çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri

Çember ve Daire

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Çember ve daire, TYT geometrinin en çok soru getiren başlıklarından biridir. Bu konuda temel kavramları, çemberdeki açı bağıntılarını, teğetin yarıçapa dikliğini ve dairenin çevre, alan ile dilim formüllerini hatasız oturtacağız. Tüm kural ve örnekler doğrudan sınav formatındadır.

1. Temel Kavramlar

Çember, bir düzlemde sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğridir. Daire ise bu eğri ile içinin tamamıdır.

KavramAnlamı
Merkez (O)Tüm noktalara eşit uzaklıktaki sabit nokta
Yarıçap (r)Merkezden çember üzerindeki bir noktaya uzaklık
Çap (2r)Merkezden geçen, iki ucu çember üzerinde olan en uzun kiriş
KirişÇember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası
YayÇemberin iki nokta arasında kalan parçası
TeğetÇembere yalnızca bir noktada değen doğru

2. Çemberde Açılar

Çemberdeki açıları, gördükleri yay üzerinden tanımlarız.

Bu iki kuralı birleştirirsek en sık kullanılan sonuç çıkar:

\text{Çevre açı}=\dfrac{\text{Merkez açı}}{2}\qquad(\text{aynı yayı görüyorlarsa})

OABC2ααAB yayı
Şekil 1 — Aynı AB yayını gören merkez açı (2\alpha) ve çevre açı (\alpha). Çevre açı, merkez açının yarısıdır.

Bağıntı: Aynı yayı gören tüm çevre açılar birbirine eşittir; çünkü hepsi aynı yayın yarısına eşittir.

3. Teğet ve Yarıçap

Bir çembere değme noktasında çizilen teğet, o noktadaki yarıçapa diktir. Yani teğet ile yarıçap arasındaki açı her zaman 90°'dir.

OrTteğet
Şekil 2 — T değme noktasındaki teğet, [OT] yarıçapına diktir (90°).

Bu diklik, dış bir noktadan çizilen teğet uzunluğu sorularında dik üçgen kurmamızı sağlar; çoğu teğet sorusu Pisagor ile çözülür.

4. Daire Çevresi ve Alanı

Yarıçapı r olan dairenin temel formülleri:

\text{Çevre}=2\pi r\qquad\qquad \text{Alan}=\pi r^{2}

BüyüklükFormülBirim
Çevre2\pi ruzunluk
Alan\pi r^{2}uzunluk^2

5. Daire Dilimi (Sektör)

Merkez açısı \alpha olan bir daire dilimi, dairenin tamamının \dfrac{\alpha}{360} oranındaki parçasıdır. Bu oranı hem alana hem yay uzunluğuna uygularız:

\text{Dilim alanı}=\dfrac{\alpha}{360}\cdot\pi r^{2}\qquad\quad \text{Yay uzunluğu}=\dfrac{\alpha}{360}\cdot 2\pi r

OrαAB
Şekil 3 — Merkez açısı \alpha olan taranmış daire dilimi (sektör).

6. Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Bir yayı gören merkez açı 80° ise, aynı yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

  1. Aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısıdır.
  2. Yerine yaz: \dfrac{80}{2}=40°.
Sonuç: Çevre açı 40°'dir.
Örnek
Soru

Bir çevre açının ölçüsü 35°'dir. Gördüğü yayın ve aynı yayı gören merkez açının ölçüsü kaç derecedir?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır; merkez açı ise yayın tamamına eşittir.

  1. Çevre açı, yayın yarısı olduğundan yay =2\cdot 35=70°.
  2. Merkez açı, gördüğü yaya eşit olduğundan merkez açı =70°.
Sonuç: Yay 70°, merkez açı 70°'dir.
Örnek
Soru

Yarıçapı 5 birim olan dairenin alanı kaç birim karedir?

  1. Alan formülünü yaz: \pi r^{2}.
  2. r=5 yerine koy: \pi\cdot 5^{2}=25\pi.
Sonuç: Alan 25\pi birim karedir.
Örnek
Soru

Yarıçapı 7 birim olan dairenin çevresi kaç birimdir?

  1. Çevre formülünü yaz: 2\pi r.
  2. r=7 yerine koy: 2\pi\cdot 7=14\pi.
Sonuç: Çevre 14\pi birimdir.
Örnek
Soru

Yarıçapı 4 birim, merkez açısı 90° olan daire diliminin alanı kaç birim karedir?

Dilim alanı =\dfrac{\alpha}{360}\cdot\pi r^{2}. Önce oranı sadeleştir.

  1. Dilim alanı formülü: \dfrac{\alpha}{360}\cdot\pi r^{2}.
  2. Oranı yaz: \dfrac{90}{360}=\dfrac{1}{4}.
  3. Değerleri yerine koy: \dfrac{1}{4}\cdot\pi\cdot 4^{2}=\dfrac{1}{4}\cdot 16\pi=4\pi.
Sonuç: Dilim alanı 4\pi birim karedir.
Örnek
Soru

Yarıçapı 6 birim, merkez açısı 60° olan daire diliminin yay uzunluğu kaç birimdir?

  1. Yay uzunluğu formülü: \dfrac{\alpha}{360}\cdot 2\pi r.
  2. Oranı yaz: \dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}.
  3. Değerleri yerine koy: \dfrac{1}{6}\cdot 2\pi\cdot 6=\dfrac{1}{6}\cdot 12\pi=2\pi.
Sonuç: Yay uzunluğu 2\pi birimdir.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Bir çemberin yarıçapı 3 birimden 9 birime çıkarılırsa, dairenin alanı kaç kat artar?

  1. İlk alan: \pi\cdot 3^{2}=9\pi.
  2. Son alan: \pi\cdot 9^{2}=81\pi.
  3. Oran: \dfrac{81\pi}{9\pi}=9.
Sonuç: Alan 9 kat artar.
Örnek
Soru

Merkezi O olan bir çemberde, dış noktadan çizilen teğetin değme noktası T'dir. OP=13 birim ve yarıçap OT=5 birim ise, teğet uzunluğu PT kaç birimdir?

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir; OTP dik üçgeninde Pisagor uygula.

  1. [OT]\perp[PT] olduğundan OTP üçgeni T noktasında dik açılıdır.
  2. Pisagor: OP^{2}=OT^{2}+PT^{2}.
  3. Yerine yaz: 13^{2}=5^{2}+PT^{2}\Rightarrow 169=25+PT^{2}.
  4. Çöz: PT^{2}=144\Rightarrow PT=12.
Sonuç: Teğet uzunluğu 12 birimdir.
Örnek
Soru

Bir daire diliminin merkez açısı 120° ve alanı 12\pi birim karedir. Dairenin yarıçapı kaç birimdir?

  1. Dilim alanı formülü: \dfrac{\alpha}{360}\cdot\pi r^{2}=12\pi.
  2. Oranı yaz: \dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}, yani \dfrac{1}{3}\cdot\pi r^{2}=12\pi.
  3. \pi'leri sadeleştir: \dfrac{r^{2}}{3}=12\Rightarrow r^{2}=36.
  4. Çöz: r=6.
Sonuç: Yarıçap 6 birimdir.
Örnek
Soru

Bir çemberin çevresi 10\pi birim ise, bu çemberin sınırladığı dairenin alanı kaç birim karedir?

  1. Çevre formülünden yarıçapı bul: 2\pi r=10\pi\Rightarrow r=5.
  2. Alan formülünü uygula: \pi r^{2}=\pi\cdot 5^{2}=25\pi.
Sonuç: Alan 25\pi birim karedir.
Örnek
Soru

Bir çemberde çapı bir kenarı olan üçgenin üçüncü köşesi çember üzerindedir. Çapın gördüğü yay 180° olduğuna göre, bu köşedeki çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısına eşittir. Çap, 180°'lik bir yay görür.

  1. Çapın gördüğü yay 180°'dir.
  2. Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: \dfrac{180}{2}=90°.
Sonuç: Çevre açı 90°'dir (çapı gören çevre açı diktir).
Örnek
Soru

Yarıçapı 10 birim olan bir dairede, merkez açısı 36° olan dilimin alanı kaç birim karedir?

  1. Dilim alanı formülü: \dfrac{\alpha}{360}\cdot\pi r^{2}.
  2. Oranı yaz: \dfrac{36}{360}=\dfrac{1}{10}.
  3. Değerleri yerine koy: \dfrac{1}{10}\cdot\pi\cdot 10^{2}=\dfrac{1}{10}\cdot 100\pi=10\pi.
Sonuç: Dilim alanı 10\pi birim karedir.
Örnek
Soru

Merkezi O olan bir çemberde [AB] bir kiriştir. Merkezden [AB] kirişine inilen dikme uzunluğu 8 birim, yarıçap 10 birim ise, kiriş uzunluğu AB kaç birimdir?

Merkezden kirişe inilen dikme, kirişi ortalar. Yarıçap, dikme ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur.

  1. Merkezden [AB]'ye inilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler; ayağı H olsun.
  2. OH=8, OA=10 (yarıçap) ile OHA üçgeni H'de diktir.
  3. Pisagor: OA^{2}=OH^{2}+HA^{2}\Rightarrow 10^{2}=8^{2}+HA^{2}.
  4. Çöz: HA^{2}=100-64=36\Rightarrow HA=6.
  5. Kiriş, bu yarımın iki katıdır: AB=2\cdot 6=12.
Sonuç: Kiriş uzunluğu 12 birimdir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Yarıçapı 5 birim olan bir çemberde merkez açısı 90° olan bir yayın uzunluğu kaç birimdir?

A) \pi · B) 2\pi · C) \dfrac{5\pi}{2} · D) 5\pi · E) 10\pi

  1. Yay uzunluğu: \dfrac{90}{360}\cdot 2\pi r=\dfrac{1}{4}\cdot 10\pi=\dfrac{5\pi}{2}.
Sonuç: C) \dfrac{5\pi}{2}
Örnek
Soru

Bir çemberde aynı yayı gören merkez açı 80° ise, bu yayı gören çevre açı kaç derecedir?

A) 20 · B) 40 · C) 80 · D) 100 · E) 160

  1. Çevre açı, merkez açının yarısıdır: \dfrac{80°}{2}=40°.
Sonuç: B) 40
Örnek
Soru

Yarıçapı 10 birim olan bir çemberde, merkezden bir kirişe inilen dikmenin uzunluğu 6 birimdir.

Buna göre kirişin uzunluğu kaç birimdir?

A) 12 · B) 14 · C) 16 · D) 18 · E) 20

Dikme kirişi ortalar; yarıçap, dikme ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur.

  1. Kirişin yarısı HA: 10^{2}=6^{2}+HA^{2}\Rightarrow HA^{2}=64\Rightarrow HA=8.

  2. Kiriş: AB=2\cdot 8=16.

Sonuç: C) 16
Örnek
Soru

Bir pizza, yarıçapı 20 cm olan tam bir daire şeklindedir ve merkezden 8 eşit dilime kesilmiştir. Bir kişi 3 dilim yiyor.

Buna göre yenen pizzanın alanı kaç cm^2'dir?

A) 100\pi · B) 120\pi · C) 150\pi · D) 160\pi · E) 400\pi

Tüm alan \pi r^2. 8 eşit dilimde 3 dilim, alanın \dfrac{3}{8}'idir.

  1. Tüm alan: \pi\cdot 20^2=400\pi cm^2.

  2. Yenen pay: \dfrac{3}{8}\cdot 400\pi=150\pi cm^2.

  3. Çeldirici: 400\pi tüm pizzadır; \dfrac{3}{8} oranını uygulamayı atlamak hatadır.

Sonuç: C) 150\pi
Örnek
Soru

Bir gemi, deniz fenerinden tam 13 km uzaktadır. Fenerin etrafındaki sığ (tehlikeli) bölge, fener merkezli yarıçapı 5 km olan bir dairedir. Gemi, bu daireye teğet olacak şekilde düz bir rotada ilerleyip tehlikeli bölgeyi sıyırarak geçiyor.

Buna göre geminin, teğet değme noktasına olan uzaklığı kaç km'dir?

A) 8 · B) 10 · C) 12 · D) 14 · E) 18

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Merkez–gemi (13), yarıçap (5) ve teğet bir dik üçgendir.

  1. Teğet değme noktasında yarıçapa dik; dik üçgende hipotenüs merkez–gemi uzaklığı 13.

  2. Pisagor: \text{teğet}^2=13^2-5^2=169-25=144\Rightarrow \text{teğet}=12 km (5-12-13).

  3. Çeldirici: 13-5=8 (uzaklıkları çıkarmak) yanlıştır; Pisagor gerekir.

Sonuç: C) 12
Örnek
Soru

Dairesel bir bahçenin etrafına çevre boyunca tel çekiliyor; kullanılan tel uzunluğu 12\pi m'dir. Aynı bahçenin yarıçapı 2 katına çıkarılırsa, alanı kaç kat artar?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) 6 · E) 8

Çevreden yarıçap gerekmez: yarıçap k kat olursa alan k^2 kat olur.

  1. Yarıçap 2 katına çıkıyor: k=2.

  2. Alan oranı k^2=2^2=4; alan 4 kat artar.

  3. Çeldirici: yarıçap 2 katı olunca çevre 2 kat, ama alan 4 kat artar; ikisi karıştırılmamalı.

Sonuç: C) 4

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

ÖSYM dilim sorularında açı çoğu zaman 90°, 60°, 120°, 45° gibi seçilir; \dfrac{\alpha}{360} oranını önce \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{8} gibi sade kesre çevirin, işlem hızlanır. Sonuçları \pi cinsinden bırakmaya alışın; ÖSYM şıkları genellikle \pi içerir.

Temel Geometri — diğer konular