TYT Matematik · Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler

Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Birinci dereceden denklem ve eşitsizlikler, TYT'nin en temel ama en çok puan getiren konularından biridir. Bilinmeyenin en büyük üssü 1 olan bu ifadeler; sayı problemlerinden geometri kurulumlarına kadar her yerde karşına çıkar. Burada denklemi tek bir köke indirgemeyi, eşitsizlikte yön kuralını ve çözümü aralık olarak yazmayı öğreneceksin.

1. Birinci Dereceden Denklem

Bilinmeyeni $x$ olan ve $x$ 'in en büyük üssü $1$ olan denklem birinci derecedendir. Genel biçimi:

$ax+b=0,\qquad a\ne 0 \;\Rightarrow\; x=-\frac{b}{a}$

$a\ne 0$ koşulu şarttır: $a=0$ olursa $x$ kaybolur ve denklem birinci dereceden olmaktan çıkar.

Çözüm adımları:

Varsa parantezleri aç.
Bilinmeyenli terimleri bir tarafta, sayıları diğer tarafta topla (terim taraf değiştirirken işareti değişir).
Bilinmeyenin katsayısına böl.

Örnek

Soru

$3x-7=8$ denklemini çözünüz.

Sayıyı sağ tarafa at: $3x=8+7=15$ .
Katsayıya böl: $x=\dfrac{15}{3}=5$ .
Doğrulama: $3\cdot 5-7=15-7=8$ . Doğru.

Sonuç:

x=5

Örnek

Soru

$2(x-1)+3=x+6$ denklemini çözünüz.

Sol tarafta parantezi aç: $2x-2+3=x+6 \Rightarrow 2x+1=x+6$ .
Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $2x-x=6-1$ .
Sadeleştir: $x=5$ .
Doğrulama: Sol $=2(5-1)+3=8+3=11$ , sağ $=5+6=11$ . Eşit.

Sonuç:

x=5

2. Birinci Dereceden Eşitsizlik

Eşitsizlik, $=$ yerine $<,\ >,\ \le,\ \ge$ işaretlerinden birini içerir. Çözüm adımları denklemdekiyle aynıdır, tek bir kritik fark vardır:

Yön kuralı: Bir eşitsizliği negatif bir sayıyla çarptığında veya böldüğünde eşitsizliğin yönü değişir ( $<$ ise $>$ olur). Pozitif sayıyla çarpıp bölmede yön değişmez.

Örnek

Soru

$2x-3 < 7$ eşitsizliğini çözünüz ve çözüm aralığını yazınız.

Sayıyı sağa at: $2x < 7+3 \Rightarrow 2x < 10$ .
Pozitif katsayı $2$ 'ye böl (yön değişmez): $x < 5$ .
Çözüm aralığı: $(-\infty,\,5)$ .

Sonuç:

x < 5

, yani

x\in(-\infty,\,5)

Örnek

Soru

$-2x > 6$ eşitsizliğini çözünüz.

Bilinmeyenin katsayısı negatif. İki tarafı $-2$ 'ye bölerken yönü çevirmeyi unutma.

İki tarafı $-2$ 'ye böl. Negatife böldüğümüz için yön değişir: $x < -3$ .
Doğrulama: $x=-4$ deneyelim: $-2\cdot(-4)=8 > 6$ . Sağladı. $x=0$ ise $0 > 6$ yanlış; demek ki $-3$ 'ten küçük olmalı.
Çözüm aralığı: $(-\infty,\,-3)$ .

Sonuç:

x < -3

3. Çözüm Kümesi ve Aralık Gösterimi

Eşitsizliğin çözümü genellikle bir aralıktır. Aralık yazarken:

Uç değer dâhilse (yani $\le$ ya da $\ge$ ) köşeli parantez kullanılır: $[\ ]$ .
Uç değer dâhil değilse (yani $<$ ya da $>$ ) yuvarlak parantez kullanılır: $(\ )$ .
$-\infty$ ve $+\infty$ için her zaman yuvarlak parantez kullanılır.

Eşitsizlik	Aralık	Uçlar
$x < 5$	$(-\infty,\,5)$	açık
$x \le 5$	$(-\infty,\,5]$	sağ kapalı
$-1 \le x$	$[-1,\,\infty)$	sol kapalı
$-1 \le x < 3$	$[-1,\,3)$	sol kapalı, sağ açık

Çift eşitsizlik ( $a \le x < b$ gibi), $x$ 'i ortada yalnız bırakacak şekilde her üç bölgeye aynı işlemi uygulayarak çözülür.

Örnek

Soru

$-1 \le 2x-1 < 5$ çift eşitsizliğini çözünüz ve çözüm aralığını yazınız.

Üç tarafa da $+1$ ekle: $-1+1 \le 2x < 5+1 \Rightarrow 0 \le 2x < 6$ .
Üç tarafı da pozitif $2$ 'ye böl (yön değişmez): $0 \le x < 3$ .
Sol uç dâhil ( $\le$ ), sağ uç hariç ( $<$ ): aralık $[0,\,3)$ .

Sonuç:

0 \le x < 3

, yani

x\in[0,\,3)

4. Kesirli Denklemler

Paydaları varsa, tüm terimleri paydaların en küçük ortak katına (EKOK) genişletip kesirden kurtulmak en pratik yoldur.

Örnek

Soru

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=5$ denklemini çözünüz.

Paydaların EKOK'u $6$ . Sol tarafı paydası $6$ olacak şekilde topla: $\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x}{6}=\dfrac{5x}{6}$ .
Denklem $\dfrac{5x}{6}=5$ oldu. İki tarafı $6$ ile çarp: $5x=30$ .
$5$ 'e böl: $x=6$ .
Doğrulama: $\dfrac{6}{2}+\dfrac{6}{3}=3+2=5$ . Doğru.

Sonuç:

x=6

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$5x+4=3x-2$ denklemini çözünüz.

Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $5x-3x=-2-4$ .
Sadeleştir: $2x=-6$ .
Katsayıya böl: $x=-3$ .

Sonuç:

x=-3

Örnek

Soru

$\dfrac{2x+1}{3}=\dfrac{x-1}{2}$ denklemini çözünüz.

Çapraz çarp: $2(2x+1)=3(x-1)$ .
Parantezleri aç: $4x+2=3x-3$ .
Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $4x-3x=-3-2 \Rightarrow x=-5$ .
Doğrulama: Sol $=\dfrac{2(-5)+1}{3}=\dfrac{-9}{3}=-3$ , sağ $=\dfrac{-5-1}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3$ . Eşit.

Sonuç:

x=-5

Örnek

Soru

$3(x-2)-5(x+1)=4-2x$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Parantezleri aç: $3x-6-5x-5=4-2x$ .
Sol tarafı sadeleştir: $-2x-11=4-2x$ .
İki tarafa $+2x$ ekle: $-11=4$ .
Bu eşitlik yanlıştır, hiçbir $x$ değeri sağlamaz. Çözüm kümesi boştur.

Sonuç:

\varnothing

(çözüm yok)

Örnek

Soru

$4-3x \ge -5$ eşitsizliğini çözünüz ve çözüm aralığını yazınız.

$4$ 'ü sağa at: $-3x \ge -5-4 \Rightarrow -3x \ge -9$ .
Negatif katsayı $-3$ 'e böl, yön değişir: $x \le 3$ .
Sağ uç dâhil ( $\le$ ), sonsuz uç açık: aralık $(-\infty,\,3]$ .

Sonuç:

x \le 3

, yani

x\in(-\infty,\,3]

Örnek

Soru

$\dfrac{x-2}{3} < \dfrac{x+1}{2}$ eşitsizliğini çözünüz.

Paydaların EKOK'u $6$ . İki tarafı pozitif $6$ ile çarp (yön değişmez): $2(x-2) < 3(x+1)$ .
Parantezleri aç: $2x-4 < 3x+3$ .
Bilinmeyenleri bir tarafta topla: $2x-3x < 3+4 \Rightarrow -x < 7$ .
İki tarafı $-1$ ile çarp, yön değişir: $x > -7$ .

Sonuç:

x > -7

, yani

x\in(-7,\,\infty)

Örnek

Soru

$2 < 5-x \le 8$ çift eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

Üç taraftan da $5$ çıkar: $2-5 < -x \le 8-5 \Rightarrow -3 < -x \le 3$ .
Üç tarafı da $-1$ ile çarp, yön değişir: $3 > x \ge -3$ , yani $-3 \le x < 3$ .
Bu aralıktaki tam sayılar: $-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$ .
Toplam: $-3-2-1+0+1+2=-3$ .

Sonuç:

-3

Örnek

Soru

Bir sayının $3$ katının $4$ eksiği, aynı sayının $2$ fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?

Sayıya $x$ diyelim. Cümleyi denkleme çevir: $3x-4=x+2$ .
Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa topla: $3x-x=2+4 \Rightarrow 2x=6$ .
Katsayıya böl: $x=3$ .
Doğrulama: $3$ katının $4$ eksiği $=3\cdot 3-4=5$ ; sayının $2$ fazlası $=3+2=5$ . Eşit.

Sonuç:

3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir otoparkta saatlik ücret $20$ TL'dir; ayrıca giriş için sabit $15$ TL alınır. Bir sürücü toplam $95$ TL ödediğine göre aracını kaç saat park etmiştir?

A) $3$ · B) $4$ · C) $5$ · D) $6$ · E) $7$

Toplam ücret $=$ sabit giriş $+$ saatlik ücret $\times$ saat. Saate $x$ de, denklemi kur.

Saat sayısına $x$ diyelim: $15+20x=95$ .
Sabiti at: $20x=80$ .
Katsayıya böl: $x=4$ . Çeldirici C) $5$ , sabit girişi unutup $\dfrac{95}{20}$ hesaplamaktan doğar; B doğru.

Sonuç: B)

4

Örnek

Soru

Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı $46$ 'dır. Baba, oğlunun yaşının $3$ katından $2$ yaş küçüktür. Buna göre oğlun yaşı kaçtır?

A) $10$ · B) $11$ · C) $12$ · D) $13$ · E) $14$

Oğlun yaşı $x$ ise babanın yaşı $3x-2$ . İkisinin toplamı $46$ .

Oğul $x$ , baba $3x-2$ .
Toplam: $x+(3x-2)=46\Rightarrow 4x-2=46$ .
$4x=48\Rightarrow x=12$ .
Doğrulama: baba $3\cdot 12-2=34$ ; $34+12=46$ . Çeldirici A) $10$ , denklemi $4x+2=46$ kurup işaret hatasından gelir; C doğru.

Sonuç: C)

12

Örnek

Soru

Bir asansörün taşıyabileceği toplam ağırlık en fazla $600$ kg'dır. İçinde $90$ kg'lık bir kasa varken, ortalama $75$ kg olan kişilerden en fazla kaçı asansöre binebilir?

A) $5$ · B) $6$ · C) $7$ · D) $8$ · E) $9$

Kişi sayısı $x$ ise $90+75x\le 600$ eşitsizliğini kur ve $x$ için en büyük tam sayıyı bul.

Kişi sayısı $x$ : $90+75x\le 600$ .
Sabiti at: $75x\le 510$ .
Böl: $x\le 6{,}8$ .
En fazla tam sayı $6$ . Çeldirici C) $7$ , $6{,}8$ 'i yukarı yuvarlamaktan; B doğru.

Sonuç: B)

6

Örnek

Soru

$3x-2 < 5x+8$ eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?

A) $-6$ · B) $-5$ · C) $-4$ · D) $-3$ · E) $-2$

Bilinmeyenleri bir tarafta topla; katsayı negatif çıkarsa böldüğünde yönü çevir.

Bilinmeyenleri sola, sayıları sağa: $3x-5x < 8+2\Rightarrow -2x < 10$ .
Negatif katsayıya böl, yön değişir: $x > -5$ .
$x>-5$ 'i sağlayan en küçük tam sayı $-4$ 'tür ( $-5$ dahil değil). Çeldirici B) $-5$ , ucu dahil sanmaktan; C doğru.

Sonuç: C)

-4

Örnek

Soru

Bir öğrenci sınavdan kalan süresini hesaplıyor: çözdüğü soru sayısının $4$ katının $6$ eksiği, çözmediği soru sayısının $2$ katına eşit. Sınavda toplam $30$ soru olduğuna göre öğrenci kaç soru çözmüştür?

A) $9$ · B) $10$ · C) $11$ · D) $12$ · E) $13$

Çözülen soru $x$ ise çözülmeyen $30-x$ . Cümleyi denkleme çevir.

Çözülen $x$ , çözülmeyen $30-x$ .
Denklem: $4x-6=2(30-x)$ .
Dağıt: $4x-6=60-2x$ .
Topla: $6x=66\Rightarrow x=11$ .
Doğrulama: çözülen $11$ , çözülmeyen $19$ ; $4\cdot 11-6=38$ ve $2\cdot 19=38$ . Eşit.

Sonuç: C)

11

Örnek

Soru

$-3 \le 2x-1 < 7$ çift eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

A) $4$ · B) $5$ · C) $6$ · D) $7$ · E) $8$

Üç bölgeye de aynı işlemi uygula; $x$ 'i ortada yalnız bırak, sonra uçların dahil/hariç durumuna dikkat et.

Üç tarafa $+1$ ekle: $-2\le 2x < 8$ .
Üç tarafı $2$ 'ye böl: $-1\le x < 4$ .
Tam sayılar: $-1,\,0,\,1,\,2,\,3$ (sağ uç $4$ dahil değil).
Toplam: $-1+0+1+2+3=5$ . Çeldirici C) $6$ , sağ uç $4$ 'ü dahil sanmaktan; B doğru.

Sonuç: B)

5

Sık Yapılan Hatalar

Yön kuralını unutmak (en kritik hata): Eşitsizliği negatif bir sayıyla çarpıp böldüğünde yönü çevirmemek. $-2x > 6$ sonucu $x > -3$ değil, $x < -3$ 'tür.
Aralıkta kapalı/açık ucu karıştırmak: $x \le 5$ için sağ uç kapalıdır $(-\infty,\,5]$ ; $x < 5$ için açıktır $(-\infty,\,5)$ . Sonsuz uç daima açıktır.
Parantez açarken işaret hatası: $-(x-3)$ ifadesi $-x+3$ 'tür, $-x-3$ değil. Önündeki eksi tüm terimlerin işaretini çevirir.
Terim taraf değiştirirken işaret koymamak: $3x-7=8$ 'de $-7$ sağa geçerken $+7$ olur.

Sınav İpucu

Bir eşitsizlikte bilinmeyenin önündeki katsayı negatifse, son adımda böldüğünde yönü çevirmeyi asla unutma; ÖSYM'nin en sevdiği tuzaktır. Şüphe duyarsan bulduğun aralıktan bir sayı seç, orijinal eşitsizlikte yerine koy ve sağladığını gör. Çözüm kümesi sorulduğunda cevabı aralık biçiminde yazmaya, kapalı/açık uçları doğru seçmeye dikkat et.

1. Birinci Dereceden Denklem

2. Birinci Dereceden Eşitsizlik

3. Çözüm Kümesi ve Aralık Gösterimi

4. Kesirli Denklemler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler — diğer konular