TYT Matematik · Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak Değer

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır; bu yüzden işareti ne olursa olsun sonuç daima sıfır ya da pozitiftir. Bu konu, mutlak değerin tanımından temel özelliklerine, mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerin çözümüne kadar TYT'de doğrudan karşına çıkan her şeyi kapsar.

1. Tanım

Bir $x$ gerçek sayısının mutlak değeri parçalı (cebirsel) olarak şöyle tanımlanır:

$\lvert x\rvert=\begin{cases}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{cases}$

Sözel olarak: $\lvert x\rvert$ , $x$ sayısının sayı doğrusunda sıfıra uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağından her zaman $\lvert x\rvert\ge 0$ olur. Örneğin $\lvert 5\rvert=5$ ve $\lvert -5\rvert=-(-5)=5$ .

Dikkat: $x<0$ olduğunda $\lvert x\rvert=-x$ ifadesi pozitif bir sayıdır; çünkü negatif bir sayının işaretini değiştirmek onu pozitif yapar. " $-x$ " görüp "negatif" sanmak en sık yapılan yanılgıdır.

2. Temel Özellikler

Özellik	Açıklama
$\lvert x\rvert\ge 0$	Mutlak değer asla negatif olamaz
$\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert$	Zıt işaretli sayıların mutlak değeri eşittir
$\lvert a\cdot b\rvert=\lvert a\rvert\cdot\lvert b\rvert$	Çarpımın mutlak değeri = mutlak değerlerin çarpımı
$\lvert a-b\rvert=\lvert b-a\rvert$	İki sayı arasındaki uzaklık simetriktir

Ayrıca $\lvert x\rvert=0$ olması için tek koşul $x=0$ olmasıdır.

3. Mutlak Değerli Denklem

Temel kural: $a\ge 0$ olmak üzere

$\lvert x\rvert=a \;\Rightarrow\; x=a \ \text{veya}\ x=-a$

Yani mutlak değeri $a$ olan iki sayı vardır: $+a$ ve $-a$ . Genel olarak içerideki ifade $f(x)$ ise:

$\lvert f(x)\rvert=a \;\Rightarrow\; f(x)=a \ \text{veya}\ f(x)=-a$

Kısaca $f(x)=\pm a$ yazılır ve her iki denklem ayrı ayrı çözülür.

Önemli: Sağ taraf negatif ise ( $a<0$ ) denklemin çözümü yoktur; çünkü mutlak değer negatif bir sonuca eşit olamaz.

4. Mutlak Değerli Eşitsizlik

İki temel yapı vardır ve birbirine karıştırılmamalıdır:

$\lvert x\rvert < a \;\Rightarrow\; -a < x < a \quad(\text{tek aralık, "arada"})$

$\lvert x\rvert > a \;\Rightarrow\; x < -a \ \text{veya}\ x > a \quad(\text{iki ayrı aralık, "dışında"})$

Buradaki $a$ pozitif kabul edilir. $\le$ ve $\ge$ durumlarında uç noktalar çözüme dâhil edilir (eşitlik korunur).

Örnek

Soru

$\lvert -5\rvert$ ve $\lvert 3-7\rvert$ değerlerini hesaplayınız.

$\lvert -5\rvert$ : $-5<0$ olduğundan $\lvert -5\rvert=-(-5)=5$ .
$\lvert 3-7\rvert=\lvert -4\rvert$ : $-4<0$ olduğundan $\lvert -4\rvert=4$ .

Sonuç:

\lvert -5\rvert=5

\lvert 3-7\rvert=4

Örnek

Soru

$\lvert 2x-4\rvert=6$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

İçerideki ifadeyi $\pm 6$ 'ya eşitle: $2x-4=6$ veya $2x-4=-6$ . İki denklemi ayrı çöz.

Kuralı uygula: $2x-4=6$ veya $2x-4=-6$ .
Birinci denklem: $2x=10 \Rightarrow x=5$ .
İkinci denklem: $2x=-2 \Rightarrow x=-1$ .

Sonuç:

x=5

veya

x=-1

; yani çözüm kümesi

\{-1,\,5\}

Örnek

Soru

$\lvert x-1\rvert < 3$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerlerini bulunuz.

"Arada" kuralını uygula: $-3 < x-1 < 3$ .
Her tarafa $1$ ekle: $-3+1 < x < 3+1$ .
Sonuç: $-2 < x < 4$ .

Sonuç:

-2 < x < 4

, yani

x\in(-2,\,4)

Örnek

Soru

$\lvert x+2\rvert \ge 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

"Dışında" yapısı: $\lvert f(x)\rvert\ge a$ ise $f(x)\ge a$ veya $f(x)\le -a$ . İki aralığı ayrı yaz.

"Dışında" kuralını uygula: $x+2\ge 5$ veya $x+2\le -5$ .
Birinci durum: $x\ge 3$ .
İkinci durum: $x\le -7$ .

Sonuç:

x\ge 3

veya

x\le -7

; yani

x\in(-\infty,\,-7]\cup[3,\,\infty)

Örnek

Soru

$\lvert 3x\rvert=12$ denklemini çözünüz.

$\lvert 3x\rvert=12 \Rightarrow 3x=12$ veya $3x=-12$ .
Birinci denklem: $x=4$ .
İkinci denklem: $x=-4$ .

Sonuç:

x=\pm 4

, yani çözüm kümesi

\{-4,\,4\}

Örnek

Soru

$\lvert x\rvert=-3$ denkleminin çözümü var mıdır?

Mutlak değer her zaman $\lvert x\rvert\ge 0$ 'dır; yani sonucu asla negatif olamaz.
Sağ taraf $-3<0$ olduğundan eşitlik hiçbir $x$ için sağlanamaz.

Sonuç: Çözüm yoktur; çözüm kümesi boş kümedir (

\varnothing

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\lvert -3\rvert + \lvert 2-9\rvert - \lvert -4\rvert$ işleminin sonucu kaçtır?

Her terimi ayrı ayrı hesapla: $\lvert -3\rvert=3$ .
$\lvert 2-9\rvert=\lvert -7\rvert=7$ .
$\lvert -4\rvert=4$ .
Yerine yaz: $3+7-4=6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$\lvert x-3\rvert=2x$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Sağ taraf bir mutlak değere eşit olduğundan $2x\ge 0$ , yani $x\ge 0$ olmalıdır.
$x-3=2x$ veya $x-3=-2x$ yaz.
Birinci denklem: $x-3=2x \Rightarrow -3=x$ . Bu kök $x\ge 0$ koşulunu sağlamaz, elenir.
İkinci denklem: $x-3=-2x \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1$ . Bu kök koşulu sağlar.
Kontrol: $\lvert 1-3\rvert=2$ ve $2x=2$ ; eşitlik sağlanır.

Sonuç:

x=1

, yani çözüm kümesi

\{1\}

Örnek

Soru

$\lvert 2x-1\rvert \le 5$ eşitsizliğini sağlayan tam sayı $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

"Arada" kuralını uygula: $-5 \le 2x-1 \le 5$ .
Her tarafa $1$ ekle: $-4 \le 2x \le 6$ .
Her tarafı $2$ 'ye böl: $-2 \le x \le 3$ .
Tam sayılar: $-2,-1,0,1,2,3$ . Toplam: $-2-1+0+1+2+3=3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$2 < x < 5$ olmak üzere $\lvert x-2\rvert + \lvert x-5\rvert$ ifadesinin değeri nedir?

Verilen aralıkta $x-2$ ile $x-5$ ifadelerinin işaretlerini ayrı ayrı belirle.

$2 < x$ olduğundan $x-2>0$ , dolayısıyla $\lvert x-2\rvert=x-2$ .
$x < 5$ olduğundan $x-5<0$ , dolayısıyla $\lvert x-5\rvert=-(x-5)=5-x$ .
Topla: $(x-2)+(5-x)=3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$\lvert x-4\rvert = x-4$ eşitliğini sağlayan $x$ değerlerinin çözüm kümesini bulunuz.

$\lvert a\rvert=a$ eşitliği yalnızca $a\ge 0$ olduğunda sağlanır.
Burada $a=x-4$ olduğundan $x-4\ge 0$ olmalıdır.
Buradan $x\ge 4$ bulunur.

Sonuç:

x\ge 4

, yani

x\in[4,\,\infty)

Örnek

Soru

$\lvert 3x+1\rvert = \lvert x-5\rvert$ denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

İki mutlak değer eşitse, içler ya eşittir ya da zıt işaretlidir: $3x+1=x-5$ veya $3x+1=-(x-5)$ .

Birinci durum: $3x+1=x-5 \Rightarrow 2x=-6 \Rightarrow x=-3$ .
İkinci durum: $3x+1=-(x-5) \Rightarrow 3x+1=-x+5 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1$ .
Kontrol $x=-3$ : $\lvert -8\rvert=8$ ve $\lvert -8\rvert=8$ ; sağlanır.
Kontrol $x=1$ : $\lvert 4\rvert=4$ ve $\lvert -4\rvert=4$ ; sağlanır.
Köklerin toplamı: $-3+1=-2$ .

Sonuç: Kökler

-3

1

; toplamları

-2

Örnek

Soru

$2 < \lvert x-1\rvert < 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Eşitsizliği iki parçaya ayır: $\lvert x-1\rvert < 5$ ve $\lvert x-1\rvert > 2$ .
$\lvert x-1\rvert < 5$ ("arada"): $-5 < x-1 < 5 \Rightarrow -4 < x < 6$ .
$\lvert x-1\rvert > 2$ ("dışında"): $x-1 > 2$ veya $x-1 < -2$ , yani $x>3$ veya $x<-1$ .
İki sonucun kesişimini al: $-4 < x < -1$ veya $3 < x < 6$ .

Sonuç:

x\in(-4,\,-1)\cup(3,\,6)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir su deposunun ideal sıcaklığı $20\,^{\circ}\text{C}$ 'dir. Sistem, ölçülen sıcaklık $T$ için $\lvert T-20\rvert > 4$ olduğunda alarm veriyor. Buna göre aşağıdaki sıcaklıklardan hangisinde alarm çalmaz?

A) $14$ · B) $15$ · C) $23$ · D) $25$ · E) $26$

Alarmın çalmaması için $\lvert T-20\rvert\le 4$ , yani $T$ değeri $16$ ile $24$ arasında (uçlar dahil) olmalı.

Alarm çalmaması koşulu: $\lvert T-20\rvert\le 4$ .
"Arada" yapısı: $-4\le T-20\le 4\Rightarrow 16\le T\le 24$ .
Şıkları kontrol et: $14,\,15$ küçük; $25,\,26$ büyük. Yalnız $23$ aralıkta.

Sonuç: C)

23

Örnek

Soru

Bir fabrikada üretilen vidaların uzunluğu $L$ mm olup, kalite kontrolü için $\lvert L-50\rvert\le 2$ koşulu aranır. Bu koşulu sağlayan tam sayı uzunlukların sayısı kaçtır?

A) $3$ · B) $4$ · C) $5$ · D) $6$ · E) $7$

"Arada" yapısı uçlar dahil: $48\le L\le 52$ . Tam sayıları say.

$\lvert L-50\rvert\le 2\Rightarrow -2\le L-50\le 2$ .
Her tarafa $50$ ekle: $48\le L\le 52$ .
Tam sayılar: $48,\,49,\,50,\,51,\,52$ → $5$ adet (uçlar dahil). Çeldirici A) $3$ , uçları hariç tutmaktan; C doğru.

Sonuç: C)

5

Örnek

Soru

$\lvert 3x-2\rvert=\lvert x+4\rvert$ denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

A) $\dfrac{5}{2}$ · B) $3$ · C) $\dfrac{7}{2}$ · D) $4$ · E) $\dfrac{9}{2}$

İki mutlak değer eşitse içler ya eşittir ya da zıt işaretlidir: $3x-2=x+4$ veya $3x-2=-(x+4)$ .

Birinci durum: $3x-2=x+4\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$ .
İkinci durum: $3x-2=-(x+4)\Rightarrow 3x-2=-x-4\Rightarrow 4x=-2\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$ .
Köklerin toplamı: $3+\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{2}$ .

Sonuç: A)

\dfrac{5}{2}

Örnek

Soru

$\lvert 2x-6\rvert=\lvert x-1\rvert$ denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?

A) $\dfrac{35}{3}$ · B) $7$ · C) $5$ · D) $\dfrac{7}{3}$ · E) $-7$

İki mutlak değer eşitse: $2x-6=x-1$ veya $2x-6=-(x-1)$ . İki kökü ayrı ayrı bul, sonra çarp.

Birinci durum: $2x-6=x-1\Rightarrow x=5$ .
İkinci durum: $2x-6=-(x-1)\Rightarrow 2x-6=-x+1\Rightarrow 3x=7\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}$ .
Çarpım: $5\cdot\dfrac{7}{3}=\dfrac{35}{3}$ .

Sonuç: A)

\dfrac{35}{3}

Örnek

Soru

$1 < x < 4$ olmak üzere $\lvert x-1\rvert+\lvert x-4\rvert$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) $2x-5$ · B) $5-2x$ · C) $3$ · D) $5$ · E) $2x+5$

Verilen aralıkta $x-1$ pozitif, $x-4$ negatiftir. Her mutlak değeri işaretine göre aç.

$1<x$ olduğundan $x-1>0$ : $\lvert x-1\rvert=x-1$ .
$x<4$ olduğundan $x-4<0$ : $\lvert x-4\rvert=-(x-4)=4-x$ .
Topla: $(x-1)+(4-x)=3$ . Çeldirici A) $2x-5$ , ikinci mutlak değeri de pozitif açmaktan; C doğru.

Sonuç: C)

3

Örnek

Soru

$\lvert x-2\rvert\le 3$ eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

A) $10$ · B) $12$ · C) $14$ · D) $16$ · E) $18$

"Arada" yapısı, uçlar dahil ( $\le$ ): $-3\le x-2\le 3$ . Aralıktaki tam sayıları topla.

$\lvert x-2\rvert\le 3\Rightarrow -3\le x-2\le 3$ .
Her tarafa $2$ ekle: $-1\le x\le 5$ .
Tam sayılar: $-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5$ .
Toplam: $(-1+1)+(0)+2+3+4+5=14$ . Çeldirici E) $18$ , sol uç $-1$ 'i atlayıp $0$ 'dan başlamaktan; C doğru.

Sonuç: C)

14

Sık Yapılan Hatalar

Tek kök almak: $\lvert x\rvert=a$ denkleminde yalnızca $x=a$ yazıp $x=-a$ kökünü unutmak. Mutlak değerli denklemde (sağ taraf pozitifse) iki kök vardır: $\pm a$ .
Eşitsizlik yapılarını karıştırmak: $\lvert x\rvert < a$ ("arada", tek aralık $-a<x<a$ ) ile $\lvert x\rvert > a$ ("dışında", iki ayrı aralık) çözümlerini birbirinin yerine kullanmak.
Çözümsüzlüğü görmemek: $\lvert x\rvert=$ (negatif sayı) biçimindeki denklemin çözümsüz olduğunu fark etmeyip cebirsel işlem yapmaya çalışmak.

Sınav İpucu

İki yapıyı tek cümleyle hatırla: $\lvert f(x)\rvert < a$ demek $f(x)$ değerinin $-a$ ile $a$ arasında kalması ( $-a<f(x)<a$ ); $\lvert f(x)\rvert > a$ demek ise $f(x)$ değerinin bu aralığın dışında olması (iki ayrı aralık) demektir. Eşitsizliğe çözmeden önce "arada mı, dışında mı?" diye sor; yön doğru seçilince işlemler kendiliğinden gelir.

1. Tanım

2. Temel Özellikler

3. Mutlak Değerli Denklem

4. Mutlak Değerli Eşitsizlik

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler — diğer konular