AYT Matematik · Fonksiyonlar

Parçalı, Mutlak Değer ve İşaret Fonksiyonu

~9 dk okumaZorluk: Zor20 çözümlü soru

Bazı fonksiyonlar tanım kümesinin farklı bölgelerinde farklı kurallarla tanımlanır ya da özel bir işleyişe sahiptir. Parçalı, mutlak değer, işaret ve tam değer (taban) fonksiyonları bunların başında gelir. Bu konu, bu özel fonksiyonların değerlerini doğru hesaplamayı, parçalı tanımlarını okumayı ve temel grafik dönüşümlerini kavramayı amaçlar.

1. Parçalı Fonksiyon

Parçalı fonksiyon, tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyondur:

$f(x)=\begin{cases}\dots,& x<a\\ \dots,& x\ge a\end{cases}$

Bir değer hesaplarken yapılacak tek şey, verilen $x$ 'in hangi parçaya düştüğüne bakmak ve o parçanın kuralını uygulamaktır. Aralık koşulundaki $<$ , $\le$ ayrımına dikkat edilmelidir.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}x^2,& x\le 1\\ 2x+1,& x>1\end{cases}$ olduğuna göre $f(0)$ ve $f(2)$ değerlerini bulunuz.

$x=0$ için: $0\le 1$ olduğundan üst parça geçerlidir, $f(0)=0^2=0$ .
$x=2$ için: $2>1$ olduğundan alt parça geçerlidir, $f(2)=2\cdot 2+1=5$ .

Sonuç:

f(0)=0

f(2)=5

2. Mutlak Değer Fonksiyonu

Bir sayının mutlak değeri, onun sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır; bu nedenle hiçbir zaman negatif olmaz. $f(x)=\lvert x\rvert$ fonksiyonunun parçalı tanımı şöyledir:

$\lvert x\rvert=\begin{cases}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{cases}$

$\lvert x-a\rvert$ ifadesi ise $x$ ile $a$ arasındaki uzaklığı verir. İçerinin işaretine göre değerlendirilir: içerideki ifade negatifse işareti değiştirilerek pozitife çevrilir.

$f(x)=\lvert x\rvert$ grafiği, tepe noktası orijinde olan bir $V$ şeklidir:

Örnek

Soru

$\lvert -5\rvert$ ve $\lvert 3-7\rvert$ değerlerini hesaplayınız.

$\lvert -5\rvert$ : içeride negatif değer var, mutlak değer onu pozitife çevirir, $\lvert -5\rvert=5$ .
$\lvert 3-7\rvert=\lvert -4\rvert=4$ .

Sonuç:

\lvert -5\rvert=5

\lvert 3-7\rvert=4

3. İşaret Fonksiyonu

İşaret (signum) fonksiyonu, bir sayının yalnızca işaretini taşır:

$\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{cases}$

Yani pozitif girdiler için $1$ , negatif girdiler için $-1$ , sıfır için $0$ döner. Bir çarpımın ya da bölümün $\operatorname{sgn}$ değerini bulurken işaret kuralları kullanılabilir.

Örnek

Soru

$\operatorname{sgn}(-4)$ değerini bulunuz.

$-4<0$ olduğundan işaret fonksiyonu $-1$ değerini verir.

Sonuç:

\operatorname{sgn}(-4)=-1

4. Tam Değer (Taban) Fonksiyonu

$\lfloor x\rfloor$ ile gösterilen tam değer (taban) fonksiyonu, $x$ 'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı verir. Sayı doğrusunda $x$ 'in solundaki (veya kendisi tam sayıysa kendisi olan) en yakın tam sayıdır.

$x$	$\lfloor x\rfloor$	Açıklama
$2{,}7$	$2$	$2{,}7$ 'den büyük olmayan en büyük tam sayı $2$
$5$	$5$	tam sayının tabanı kendisidir
$-1{,}3$	$-2$	$-1{,}3$ 'ten büyük olmayan en büyük tam sayı $-2$ 'dir

Dikkat: Negatif sayılarda taban "aşağıya" yuvarlar. $\lfloor -1{,}3\rfloor$ , $-1$ değil $-2$ 'dir; çünkü $-1$ sayısı $-1{,}3$ 'ten büyüktür ve koşulu sağlamaz.

Örnek

Soru

$\lfloor 2{,}7\rfloor$ ve $\lfloor -1{,}3\rfloor$ değerlerini bulunuz.

$\lfloor 2{,}7\rfloor$ : $2{,}7$ 'den büyük olmayan en büyük tam sayı $2$ 'dir.
$\lfloor -1{,}3\rfloor$ : $-1{,}3$ 'ten küçük veya eşit tam sayılar $\dots,-3,-2$ 'dir; bunların en büyüğü $-2$ 'dir.

Sonuç:

\lfloor 2{,}7\rfloor=2

\lfloor -1{,}3\rfloor=-2

5. Grafik Dönüşümleri

Bir $y=f(x)$ grafiğinden, basit dönüşümlerle yeni grafikler elde edilir:

Dönüşüm	Etki
$f(x)+c$	grafiği $c$ birim yukarı/aşağı kaydırır
$f(x-c)$	grafiği $c$ birim sağa/sola kaydırır
$-f(x)$	grafiği $x$ -eksenine göre yansıtır

Örneğin $f(x)=\lvert x\rvert$ grafiği, $V$ şeklindedir; $f(x)=\lvert x-3\rvert$ ise aynı $V$ 'nin $3$ birim sağa kaymış hâlidir (tepe noktası $x=3$ 'tedir). Aşağıda hem sağa hem aşağı ötelenmiş $y=\lvert x-2\rvert-1$ grafiği, tepe noktası $(2,-1)$ ile gösteriliyor:

Örnek

Soru

$f(x)=\lvert x-3\rvert$ olduğuna göre $f(1)$ değerini bulunuz.

$x=1$ değerini yerine yaz: $f(1)=\lvert 1-3\rvert=\lvert -2\rvert$ .
Mutlak değeri al: $\lvert -2\rvert=2$ .

Sonuç:

f(1)=2

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}3x-2,& x<0\\ x^2+1,& 0\le x<2\\ 5,& x\ge 2\end{cases}$ olduğuna göre $f(-1)+f(1)+f(3)$ toplamını bulunuz.

Her bir $x$ değeri için önce hangi aralığa düştüğünü belirle, sonra o aralığın kuralını uygula.

$f(-1)$ : $-1<0$ olduğundan birinci parça, $f(-1)=3\cdot(-1)-2=-5$ .
$f(1)$ : $0\le 1<2$ olduğundan ikinci parça, $f(1)=1^2+1=2$ .
$f(3)$ : $3\ge 2$ olduğundan üçüncü parça, $f(3)=5$ .
Topla: $-5+2+5=2$ .

Sonuç:

f(-1)+f(1)+f(3)=2

Örnek

Soru

$g(x)=\lvert 2x-6\rvert-\lvert x+1\rvert$ olduğuna göre $g(4)$ değerini bulunuz.

$x=4$ değerini yerine yaz: $g(4)=\lvert 2\cdot 4-6\rvert-\lvert 4+1\rvert$ .
İçerileri hesapla: $\lvert 8-6\rvert-\lvert 5\rvert=\lvert 2\rvert-\lvert 5\rvert$ .
Mutlak değerleri al ve çıkar: $2-5=-3$ .

Sonuç:

g(4)=-3

Örnek

Soru

$\operatorname{sgn}(-3)\cdot\operatorname{sgn}(5)+\operatorname{sgn}(0)$ işleminin sonucunu bulunuz.

Her $\operatorname{sgn}$ değerini ayrı ayrı bul: pozitif için $1$ , negatif için $-1$ , sıfır için $0$ .

$\operatorname{sgn}(-3)=-1$ (negatif).
$\operatorname{sgn}(5)=1$ (pozitif).
$\operatorname{sgn}(0)=0$ (sıfır).
Yerine koy: $(-1)\cdot 1+0=-1$ .

Sonuç: Sonuç

-1

Örnek

Soru

$\lfloor 4{,}9\rfloor+\lfloor -2{,}5\rfloor$ toplamını bulunuz.

$\lfloor 4{,}9\rfloor$ : $4{,}9$ 'dan büyük olmayan en büyük tam sayı $4$ 'tür.
$\lfloor -2{,}5\rfloor$ : $-2{,}5$ 'ten büyük olmayan en büyük tam sayı $-3$ 'tür ( $-2$ sayısı $-2{,}5$ 'ten büyüktür, koşulu sağlamaz).
Topla: $4+(-3)=1$ .

Sonuç:

\lfloor 4{,}9\rfloor+\lfloor -2{,}5\rfloor=1

Örnek

Soru

$f(x)=\lfloor x\rfloor$ olduğuna göre, $\lfloor 3{,}2\rfloor+\lfloor 3{,}8\rfloor$ ile $\lfloor 3{,}2+3{,}8\rfloor$ değerlerini karşılaştırınız.

Önce her iki ifadeyi ayrı ayrı hesapla; tabanların toplamı her zaman toplamın tabanına eşit olmak zorunda değildir.

Soldaki ifade: $\lfloor 3{,}2\rfloor+\lfloor 3{,}8\rfloor=3+3=6$ .
Sağdaki ifade: $\lfloor 3{,}2+3{,}8\rfloor=\lfloor 7\rfloor=7$ .
Karşılaştır: $6\ne 7$ olduğundan iki ifade eşit değildir; tabanların toplamı toplamın tabanından küçük çıkabilir.

Sonuç:

\lfloor 3{,}2\rfloor+\lfloor 3{,}8\rfloor=6

\lfloor 7\rfloor=7

; eşit değildirler.

Örnek

Soru

$f(x)=\lvert x\rvert$ grafiğinin $2$ birim sağa ve $3$ birim yukarı kaydırılmasıyla elde edilen fonksiyon $g(x)$ 'tir. $g(x)$ ifadesini yazınız ve $g(2)$ değerini bulunuz.

Sağa kaydırma $x$ yerine $x-c$ yazmak, yukarı kaydırma ise $+c$ eklemektir.

$2$ birim sağa kaydırma: $x$ yerine $x-2$ yazılır, $\lvert x-2\rvert$ olur.
$3$ birim yukarı kaydırma: ifadeye $+3$ eklenir, $g(x)=\lvert x-2\rvert+3$ .
$g(2)$ değeri: $g(2)=\lvert 2-2\rvert+3=0+3=3$ (tepe noktası).

Sonuç:

g(x)=\lvert x-2\rvert+3

g(2)=3

Örnek

Soru

$\lvert x-3\rvert=5$ denklemini sağlayan $x$ değerlerini ve bunların toplamını bulunuz.

$\lvert A\rvert=k$ ( $k>0$ ) denkleminin iki çözümü vardır: $A=k$ veya $A=-k$ .

İki durum yaz: $x-3=5$ veya $x-3=-5$ .
Çöz: $x=8$ veya $x=-2$ .
Toplam: $8+(-2)=6$ .

Sonuç:

x\in\{-2,\,8\}

, toplam

6

Örnek

Soru

$f(x)=\lvert x-1\rvert + \lvert x-4\rvert$ fonksiyonunun $1\le x\le 4$ aralığındaki değerini bulunuz.

Bu aralıkta $x-1\ge 0$ ama $x-4\le 0$ 'dır. Her mutlak değeri işaretine göre aç.

$1\le x\le 4$ aralığında $x-1\ge 0$ olduğundan $\lvert x-1\rvert=x-1$ .
Aynı aralıkta $x-4\le 0$ olduğundan $\lvert x-4\rvert=-(x-4)=4-x$ .
Topla: $f(x)=(x-1)+(4-x)=3$ . Yani bu aralıkta fonksiyon sabittir.

Sonuç:

1\le x\le 4

aralığında

f(x)=3

(sabit).

Örnek

Soru

$\lfloor x\rfloor=3$ eşitliğini sağlayan $x$ değerlerinin bulunduğu aralığı yazınız.

$\lfloor x\rfloor=n$ olması, $n\le x<n+1$ demektir.

Taban fonksiyonu tanımı gereği $\lfloor x\rfloor=3 \iff 3\le x<4$ .
Yani $x$ , $3$ (dahil) ile $4$ (hariç) arasındaki tüm gerçek sayılardır.

Sonuç:

x\in[3,\,4)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}2x+3,& x<-1\\ \lvert x\rvert-1,& -1\le x<3\\ \left\lfloor \dfrac{x}{2}\right\rfloor,& x\ge 3\end{cases}$ biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre $f(-2)+f(2)+f(5)$ toplamı kaçtır?

A) $0$ · B) $1$ · C) $2$ · D) $3$ · E) $4$

$f(-2)$ : $-2<-1$ olduğundan birinci parça geçerlidir, $f(-2)=2\cdot(-2)+3=-1$ .
$f(2)$ : $-1\le 2<3$ olduğundan ikinci parça geçerlidir, $f(2)=\lvert 2\rvert-1=1$ .
$f(5)$ : $5\ge 3$ olduğundan üçüncü parça geçerlidir, $f(5)=\left\lfloor \dfrac{5}{2}\right\rfloor=\lfloor 2{,}5\rfloor=2$ .
Topla: $-1+1+2=2$ .

Sonuç: C)

2

Örnek

Soru

Bir işlemde $\lfloor -2{,}3\rfloor+\lvert\,\lfloor 1{,}8\rfloor-6\,\rvert-\operatorname{sgn}\!\left(\lfloor -0{,}4\rfloor\right)$ ifadesi veriliyor.

Buna göre bu ifadenin değeri kaçtır?

A) $3$ · B) $1$ · C) $-1$ · D) $-3$ · E) $5$

$\lfloor -2{,}3\rfloor$ : $-2{,}3$ 'ten büyük olmayan en büyük tam sayı $-3$ 'tür.
$\lfloor 1{,}8\rfloor=1$ olduğundan $\lvert\,1-6\,\rvert=\lvert -5\rvert=5$ .
$\lfloor -0{,}4\rfloor=-1$ olduğundan $\operatorname{sgn}(-1)=-1$ .
Yerine koy: $-3+5-(-1)=-3+5+1=3$ .

Sonuç: A)

3

Örnek

Soru

$g(x)=\lvert x-2\rvert+\lfloor x\rfloor\cdot\operatorname{sgn}(x-4)$ fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre $g(1)+g(5)$ toplamı kaçtır?

A) $5$ · B) $6$ · C) $7$ · D) $8$ · E) $9$

$g(1)=\lvert 1-2\rvert+\lfloor 1\rfloor\cdot\operatorname{sgn}(1-4)=1+1\cdot\operatorname{sgn}(-3)=1+1\cdot(-1)=0$ .
$g(5)=\lvert 5-2\rvert+\lfloor 5\rfloor\cdot\operatorname{sgn}(5-4)=3+5\cdot\operatorname{sgn}(1)=3+5\cdot 1=8$ .
Topla: $0+8=8$ .

Sonuç: D)

8

Örnek

Soru

$\lvert x-2\rvert + \lvert x+1\rvert = 7$ denkleminin pozitif kökü kaçtır?

A) $3$ · B) $4$ · C) $5$ · D) $6$ · E) $7$

Kritik noktalar $x=2$ ve $x=-1$ 'dir. Üç bölge incelenir.
$x\ge 2$ : $(x-2)+(x+1)=7 \Rightarrow 2x-1=7 \Rightarrow x=4$ . Bu $x\ge 2$ ile uyumludur, geçerli kök $x=4$ .
$x<-1$ : $-(x-2)-(x+1)=7 \Rightarrow -2x+1=7 \Rightarrow x=-3$ . Bu $x<-1$ ile uyumludur (negatif kök).
$-1\le x<2$ : $(2-x)+(x+1)=3\ne 7$ , bu bölgede çözüm yok.
Pozitif kök $x=4$ 'tür.

Sonuç: B)

4

Örnek

Soru

$f(x)=\left\lfloor \dfrac{x}{2}\right\rfloor$ olduğuna göre $f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(7)$ toplamı kaçtır?

A) $9$ · B) $10$ · C) $11$ · D) $12$ · E) $13$

Her terimi hesapla: $f(1)=\lfloor 0{,}5\rfloor=0$ , $f(2)=\lfloor 1\rfloor=1$ , $f(3)=\lfloor 1{,}5\rfloor=1$ .
$f(4)=\lfloor 2\rfloor=2$ , $f(5)=\lfloor 2{,}5\rfloor=2$ , $f(6)=\lfloor 3\rfloor=3$ , $f(7)=\lfloor 3{,}5\rfloor=3$ .
Topla: $0+1+1+2+2+3+3=12$ .

Sonuç: D)

12

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}\operatorname{sgn}(x-3)\cdot x^2,& x\le 1\\ \lfloor x\rfloor + \lvert x-5\rvert,& x>1\end{cases}$ biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre $f(-2)+f(4)$ toplamı kaçtır?

A) $-1$ · B) $0$ · C) $1$ · D) $2$ · E) $3$

$f(-2)$ : $-2\le 1$ olduğundan birinci parça. $\operatorname{sgn}(-2-3)=\operatorname{sgn}(-5)=-1$ . O hâlde $f(-2)=-1\cdot(-2)^2=-1\cdot 4=-4$ .
$f(4)$ : $4>1$ olduğundan ikinci parça. $\lfloor 4\rfloor=4$ ve $\lvert 4-5\rvert=\lvert -1\rvert=1$ . O hâlde $f(4)=4+1=5$ .
Topla: $-4+5=1$ .

Sonuç: C)

1

Sık Yapılan Hatalar

Parçalı fonksiyonda yanlış parçayı seçmek: $x$ değerinin hangi aralığa düştüğünü dikkatlice belirle; özellikle uç noktalarda $<$ ile $\le$ ayrımını gözden kaçırma.
Negatif sayılarda tabanı yanlış almak: $\lfloor -1{,}3\rfloor$ değerini $-1$ sanmak yaygın bir hatadır; doğrusu $-2$ 'dir, çünkü taban fonksiyonu daima aşağıya (sayı doğrusunda sola) gider.
Mutlak değerin içini hesaplamadan işlem yapmak: Önce parantez içini sayısal olarak bul, sonra mutlak değeri al; $\lvert 3-7\rvert$ ifadesi $\lvert 3\rvert-\lvert 7\rvert$ ile karıştırılmamalıdır.

Sınav İpucu

Bu özel fonksiyonlarda sorular neredeyse her zaman değer hesaplatır. Üç adımlı bir refleks geliştir: (1) verilen $x$ için doğru parçayı/kuralı seç, (2) içeriyi sayısal olarak hesapla, (3) mutlak değer/işaret/taban kuralını en son uygula. Negatif tam değer sorularında "aşağıya yuvarla" cümlesini aklından geçir; bu tek alışkanlık en sık kaybedilen puanı kurtarır.

1. Parçalı Fonksiyon

2. Mutlak Değer Fonksiyonu

3. İşaret Fonksiyonu

4. Tam Değer (Taban) Fonksiyonu

5. Grafik Dönüşümleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Fonksiyonlar — diğer konular