Büyük açı 55°'dir. (Diğeri 35°, farkları 20°.)
Örnek
Soru

Bir noktada kesişen iki doğrunun oluşturduğu komşu iki açının ölçüleri 4x ile 5x'tir. Bu açılardan büyük olanı kaç derecedir?

Kesişen doğrularda komşu açılar bütünlerdir.

  1. Komşu açılar bütünlerdir: 4x + 5x = 180°.
  2. Topla: 9x = 180°.
  3. Çöz: x = 20°.
  4. Açılar: 4x = 80° ve 5x = 100°.
Sonuç: Büyük açı 100°'dir.
Örnek
Soru

Bir açının tümleri ile bütünlerinin ölçüleri toplamı 200°'dir. Bu açı kaç derecedir?

  1. Açıya x diyelim; tümleri 90° - x, bütünleri 180° - x'tir.
  2. Toplamı 200°: (90° - x) + (180° - x) = 200°.
  3. Sadeleştir: 270° - 2x = 200°.
  4. Çöz: 2x = 70° \Rightarrow x = 35°.
Sonuç: Açı 35°'dir.
Örnek
Soru

Paralel iki doğru bir kesenle kesiliyor. Karşı durumlu iç açıların ölçüleri 3x + 10° ile 2x + 20° ise x kaçtır?

Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir; toplamları 180°'dir.

  1. Karşı durumlu iç açılar bütünlerdir: (3x + 10°) + (2x + 20°) = 180°.
  2. Topla: 5x + 30° = 180°.
  3. Düzenle: 5x = 150°.
  4. Çöz: x = 30°.
Sonuç: x = 30°'dir.
Örnek
Soru

d_1 \parallel d_2 paralel doğruları bir kesenle kesiliyor. Bir yöndeş açının ölçüsü (2x + 15)°, onunla iç ters durumda olan açının yöndeşi (x + 45)°'dir. Bu açıların ortak ölçüsü kaç derecedir?

Yöndeş açılar eşit, iç ters açılar eşittir; bu zincirde dört açının hepsi birbirine eşit olur.

  1. Yöndeş açılar eşit, iç ters açılar da eşittir; dolayısıyla iki ifade aynı açı ölçüsünü verir.
  2. Denklemi kur: 2x + 15 = x + 45.
  3. Çöz: x = 30.
  4. Ölçüyü bul: 2 \cdot 30 + 15 = 75°.
Sonuç: Açıların ortak ölçüsü 75°'dir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

d_1 \parallel d_2 paralel doğruları bir kesenle kesiliyor. Bir iç ters açının ölçüsü (4x-5)°, karşısındaki yöndeş açının ölçüsü (2x+35)°'dir.

Buna göre x kaçtır?

A) 15 · B) 18 · C) 20 · D) 22 · E) 25

  1. Paralel doğrularda iç ters açı ile yöndeş açı eşittir (Z ve F kuralı).

  2. (4x-5)=(2x+35)\Rightarrow 2x=40\Rightarrow x=20.

  3. Kontrol: 4\cdot 20-5=75° ve 2\cdot 20+35=75°; eşitlik sağlanır.

Sonuç: C) 20
Örnek
Soru

Kesişen iki doğru oluşturuyor. Bir ters açının ölçüsü (5a-12)°, bu açıya komşu (bütünler) açının ölçüsü (3a+48)°'dir.

Buna göre a kaçtır?

A) 12 · B) 15 · C) 18 · D) 21 · E) 24

  1. Komşu açılar bütünlerdir: (5a-12)+(3a+48)=180.

  2. 8a+36=180\Rightarrow 8a=144\Rightarrow a=18.

  3. Ters açı 5\cdot 18-12=78°; komşu 3\cdot 18+48=102°; toplam 180°.

Sonuç: C) 18
Örnek
Soru

Tümler iki açının ölçüleri sırasıyla (n+12)° ve (3n-6)°'dir.

Buna göre büyük açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 33 · B) 45 · C) 51 · D) 57 · E) 63

Tümler açıların toplamı 90°'dir; denklemi kurup n'yi bul, sonra iki ölçüyü karşılaştır.

  1. Tümler toplamı: (n+12)+(3n-6)=90.

  2. 4n+6=90\Rightarrow 4n=84\Rightarrow n=21.

  3. Açılar 33° ve 57°; büyük olan 57°.

Sonuç: D) 57
Örnek
Soru

Bir tasarımcı, masaüstüne L şeklinde (dik açılı) iki çubuk yapıştırıyor. Bu dik açının içine üçüncü bir çubuk yerleştirip dik açıyı iki parçaya ayırıyor; oluşan iki açıdan biri diğerinin 4 katı oluyor.

Buna göre büyük olan açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 18 · B) 36 · C) 54 · D) 60 · E) 72

Dik açının (90°) içine yerleştirilen çubuk iki açıyı tümler yapar (toplamları 90°). Açılara x ve 4x de.

  1. İki açı tümlerdir (dik açıyı paylaşıyorlar): x+4x=90°.

  2. 5x=90°\Rightarrow x=18°; büyük açı 4x=72°.

  3. Çeldirici: 90°/5=18° küçük açıdır; soru büyük olanı istiyor.

Sonuç: E) 72
Örnek
Soru

Bir yol kavşağında düz giden bir cadde (d_1) ile ona paralel uzanan bir yaya yolu (d_2), eğik bir ara sokakla (kesen) kesiliyor. Ara sokağın cadde ile yaptığı yöndeş açı, kendisinin bütünlerinden 40° küçüktür.

Buna göre bu yöndeş açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 60 · B) 70 · C) 80 · D) 100 · E) 110

Açıya x dersen bütünleri 180°-x olur. "Bütünlerinden 40° küçük" ifadesini denkleme çevir.

  1. Açıya x diyelim; bütünleri 180°-x'tir.

  2. Koşulu kur: x=(180°-x)-40°.

  3. Düzenle: x=140°-x\Rightarrow 2x=140°\Rightarrow x=70°.

  4. Çeldirici: bütünleri 180°-70°=110°; soru açının kendisini istiyor.

Sonuç: B) 70
Örnek
Soru

Bir saatin akrep ve yelkovanı saat tam 3{:}00'ı gösterirken aralarındaki açı 90°'dir. Bir öğrenci, "bu açının tümleri ile bütünleri toplamı kaç eder?" diye soruyor.

Buna göre bu toplam kaç derecedir?

A) 90 · B) 180 · C) 200 · D) 270 · E) 360

  1. Açı 90°; tümleri 90°-90°=0°.

  2. Bütünleri 180°-90°=90°.

  3. Toplam: 0°+90°=90°.

  4. Çeldirici: 90°+180°=270° (formülleri ezberden toplamak) yanlıştır; tümler/bütünler bu açıya göre hesaplanır.

Sonuç: A) 90

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Paralel iki doğru ve kesen sorularında "Z, F ve U" kuralı çok hızlıdır: Z şeklindeki açılar (iç ters) eşit, F şeklindeki açılar (yöndeş) eşit, U (aynı taraftaki iç) açılar bütünlerdir. Şekli zihninde harfe benzet, ilişkiyi saniyede gör. Ayrıca verilmeyen açıları bulmak için önce ters açı ve komşu bütünler ilişkilerini kullanarak boşlukları doldur; çoğu soru bu iki adımla çözülür.

Temel Geometri — diğer konular