çözümebak

10. Sınıf · Sayılar

EBOB ve EKOK

~7 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

İki veya daha çok sayının ortak bölenlerinin en büyüğü EBOB, ortak katlarının en küçüğü EKOK'tur. Bu derste asal çarpanlara ayırma yöntemiyle EBOB ve EKOK'u bulmayı, aralarındaki çarpım ilişkisini (\text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b) ve bunların geçtiği günlük problemleri (aynı anda çalma, en büyük parça, tur atma) çözmeyi öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

EBOB, sayıların ortak asal çarpanlarının en küçük üslüleri çarpılarak bulunur. ("Ortak olanı, en az üssüyle al.")

Örnek
Soru

\text{EBOB}(48,\ 72) değerini bulunuz.

  1. Ayır: 48=2^4\cdot 3, \;72=2^3\cdot 3^2.
  2. Ortak çarpanlar 2 ve 3; en küçük üsler 2^3 ve 3^1.
  3. \text{EBOB}=2^3\cdot 3=24.
Sonuç: \text{EBOB}(48,72)=24.

2. EKOK (En Küçük Ortak Kat)

EKOK, sayılarda görülen tüm asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılarak bulunur. ("Görünen her asalı, en çok üssüyle al.")

Örnek
Soru

\text{EKOK}(48,\ 72) değerini bulunuz.

  1. 48=2^4\cdot 3, \;72=2^3\cdot 3^2.
  2. Tüm asallar 2 ve 3; en büyük üsler 2^4 ve 3^2.
  3. \text{EKOK}=2^4\cdot 3^2=16\cdot 9=144.
Sonuç: \text{EKOK}(48,72)=144.
48 = 2⁴·372 = 2³·3²22³·3(EBOB)3EBOB = 2³·3 = 24EKOK = 2⁴·3² = 144
Şekil 1 — 48=2^4\cdot 3 ve 72=2^3\cdot 3^2'nin asal çarpanları. Ortak kısım (2^3\cdot 3) EBOB =24'tür; iki dairenin birleşimi (2^4\cdot 3^2) ise EKOK =144'tür. EBOB ortak (en küçük üs), EKOK ise tüm çarpanları (en büyük üs) toplar.

3. EBOB · EKOK İlişkisi

İki sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı, sayıların çarpımına eşittir:

\text{EBOB}(a,b)\cdot\text{EKOK}(a,b)=a\cdot b

Örnek
Soru

a ve b sayıları için \text{EBOB}=6, \text{EKOK}=72 ve a=24 ise b kaçtır?

\text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b bağıntısını kullan; bilinmeyen b'yi yalnız bırak.

  1. \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b\Rightarrow 6\cdot 72=24\cdot b.
  2. 432=24b\Rightarrow b=18.
Sonuç: b=18.

4. Problemler

Örnek
Soru

Biri 12, diğeri 18 dakikada bir çalan iki zil saat 09{:}00'da birlikte çaldı. İlk kez tekrar birlikte saat kaçta çalar?

  1. Birlikte çalma aralığı \text{EKOK}(12,18).
  2. 12=2^2\cdot 3, 18=2\cdot 3^2; \text{EKOK}=2^2\cdot 3^2=36 dakika.
  3. 09{:}00+36 dk =09{:}36.
Sonuç: Saat 09{:}36'da.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

\text{EBOB}(36,\ 90) ve \text{EKOK}(36,\ 90) değerlerini bulunuz.

  1. 36=2^2\cdot 3^2, \;90=2\cdot 3^2\cdot 5.
  2. EBOB (ortak, en küçük üs): 2\cdot 3^2=18.
  3. EKOK (hepsi, en büyük üs): 2^2\cdot 3^2\cdot 5=180.
Sonuç: EBOB =18, EKOK =180.
Örnek
Soru

Boyutları 24 cm ve 36 cm olan iki ipi, hiç artmayacak ve en uzun olacak şekilde eşit parçalara böleceğiz. Her parça kaç cm olmalıdır?

  1. "Eşit ve en uzun parça" → \text{EBOB}(24,36).
  2. 24=2^3\cdot 3, 36=2^2\cdot 3^2; EBOB =2^2\cdot 3=12.
Sonuç: Her parça 12 cm.
Örnek
Soru

İki sayının çarpımı 600, EBOB'u 10 ise EKOK'u kaçtır?

  1. \text{EBOB}\cdot\text{EKOK}=a\cdot b\Rightarrow 10\cdot\text{EKOK}=600.
  2. \text{EKOK}=60.
Sonuç: 60.
Örnek
Soru

Bir miktar şeker 4'erli, 6'şarlı ve 9'arlı paketlere tam bölünüyor. Bu miktarın olabilecek en küçük değeri kaçtır?

  1. "Hepsine tam bölünen en küçük sayı" → \text{EKOK}(4,6,9).
  2. 4=2^2, 6=2\cdot 3, 9=3^2; EKOK =2^2\cdot 3^2=36.
Sonuç: 36.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

\text{EBOB}(20,\ 30) kaçtır?

  1. 20=2^2\cdot 5, 30=2\cdot 3\cdot 5; ortak 2\cdot 5=10.
Sonuç: 10.
Örnek
Soru

\text{EKOK}(8,\ 12) kaçtır?

  1. 8=2^3, 12=2^2\cdot 3; EKOK =2^3\cdot 3=24.
Sonuç: 24.
Örnek
Soru

İki sayının EBOB'u 5, EKOK'u 60 ve biri 20 ise diğeri kaçtır?

  1. 5\cdot 60=20\cdot b\Rightarrow 300=20b\Rightarrow b=15.
Sonuç: 15.
Örnek
Soru

15 ve 20 dakikada bir kalkan iki otobüs 08{:}00'da birlikte kalktı. Bir sonraki ortak kalkış saat kaçtadır?

  1. \text{EKOK}(15,20): 15=3\cdot5, 20=2^2\cdot5; EKOK =2^2\cdot3\cdot5=60 dk.
  2. 08{:}00+60 dk =09{:}00.
Sonuç: 09{:}00.
Örnek
Soru

48, 60 ve 72 boyutlu üç çubuğu eşit ve en uzun parçalara bölersek her parça kaç birim olur?

  1. \text{EBOB}(48,60,72): 48=2^4\cdot3, 60=2^2\cdot3\cdot5, 72=2^3\cdot3^2.
  2. Ortak en küçük üsler: 2^2\cdot 3=12.
Sonuç: 12 birim.
Örnek
Soru

\text{EKOK}(6,\ 8,\ 15) kaçtır?

  1. 6=2\cdot 3, 8=2^3, 15=3\cdot 5.
  2. Tüm asallar 2,3,5; en büyük üsler 2^3,\ 3^1,\ 5^1.
  3. \text{EKOK}=2^3\cdot 3\cdot 5=120.
Sonuç: 120.
Örnek
Soru

İki kenarı 36 cm ve 48 cm olan dikdörtgen bir zemin, aynı boyutta en büyük kare fayanslarla hiç boşluk kalmadan döşeniyor. Kaç fayans gerekir?

Fayansın kenarı, hem 36'yı hem 48'i tam bölmeli ve en büyük olmalı → \text{EBOB}(36,48). Fayans sayısı için alanı kare alanına böl.

  1. Kare kenarı =\text{EBOB}(36,48). 36=2^2\cdot 3^2, 48=2^4\cdot 3; EBOB =2^2\cdot 3=12 cm.
  2. Bir kenarda 36/12=3, diğerinde 48/12=4 fayans.
  3. Toplam: 3\cdot 4=12 fayans.
Sonuç: 12 fayans (her biri 12\times 12 cm).
Örnek
Soru

5'e bölündüğünde 3, 6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

Her iki koşulda kalan, bölenden 2 eksik (5-3=2, 6-4=2). Demek ki sayının 2 fazlası hem 5'e hem 6'ya tam bölünür.

  1. 5-3=2 ve 6-4=2; eksik kalan aynı, 2.
  2. O hâlde N+2 hem 5'e hem 6'ya bölünür → N+2=\text{EKOK}(5,6)\cdot k=30k.
  3. En küçük pozitif için k=1: N+2=30\Rightarrow N=28.
  4. Kontrol: 28=5\cdot 5+3 (kalan 3), 28=6\cdot 4+4 (kalan 4). ✓
Sonuç: 28.
Örnek
Soru

İki sayının EBOB'u 8, EKOK'u 240'tır. Bu koşula uyan kaç farklı sayı çifti \{a,b\} vardır?

a=8x, b=8y yaz; burada x,y aralarında asaldır. EKOK =8xy=240\Rightarrow xy=30. 30'u aralarında asal iki çarpana ayırmanın yollarını say.

  1. a=8x,\ b=8y ve \text{EBOB}(x,y)=1.
  2. \text{EKOK}(a,b)=8xy=240\Rightarrow xy=30=2\cdot 3\cdot 5.
  3. 30'u aralarında asal \{x,y\} çiftlerine ayır: \{1,30\},\{2,15\},\{3,10\},\{5,6\} → 4 çift.
  4. Her çift bir \{a,b\} verir: \{8,240\},\{16,120\},\{24,80\},\{40,48\}.
Sonuç: 4 farklı çift.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Problemi okurken anahtar kelimeyi yakala: "en büyük/eşit böl" → EBOB, "en küçük/aynı anda" → EKOK. İkisi de önce asal çarpanlara ayırmakla başlar.

Sayılar — diğer konular