çözümebak

AYT Matematik · Fonksiyonlar

Bileşke ve Ters Fonksiyon

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi olarak vermektir; ters fonksiyon ise bir fonksiyonun yaptığı işlemi geri alır. Bu iki kavram AYT'de hem tek başına hem de iç içe sıkça sorulur. Bu derste bileşkenin sıralı işleyişini, doğrusal fonksiyonların tersini ve bileşkenin tersi kuralını adım adım kuruyoruz.

1. Bileşke Fonksiyon

İki fonksiyon f ve g verildiğinde, f ile g'nin bileşkesi şöyle tanımlanır:

(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)

Burada önce iç fonksiyon g uygulanır, sonra çıkan sonuç dış fonksiyon f'ye verilir. Yani işlem sağdan sola okunur.

Dikkat: Bileşke genelde değişmeli değildir: f\circ g\ne g\circ f. Sıralama sonucu değiştirir.

Örnek
Soru

f(x)=2x+1 ve g(x)=x^{2} olsun. (f\circ g)(x) ve (g\circ f)(x) ifadelerini bulunuz.

  1. (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f(x^2)=2x^2+1.

  2. (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g(2x+1)=(2x+1)^2.

  3. İki sonuç farklıdır; bu da f\circ g\ne g\circ f olduğunu gösterir.

Sonuç: (f\circ g)(x)=2x^{2}+1, (g\circ f)(x)=(2x+1)^{2}

Bir noktadaki değer için de önce iç fonksiyonu o noktada hesaplar, sonra dış fonksiyona taşırız.

Örnek
Soru

Yukarıdaki f(x)=2x+1 ve g(x)=x^{2} için (f\circ g)(2) değerini bulunuz.

  1. Önce iç fonksiyon: g(2)=2^2=4.

  2. Sonra dış fonksiyon: f(4)=2\cdot 4+1=9.

Sonuç: (f\circ g)(2)=9

2. Ters Fonksiyon

Bir f fonksiyonunun tersi f^{-1}, ancak f bire bir ve örten ise vardır. Ters fonksiyonun temel özelliği:

f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a

Yani f bir girdiyi bir çıktıya götürürse, f^{-1} o çıktıyı tekrar aynı girdiye geri getirir. Bunun doğrudan sonucu:

\big(f\circ f^{-1}\big)(x)=x \quad\text{ve}\quad \big(f^{-1}\circ f\big)(x)=x

Uyarı: f^{-1} ifadesi ters fonksiyon demektir; \dfrac{1}{f} (çarpmaya göre tersi) değildir. Örneğin f(x)=x+3 için f^{-1}(x)=x-3'tür, \dfrac{1}{x+3} değil.

Doğrusal Fonksiyonun Tersi

f(x)=ax+b (a\ne 0) biçimindeki doğrusal bir fonksiyonun tersi:

f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}

Bunu bulmak için y=ax+b yazıp x'i y cinsinden çözer, sonra değişkenleri yer değiştiririz.

Geometrik anlam: Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir. Aşağıda f(x)=2x-1 ile tersi f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2} gösteriliyor; f üzerindeki (2,3) noktası, tersi üzerindeki (3,2) noktasına yansır.

xyy = xff⁻¹(2, 3)(3, 2)
Örnek
Soru

f(x)=3x-2 fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.

  1. y=3x-2 yaz ve x'i yalnız bırak: y+2=3x \Rightarrow x=\dfrac{y+2}{3}.

  2. Değişkenleri yer değiştir (x\leftrightarrow y): f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}.

Sonuç: f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}

Belirli bir değerin tersini ararken iki yol vardır: ya f^{-1} formülünü kullanırız ya da f(a)=b denklemini doğrudan çözeriz.

Örnek
Soru

f(x)=2x+1 fonksiyonu için f^{-1}(5) değerini bulunuz.

f^{-1}(5) demek, "f hangi değerde 5 verir?" demektir. Yani f(a)=5 denklemini çöz.

  1. f^{-1}(5)=a \iff f(a)=5.

  2. Denklemi kur: 2a+1=5.

  3. Çöz: 2a=4 \Rightarrow a=2.

Sonuç: f^{-1}(5)=2 (çünkü f(2)=5)

3. Bileşkenin Tersi

İki fonksiyonun bileşkesinin tersi alınırken sıra ters döner:

\big(f\circ g\big)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}

Bunu sezgisel olarak şöyle düşün: f\circ g önce g sonra f uygular. Bu işlemi geri almak için son yapılanı önce geri almalıyız — yani önce f^{-1}, sonra g^{-1}. Bu da g^{-1}\circ f^{-1} demektir.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-1 ve g(x)=3x+2 olsun. (g\circ f)(2) değerini bulunuz.

  1. Önce iç fonksiyon: f(2)=2^2-1=3.

  2. Sonra dış fonksiyon: g(3)=3\cdot 3+2=11.

Sonuç: (g\circ f)(2)=11
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1} fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.

y=\dfrac{2x+3}{x-1} yaz, içler dışlar çarpımıyla paydadan kurtul ve x'i y cinsinden çöz.

  1. y=\dfrac{2x+3}{x-1} yaz: y(x-1)=2x+3.

  2. Aç ve x'li terimleri topla: yx-y=2x+3 \Rightarrow yx-2x=y+3.

  3. x'i parantezine al ve çöz: x(y-2)=y+3 \Rightarrow x=\dfrac{y+3}{y-2}.

  4. Değişkenleri yer değiştir: f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-2}.

Sonuç: f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-2}
Örnek
Soru

f(x)=4x-7 fonksiyonu için f^{-1}(9) değerini bulunuz.

  1. f^{-1}(9)=a \iff f(a)=9.

  2. Denklemi kur: 4a-7=9.

  3. Çöz: 4a=16 \Rightarrow a=4.

Sonuç: f^{-1}(9)=4
Örnek
Soru

f(x)=x+5 ve (f\circ g)(x)=3x-1 veriliyor. g(x) fonksiyonunu bulunuz.

(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big) demek g(x)'e 5 ekleyip 3x-1 elde etmek demektir. Buradan g(x)'i yalnız bırak.

  1. Bileşkeyi yaz: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=g(x)+5.

  2. Verilen ifadeye eşitle: g(x)+5=3x-1.

  3. g(x)'i yalnız bırak: g(x)=3x-1-5=3x-6.

Sonuç: g(x)=3x-6
Örnek
Soru

f(x)=2x-3 ve g(x)=x+4 olsun. \big(f\circ g\big)^{-1}(x) ifadesini bulunuz.

\big(f\circ g\big)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1} kuralını kullanabilirsin; ya da önce f\circ g'yi bulup tek seferde tersini alabilirsin.

  1. Önce bileşkeyi bul: (f\circ g)(x)=f(x+4)=2(x+4)-3=2x+5.

  2. Bu doğrusal fonksiyonun tersini al: y=2x+5 \Rightarrow x=\dfrac{y-5}{2}.

  3. Değişkenleri yer değiştir: \big(f\circ g\big)^{-1}(x)=\dfrac{x-5}{2}.

Sonuç: \big(f\circ g\big)^{-1}(x)=\dfrac{x-5}{2}
Örnek
Soru

Bire bir bir f fonksiyonu için f(3)=7 ve f(7)=2 veriliyor. \big(f\circ f\big)^{-1}(2) değerini bulunuz.

\big(f\circ f\big)^{-1}(2)=a demek \big(f\circ f\big)(a)=2, yani f\big(f(a)\big)=2 demektir. Verilen değerleri geriye doğru izle.

  1. \big(f\circ f\big)^{-1}(2)=a \iff f\big(f(a)\big)=2.

  2. f(7)=2 olduğundan f(a)=7 olmalı.

  3. f(3)=7 olduğundan a=3 bulunur.

Sonuç: \big(f\circ f\big)^{-1}(2)=3
Örnek
Soru

f(x)=3x+1 ve (g\circ f)(x)=6x+5 veriliyor. g(x) fonksiyonunu bulunuz.

(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g(3x+1)'dir. g'yi doğrusal g(x)=ax+b alıp eşitleyebilir ya da f(x)=u değişken değiştirmesi yapabilirsin.

  1. f(x)=3x+1=u diyelim; o hâlde x=\dfrac{u-1}{3}.

  2. (g\circ f)(x)=g(u)=6x+5. x yerine \dfrac{u-1}{3} koy: g(u)=6\cdot\dfrac{u-1}{3}+5=2(u-1)+5=2u+3.

  3. Değişkeni x olarak yaz: g(x)=2x+3. (Kontrol: g(3x+1)=2(3x+1)+3=6x+5. ✓)

Sonuç: g(x)=2x+3
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{x+1}{x-2} fonksiyonu için f^{-1}(3) değerini bulunuz.

Ters formülü bulmak yerine doğrudan f(a)=3 denklemini çözmek daha hızlıdır.

  1. f^{-1}(3)=a \iff f(a)=3: \dfrac{a+1}{a-2}=3.

  2. İçler dışlar çarpımı: a+1=3(a-2)=3a-6.

  3. Düzenle: a+1=3a-6 \Rightarrow 7=2a \Rightarrow a=\dfrac{7}{2}.

Sonuç: f^{-1}(3)=\dfrac{7}{2}
Örnek
Soru

f(x)=2x-1 olmak üzere \big(f^{-1}\circ f^{-1}\big)(x) ifadesini bulunuz.

Önce f^{-1}(x)'i bul, sonra onu kendi içine uygula.

  1. f^{-1}(x): y=2x-1 \Rightarrow x=\dfrac{y+1}{2}, yani f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2}.

  2. Kendi içine uygula: \big(f^{-1}\circ f^{-1}\big)(x)=f^{-1}\!\left(\dfrac{x+1}{2}\right)=\dfrac{\frac{x+1}{2}+1}{2}=\dfrac{\frac{x+3}{2}}{2}=\dfrac{x+3}{4}.

Sonuç: \big(f^{-1}\circ f^{-1}\big)(x)=\dfrac{x+3}{4}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır. Önce kendin çöz, sonra çözüme bak.

Örnek
Soru

f(x)=x+2 ve g(x)=3x-4 fonksiyonları için (f+g)(a)=10 ve (f\cdot g)(b)=0 (b pozitif) eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre (f\circ g)(a-b) değeri kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. (f+g)(x)=(x+2)+(3x-4)=4x-2. (f+g)(a)=10\Rightarrow 4a-2=10\Rightarrow a=3.

  2. (f\cdot g)(x)=(x+2)(3x-4)=0\Rightarrow x=-2 ya da x=\dfrac{4}{3}. b pozitif olduğundan b=\dfrac{4}{3}.

  3. a-b=3-\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3}.

  4. g\!\left(\dfrac{5}{3}\right)=3\cdot\dfrac{5}{3}-4=1; f(1)=1+2=3.

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

f(x)=ax+b doğrusal fonksiyonu f(2)=7 ve f^{-1}(1)=-1 koşullarını sağlamaktadır.

Buna göre a\cdot b çarpımı kaçtır?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 8

  1. f(2)=7\Rightarrow 2a+b=7.

  2. f^{-1}(1)=-1 demek f(-1)=1 demektir: -a+b=1.

  3. İki denklemi taraf tarafa çıkar: 3a=6\Rightarrow a=2, buradan b=3.

  4. a\cdot b=2\cdot 3=6.

Sonuç: C) 6
Örnek
Soru

f(x)=2x+1 ve g(x)=x-3 fonksiyonları veriliyor.

Buna göre (f\circ g)^{-1}(5) değeri kaçtır?

A) 3 · B) 4 · C) 5 · D) 6 · E) 7

Önce (f\circ g)(x) bileşkesini yaz, sonra tersini al; ya da (f\circ g)(x)=5 denklemini doğrudan çöz.

  1. Bileşke: (f\circ g)(x)=f(x-3)=2(x-3)+1=2x-5.

  2. (f\circ g)^{-1}(5), (f\circ g)(x)=5 olan x değeridir: 2x-5=5\Rightarrow x=5.

Sonuç: C) 5
Örnek
Soru

Bire bir ve örten bir f fonksiyonu için f(2x-1)=3x+4 eşitliği her x için sağlanmaktadır.

Buna göre f^{-1}(13) değeri kaçtır?

A) 3 · B) 5 · C) 7 · D) 9 · E) 11

Önce f(x)'i bulmak için 2x-1=t değişken değiştirmesi yap; sonra f^{-1}(13)=a \iff f(a)=13 denklemini çöz.

  1. 2x-1=t diyelim: x=\dfrac{t+1}{2}. O hâlde f(t)=3\cdot\dfrac{t+1}{2}+4=\dfrac{3t+3}{2}+4=\dfrac{3t+11}{2}.

  2. Yani f(x)=\dfrac{3x+11}{2}.

  3. f^{-1}(13)=a \iff f(a)=13: \dfrac{3a+11}{2}=13 \Rightarrow 3a+11=26 \Rightarrow 3a=15 \Rightarrow a=5.

Sonuç: B) 5
Örnek
Soru

f(x)=2x+3 ve g bire bir bir fonksiyon olmak üzere \big(f\circ g\big)(x)=4x-1 veriliyor.

Buna göre g^{-1}(4) değeri kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

Önce g(x)'i bul: f\big(g(x)\big)=2g(x)+3=4x-1 eşitliğinden g(x)'i yalnız bırak. Sonra g^{-1}(4)=a \iff g(a)=4.

  1. f\big(g(x)\big)=2g(x)+3=4x-1 \Rightarrow 2g(x)=4x-4 \Rightarrow g(x)=2x-2.

  2. g^{-1}(4)=a \iff g(a)=4: 2a-2=4 \Rightarrow 2a=6 \Rightarrow a=3.

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

f(x)=x-4 ve g(x)=3x fonksiyonları veriliyor.

Buna göre \big(g\circ f\big)^{-1}(6) değeri kaçtır?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 8

\big(g\circ f\big)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} kuralını kullanabilir ya da önce (g\circ f)(x) bileşkesini bulup =6 denklemini çözebilirsin.

  1. Bileşkeyi bul: (g\circ f)(x)=g(x-4)=3(x-4)=3x-12.

  2. \big(g\circ f\big)^{-1}(6), (g\circ f)(x)=6 olan x değeridir: 3x-12=6 \Rightarrow 3x=18 \Rightarrow x=6.

  3. Kural ile kontrol: g^{-1}(x)=\dfrac{x}{3}, f^{-1}(x)=x+4. \big(f^{-1}\circ g^{-1}\big)(6)=f^{-1}\!\left(\dfrac{6}{3}\right)=f^{-1}(2)=2+4=6. ✓

Sonuç: C) 6

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

f^{-1}(a) tipi sorularda formül bulmaya çalışmak yerine doğrudan f(x)=a denklemini çözmek çoğu zaman daha hızlıdır. Bileşke içeren ters sorularında ise önce bileşkeyi sadeleştirip tek bir fonksiyon hâline getir, sonra tersini al. Doğrusal fonksiyonlarda f(x)=ax+b \Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a} formülünü ezbere bilmek zaman kazandırır.

Fonksiyonlar — diğer konular