10. Sınıf · Veriden Olasılığa
Koşullu Olasılık
Veriden Olasılığa temasının ilk konusu, bir olayın başka bir olay gerçekleştiği bilindiğinde olasılığını ele alır: koşullu olasılık. Bu derste P(A\mid B) kavramını, formülünü (P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}), ağaç şeması ile gösterimini ve günlük problemlerde kullanımını öğreneceğiz. Koşullu olasılık; bağımlı olaylar ve Bayes teoreminin de temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Koşullu Olasılık Kavramı
B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığına koşullu olasılık denir ve P(A\mid B) ile gösterilir:
P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\quad (P(B)\neq 0)
Sezgi: bilgi geldiğinde örnek uzay daralır — artık yalnız B'nin gerçekleştiği durumlara bakarız.
Bir zar atıldı ve gelen sayının çift olduğu biliniyor. Bu sayının 4 olma olasılığı kaçtır?
Bilgi "çift geldi" olduğundan örnek uzay \{2,4,6\}'ya daralır; istenen bu daralmış uzayda aranır.
- Çift gelme bilgisiyle örnek uzay
\{2,4,6\}(3 durum). - İstenen
4, bunlardan biri. P(4\mid \text{çift})=\dfrac{1}{3}.
\dfrac{1}{3}.2. Ağaç Şeması ile Gösterim
Aşamalı (önce A, sonra B) deneyler ağaç şemasıyla çözülür: her dal bir olasılık taşır; bir yol boyunca dallar çarpılır.
A sonra B yolunun olasılığı P(A)\cdot P(B\mid A)'dır. İkinci aşama dalları koşulludur.Bu çarpım, P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A) bağıntısını verir.
Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığını bulunuz.
- İlk kırmızı:
P(K_1)=\dfrac{3}{5}. - İlk top geri konmadığından ikinci çekişte
4top,2kırmızı kalır:P(K_2\mid K_1)=\dfrac{2}{4}=\dfrac12. - Yol çarpımı:
\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac12=\dfrac{3}{10}.
\dfrac{3}{10}.3. Tablodan Koşullu Olasılık
Çapraz tablo verildiğinde P(A\mid B), B satır/sütununa daralarak okunur: koşulu sağlamayan satır/sütun artık örnek uzayın dışında kalır.
25+35=60 kişi) daralır; P(\text{kadın}\mid \text{gözlük}) bu sütunda kadın oranıdır: \dfrac{25}{60}.100 kişiden 60'ı gözlük takıyor; gözlük takanların 25'i kadın. Rastgele seçilen biri gözlük takıyorsa kadın olma olasılığı kaçtır?
- Koşul "gözlük takıyor" → örnek uzay
60kişi. - Bunların
25'i kadın. P(\text{kadın}\mid \text{gözlük})=\dfrac{25}{60}=\dfrac{5}{12}.
\dfrac{5}{12}.Çözümlü Örnekler
P(A\cap B)=0{,}2 ve P(B)=0{,}5 ise P(A\mid B) kaçtır?
P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4.
0{,}4.Bir zarın gelen sayısının 3'ten büyük olduğu biliniyor. Sayının tek olma olasılığı kaçtır?
- "
3'ten büyük" → uzay\{4,5,6\}. - Tek olan: yalnız
5. P=\dfrac{1}{3}.
\dfrac{1}{3}.Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İlk kırmızı, ikinci mavi olma olasılığı nedir?
- İlk kırmızı:
\dfrac{4}{10}=\dfrac25. - İkinci mavi (kalan
9top,6mavi):\dfrac{6}{9}=\dfrac23. - Çarp:
\dfrac25\cdot\dfrac23=\dfrac{4}{15}.
\dfrac{4}{15}.80 öğrenciden 50'si matematik kursuna gidiyor; bunların 20'si aynı zamanda fizik kursuna gidiyor. Matematik kursuna giden biri seçildiğinde fizik kursuna da gitme olasılığı nedir?
- Koşul "matematik" → uzay
50. - Fizik de gidenler
20. \dfrac{20}{50}=\dfrac25.
\dfrac{2}{5}.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
P(A\cap B)=0{,}15, P(B)=0{,}3 ise P(A\mid B) kaçtır?
\dfrac{0{,}15}{0{,}3}=0{,}5.
0{,}5.Bir zarın çift geldiği biliniyor. Sayının 6 olma olasılığı kaçtır?
- Uzay
\{2,4,6\}; istenen6→\dfrac{1}{3}.
\dfrac{1}{3}.5 kırmızı, 5 mavi toptan geri koymadan iki kırmızı çekme olasılığı nedir?
\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{20}{90}=\dfrac29.
\dfrac{2}{9}.200 kişiden 120'si spor yapıyor; spor yapanların 48'i kadın. Spor yapan biri seçildiğinde kadın olma olasılığı nedir?
\dfrac{48}{120}=\dfrac25.
\dfrac{2}{5}.İki zar atılıyor. Zarların toplamının 8 olduğu biliniyor. İki zarın da çift gelmiş olma olasılığı nedir?
Önce toplamı 8 yapan tüm sıralı ikilileri yaz; bu küme yeni örnek uzaydır. Sonra içlerinde ikisi de çift olanları say.
- Toplamı
8yapanlar:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)→5durum (yeni örnek uzay). - İkisi de çift olanlar:
(2,6),(4,4),(6,2)→3durum. P(\text{ikisi de çift}\mid \text{toplam }8)=\dfrac{3}{5}.
\dfrac{3}{5}.Bir torbada 4 kırmızı, 5 beyaz top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İlk topun kırmızı olduğu biliniyor. İkinci topun da kırmızı olma olasılığı nedir?
- Koşul, ikinci çekişin yapıldığı durumu sabitler: ilk top kırmızı çekilmiş, torbada
8top (3kırmızı,5beyaz) kaldı. - İkinci kırmızı:
\dfrac{3}{8}.
\dfrac{3}{8}.Bir sınıfta 30 öğrenci var: 18'i İngilizce, 12'si Almanca kursuna gidiyor; 7 öğrenci her ikisine de gidiyor. Almanca kursuna giden bir öğrenci seçiliyor. Bu öğrencinin İngilizce kursuna da gitme olasılığı nedir?
İstenen P(\text{İng}\mid \text{Alm})=\dfrac{P(\text{İng}\cap \text{Alm})}{P(\text{Alm})}. Kesişim "her ikisi", payda "Almanca".
- Koşul "Almanca" → örnek uzay
12öğrenci. - Bunların İngilizce'ye de gidenleri, kesişim
=7. P(\text{İng}\mid \text{Alm})=\dfrac{7}{12}.
\dfrac{7}{12}.P(A)=0{,}5, P(B)=0{,}4 ve P(A\cup B)=0{,}7 veriliyor. P(A\mid B) kaçtır?
Önce P(A\cap B)'yi bul: P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). Sonra P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.
- Kesişimi çöz:
0{,}7=0{,}5+0{,}4-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=0{,}2. - Koşullu olasılık:
P(A\mid B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5.
0{,}5.Sık Yapılan Hatalar
P(A\mid B)ileP(B\mid A)'yı eşit sanmak. Koşulun hangi olay olduğuna göre payda değişir; bunlar genelde eşit değildir.- Örnek uzayı daraltmayı unutmak. Koşul verildiğinde yalnız o koşulun gerçekleştiği durumlara bak.
- Geri koymalı/koymasız ayrımını atlamak. Geri koymadan çekişte ikinci olasılığın paydası ve payı azalır.
- Ağaçta dalları toplamak. Bir yol boyunca dallar çarpılır; farklı yolları birleştirirken toplanır.
- Kesişimle koşulluyu karıştırmak.
P(A\cap B)tüm uzayda "hem A hem B" oranıdır;P(A\mid B)ise yalnızBiçindeki orandır. Bu yüzdenP(A\mid B)\ge P(A\cap B)olur (payda\le 1).
Not: Koşullu olasılıkta iki güvenli yol var: formül
P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}ya da örnek uzayı daraltma (koşulu sağlayanlar içinde say). Aşamalı deneylerde ağaç şeması çiz; yol = dalların çarpımı.