çözümebak

10. Sınıf · Veriden Olasılığa

Bayes Teoremi

~8 dk okumaZorluk: Zor14 çözümlü soru

Veriden Olasılığa temasını, koşullu olasılığı tersine çeviren Bayes teoremiyle tamamlıyoruz. Çoğu zaman P(B\mid A)'yı biliriz ama asıl merak ettiğimiz P(A\mid B)'dir ("test pozitif çıktıysa, kişi gerçekten hasta mı?"). Bu derste toplam olasılık kuralını ve Bayes formülünü ağaç şemasıyla öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Toplam Olasılık Kuralı

Bir B olayı, birbirini dışlayan A ve A' durumları üzerinden gerçekleşebiliyorsa, B'nin toplam olasılığı tüm yolların toplamıdır:

P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P(A')\cdot P(B\mid A')

AA'BB'BB'P(A)P(A')P(B|A)P(B'|A)P(B|A')P(B'|A')
Şekil 1 — B'ye iki yoldan ulaşılır: A üzerinden (P(A)\cdot P(B\mid A)) ve A' üzerinden (P(A')\cdot P(B\mid A')). Toplam olasılık bu iki yolun toplamıdır.
Örnek
Soru

Bir fabrikada ürünlerin \%60'ı A makinesinde, \%40'ı B makinesinde üretiliyor. A'nın hata oranı \%5, B'nin \%10'dur. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığını bulunuz.

Hatalıya iki yoldan ulaşılır (A'dan ve B'den). Her yolun olasılığını çarpıp topla.

  1. A yolu: 0{,}60\cdot 0{,}05=0{,}03.
  2. B yolu: 0{,}40\cdot 0{,}10=0{,}04.
  3. Toplam: 0{,}03+0{,}04=0{,}07.
Sonuç: P(\text{hatalı})=0{,}07.

2. Bayes Teoremi

Bir koşulu tersine çevirmek istediğimizde — P(A\mid B)'yi P(B\mid A)'dan bulmak — Bayes teoremini kullanırız:

P(A\mid B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}

Payda, toplam olasılık kuralıyla bulunur. Sezgi: "B gerçekleşti; bunun A yolundan gelme payı nedir?"

Örnek
Soru

Yukarıdaki fabrikada seçilen ürün hatalı çıktı. Bu ürünün A makinesinden gelmiş olma olasılığı kaçtır?

  1. İstenen P(A\mid \text{hatalı})=\dfrac{P(A)\cdot P(\text{hatalı}\mid A)}{P(\text{hatalı})}.
  2. Pay: 0{,}60\cdot 0{,}05=0{,}03. Payda (toplam): 0{,}07.
  3. \dfrac{0{,}03}{0{,}07}=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}43.
Sonuç: \dfrac{3}{7} (yaklaşık \%43).

3. Pratik Yöntem: Pay / Toplam

Bayes sorularını ağaçla çözmenin kısa yolu: istenen yolun olasılığı (pay), bölü o sonuca götüren tüm yolların toplamı (payda).

Örnek
Soru

Bir hastalık nüfusun \%1'inde var. Test, hastaya \%90 pozitif, sağlama \%5 yanlış pozitif veriyor. Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

  1. Hasta–pozitif yolu: 0{,}01\cdot 0{,}90=0{,}009.
  2. Sağlam–pozitif yolu: 0{,}99\cdot 0{,}05=0{,}0495.
  3. Toplam pozitif: 0{,}009+0{,}0495=0{,}0585.
  4. P(\text{hasta}\mid +)=\dfrac{0{,}009}{0{,}0585}\approx 0{,}154.
Sonuç: Yaklaşık \%15{,}4 (sezgiden çok düşük!).

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

İki torbadan birincide 2 kırmızı 3 mavi, ikincide 4 kırmızı 1 mavi top var. Bir torba eşit olasılıkla seçilip bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?

    1. torba yolu: \dfrac12\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{10}=\dfrac15.
    1. torba yolu: \dfrac12\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{10}=\dfrac25.
  3. Toplam: \dfrac15+\dfrac25=\dfrac35.
Sonuç: \dfrac{3}{5}.
Örnek
Soru

Yukarıdaki soruda çekilen top kırmızı ise 1. torbadan gelmiş olma olasılığı nedir?

  1. Pay (1. torba–kırmızı): \dfrac15.
  2. Payda (toplam kırmızı): \dfrac35.
  3. \dfrac{1/5}{3/5}=\dfrac13.
Sonuç: \dfrac{1}{3}.
Örnek
Soru

P(A)=0{,}3, P(B\mid A)=0{,}8, P(B\mid A')=0{,}2 ise P(B) kaçtır?

  1. P(B)=0{,}3\cdot0{,}8+0{,}7\cdot0{,}2=0{,}24+0{,}14=0{,}38.
Sonuç: 0{,}38.
Örnek
Soru

Bir e-postanın spam olma olasılığı \%40. Spamların \%70'i, normal postaların \%10'u "bedava" kelimesini içeriyor. "Bedava" içeren bir postanın spam olma olasılığı nedir?

  1. Spam–bedava: 0{,}40\cdot0{,}70=0{,}28.
  2. Normal–bedava: 0{,}60\cdot0{,}10=0{,}06.
  3. Toplam: 0{,}34; P(\text{spam}\mid \text{bedava})=\dfrac{0{,}28}{0{,}34}\approx 0{,}82.
Sonuç: Yaklaşık \%82.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

P(A)=0{,}5, P(B\mid A)=0{,}6, P(B\mid A')=0{,}2 ise P(B) nedir?

  1. 0{,}5\cdot0{,}6+0{,}5\cdot0{,}2=0{,}3+0{,}1=0{,}4.
Sonuç: 0{,}4.
Örnek
Soru

Yukarıdaki veriyle P(A\mid B) kaçtır?

  1. Pay: 0{,}5\cdot0{,}6=0{,}3; payda 0{,}4.
  2. \dfrac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75.
Sonuç: 0{,}75.
Örnek
Soru

İki torba: 1.'de 1 kırmızı 1 mavi, 2.'de 3 kırmızı 1 mavi. Eşit olasılıkla torba seçilip top çekiliyor. Kırmızı çekme olasılığı nedir?

  1. \dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac12\cdot\dfrac34=\dfrac14+\dfrac38=\dfrac{5}{8}.
Sonuç: \dfrac{5}{8}.
Örnek
Soru

Bir üretimde A hattı \%70 (hata \%2), B hattı \%30 (hata \%6) üretiyor. Hatalı bir ürünün B'den gelme olasılığı nedir?

  1. A–hata: 0{,}7\cdot0{,}02=0{,}014; B–hata: 0{,}3\cdot0{,}06=0{,}018.
  2. Toplam 0{,}032; \dfrac{0{,}018}{0{,}032}=0{,}5625.
Sonuç: Yaklaşık \%56.
Örnek
Soru

Üç torba var: 1.'de 1 kırmızı 3 mavi, 2.'de 2 kırmızı 2 mavi, 3.'te 3 kırmızı 1 mavi top. Bir torba eşit olasılıkla seçilip bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?

Üç ayrık yol var; her torba seçimi \dfrac13. Her yolda \dfrac13\cdot P(\text{kırmızı}\mid \text{torba}) çarpımını yazıp topla.

    1. torba: \dfrac13\cdot\dfrac14=\dfrac{1}{12}.
    1. torba: \dfrac13\cdot\dfrac24=\dfrac{2}{12}.
    1. torba: \dfrac13\cdot\dfrac34=\dfrac{3}{12}.
  4. Toplam: \dfrac{1+2+3}{12}=\dfrac{6}{12}=\dfrac12.
Sonuç: \dfrac{1}{2}.
Örnek
Soru

Yukarıdaki üç torbalı soruda çekilen top kırmızı ise 3. torbadan gelmiş olma olasılığı nedir?

  1. Pay (3. torba–kırmızı yolu): \dfrac{3}{12}.
  2. Payda (toplam kırmızı): \dfrac{6}{12}=\dfrac12.
  3. \dfrac{3/12}{6/12}=\dfrac{3}{6}=\dfrac12.
Sonuç: \dfrac{1}{2}.
Örnek
Soru

Bir hastalık nüfusun \%2'sinde var. Test, hastaya \%95 pozitif veriyor; sağlam birine ise \%10 yanlış pozitif veriyor. Testi negatif çıkan birinin gerçekten sağlam olma olasılığı nedir?

Bu kez sonuç "negatif". Hastaya negatif olasılığı 1-0{,}95=0{,}05; sağlama negatif 1-0{,}10=0{,}90. İstenen P(\text{sağlam}\mid -): sağlam–negatif yolu bölü toplam negatif.

  1. Hasta–negatif: 0{,}02\cdot0{,}05=0{,}001.
  2. Sağlam–negatif: 0{,}98\cdot0{,}90=0{,}882.
  3. Toplam negatif: 0{,}001+0{,}882=0{,}883.
  4. P(\text{sağlam}\mid -)=\dfrac{0{,}882}{0{,}883}\approx 0{,}9989.
Sonuç: Yaklaşık \%99{,}9 (negatif test çok güven verir).

Sık Yapılan Hatalar

Not: Bayes sorusunun pratik reçetesi: istenen yol / o sonuca giden tüm yolların toplamı. Ağacı çiz, dalları çarp, payı ve paydayı oku. Nadir olaylarda sonucun sezgiye aykırı çıkabileceğini unutma.

Veriden Olasılığa — diğer konular