çözümebak

10. Sınıf · Sayılar

Asal Çarpanlar ve Bölenler

~7 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Sayılar temasına bir sayının yapı taşları olan asal çarpanlarıyla başlıyoruz. Bu derste bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı, bu ayrışımdan pozitif bölen sayısını ve bölenlerin toplamını bulmayı öğreneceğiz. Asal çarpanlara ayırma; EBOB-EKOK, sadeleştirme ve bölünebilme konularının da temelidir — bu temanın geri kalanında sürekli kullanacaksın. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Asal Sayı ve Asal Çarpan

Asal sayı, 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayıdır: 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\dots (1 asal değildir; 2 tek çift asaldır.)

Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek biçimde yazılabilir (asal çarpanlara ayırma):

N=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}

Örnek
Soru

360 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

  1. Küçük asallarla sırayla böl: 360=2\cdot 180=2\cdot 2\cdot 90=2\cdot2\cdot2\cdot 45.
  2. 45=3\cdot 15=3\cdot3\cdot 5.
  3. Topla: 360=2^3\cdot 3^2\cdot 5.
Sonuç: 360=2^3\cdot 3^2\cdot 5.
360180904515222335
Şekil 1 — 360 sayısının çarpan ağacı. Her adımda en küçük asalı (turuncu yaprak) sola, kalan çarpanı sağa yazarız: 360\to 2\cdot180\to 2\cdot90\to 2\cdot45\to 3\cdot15\to 3\cdot 5. Yapraklardaki asalları sayınca 360=2^3\cdot 3^2\cdot 5 çıkar.

2. Pozitif Bölen Sayısı

N=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} ise N'nin pozitif bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımıdır:

\text{bölen sayısı}=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)

Örnek
Soru

360=2^3\cdot 3^2\cdot 5 sayısının kaç pozitif böleni vardır?

Her asal çarpanın üssünü 1 artırıp çarp. Üsler 3,\ 2,\ 1 ise (3+1)(2+1)(1+1) hesapla.

  1. Üsler: 3,\ 2,\ 1.
  2. Bölen sayısı: (3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24.
Sonuç: 24 pozitif bölen.

3. Bölenlerin Toplamı ve Çift/Tek Bölenler

Bölenlerin toplamı, her asal için (1+p+p^2+\dots+p^{a}) çarpanlarının çarpımıdır. Pratikte sık sorulan iki ölçü:

Örnek
Soru

72=2^3\cdot 3^2 sayısının kaç tek, kaç çift böleni vardır?

  1. Toplam bölen: (3+1)(2+1)=12.
  2. Tek bölenler: 2'yi yok say, yalnız 3^2 kalır: (2+1)=3 tek bölen.
  3. Çift bölenler: 12-3=9.
Sonuç: 3 tek, 9 çift bölen.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

540 sayısını asal çarpanlarına ayırıp pozitif bölen sayısını bulunuz.

  1. Ayır: 540=2^2\cdot 3^3\cdot 5.
  2. Bölen sayısı: (2+1)(3+1)(1+1)=3\cdot 4\cdot 2=24.
Sonuç: 540=2^2\cdot 3^3\cdot 5, 24 bölen.
Örnek
Soru

2^a\cdot 3^2 sayısının 15 pozitif böleni varsa a kaçtır?

  1. Bölen sayısı: (a+1)(2+1)=15.
  2. (a+1)\cdot 3=15\Rightarrow a+1=5\Rightarrow a=4.
Sonuç: a=4.
Örnek
Soru

200 sayısının kaç böleni asaldır?

  1. 200=2^3\cdot 5^2.
  2. Asal bölenler yalnız asal çarpanlardır: 2 ve 5.
Sonuç: 2 tane (2 ve 5).
Örnek
Soru

2^3\cdot 5^2 sayısının 5 ile tam bölünen (yani 5'in katı olan) kaç pozitif böleni vardır?

5'in katı bölenlerde 5 en az birinci kuvvetten bulunur. 5^1'i sabit ayır, kalan kısmın bölen sayısını say.

  1. 5'in katı bölen =5\cdot(2^x\cdot 5^y) biçiminde; x\in\{0,1,2,3\}, y\in\{0,1\}.
  2. Sayısı: 4\cdot 2=8.
Sonuç: 8 bölen.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

84 sayısını asal çarpanlarına ayır.

  1. 84=2^2\cdot 21=2^2\cdot 3\cdot 7.
Sonuç: 84=2^2\cdot 3\cdot 7.
Örnek
Soru

2^4\cdot 3\cdot 5^2 sayısının kaç pozitif böleni vardır?

  1. (4+1)(1+1)(2+1)=5\cdot 2\cdot 3=30.
Sonuç: 30.
Örnek
Soru

96 sayısının kaç çift böleni vardır?

  1. 96=2^5\cdot 3; toplam bölen (5+1)(1+1)=12.
  2. Tek bölen (2'yi yok say): (1+1)=2.
  3. Çift bölen: 12-2=10.
Sonuç: 10.
Örnek
Soru

Bir sayı 2^a\cdot 7 biçiminde ve 8 pozitif böleni varsa a kaçtır?

  1. (a+1)(1+1)=8\Rightarrow (a+1)\cdot 2=8\Rightarrow a+1=4\Rightarrow a=3.
Sonuç: a=3.
Örnek
Soru

45 sayısının pozitif bölenlerinin toplamını bulunuz.

  1. 45=3^2\cdot 5. Bölenler: 1,3,5,9,15,45.
  2. Toplam: 1+3+5+9+15+45=78.
Sonuç: 78.
Örnek
Soru

300 sayısının kaç tek böleni vardır?

  1. 300=2^2\cdot 3\cdot 5^2.
  2. Tek bölen için 2'yi yok say; geriye 3\cdot 5^2 kalır.
  3. (1+1)(2+1)=2\cdot 3=6.
Sonuç: 6 tek bölen.
Örnek
Soru

2^5\cdot 3^a sayısının 24 pozitif böleni varsa a kaçtır?

  1. Bölen sayısı: (5+1)(a+1)=24.
  2. 6\cdot(a+1)=24\Rightarrow a+1=4\Rightarrow a=3.
Sonuç: a=3.
Örnek
Soru

720 sayısının kaç böleni tam karedir (yani bir tam sayının karesine eşittir)?

Bir bölenin tam kare olması için asal çarpanlarının tüm üsleri çift olmalıdır. Her asal için seçilebilecek çift üsleri (0,2,4,\dots) say.

  1. 720=2^4\cdot 3^2\cdot 5.
  2. Tam kare bölen 2^x\cdot 3^y\cdot 5^z'de x,y,z çift olmalı.
  3. x\in\{0,2,4\} (3 seçenek), y\in\{0,2\} (2 seçenek), z\in\{0\} (1 seçenek).
  4. Sayısı: 3\cdot 2\cdot 1=6.
Sonuç: 6 tane (bunlar 1,4,16,9,36,144).
Örnek
Soru

12 pozitif böleni olan ve 2^a\cdot 3^b biçiminde yazılabilen kaç farklı sayı vardır? (a,b\ge 1 tam sayı.)

(a+1)(b+1)=12 olacak şekilde, ikisi de \ge 2 olan çarpan çiftlerini listele. a,b\ge 1 olduğundan a+1\ge 2 ve b+1\ge 2.

  1. (a+1)(b+1)=12 ve her iki çarpan \ge 2.
  2. 12'nin çarpan çiftleri (sıralı): 2\cdot 6,\ 3\cdot 4,\ 4\cdot 3,\ 6\cdot 2.
  3. Buradan (a,b): (1,5),(2,3),(3,2),(5,1) → 4 farklı sayı.
Sonuç: 4 farklı sayı.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Hemen her bölen sorusu önce asal çarpanlara ayırmakla başlar. Ayrışımı yazdıktan sonra bölen sayısı (a+1)(b+1)\dots formülü kapıyı açar.

Sayılar — diğer konular