10. Sınıf · Analitik İnceleme
Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme
Bir doğru parçasının orta noktasını ya da onu belli bir oranda bölen noktayı, uçların koordinatlarından doğrudan bulabiliriz. Bu derste orta nokta formülünü, bir parçayı verilen oranda içten bölen noktanın koordinatlarını ve bunların problemlerde kullanımını öğreneceğiz. Bu araçlar; ağırlık merkezi, paralelkenar köşesi gibi pek çok analitik soruda işine yarar. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Orta Nokta
A(x_1,y_1) ve B(x_2,y_2) uçlu doğru parçasının orta noktası, koordinatların ortalamasıdır:
M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)
A(2,1) ile B(8,7) doğru parçasının orta noktası M(5,4). Her koordinat, uçların ortalamasıdır: \dfrac{2+8}{2}=5, \dfrac{1+7}{2}=4. M parçayı iki eşit kısma böler.A(2,\ 3) ve B(8,\ 7) noktalarının orta noktasını bulunuz.
x:\dfrac{2+8}{2}=5;y:\dfrac{3+7}{2}=5.
M(5,\ 5).2. Uç Noktayı Geri Bulma
Orta nokta ve bir uç biliniyorsa, diğer uç orta noktanın "iki katından" bulunur: x_2=2x_M-x_1, \;y_2=2y_M-y_1.
A(1,\ 4) ucu ve orta nokta M(3,\ 2) biliniyor. Diğer uç B'yi bulunuz.
Orta nokta uçların ortalaması olduğundan, B=2M-A ilişkisini koordinat koordinat uygula.
x_B=2\cdot 3-1=5.y_B=2\cdot 2-4=0.
B(5,\ 0).3. Belli Oranda İçten Bölme
A'dan B'ye doğru parçayı k:l oranında içten bölen P noktası:
P=\left(\dfrac{l\,x_1+k\,x_2}{k+l},\ \dfrac{l\,y_1+k\,y_2}{k+l}\right)
(Orta nokta, bu formülün k:l=1:1 özel hâlidir.)
Dikkat: A'ya yakın uca, ona uzaktaki oran terimi (l) ağırlık olarak gelir; bu yüzden formülde ağırlıklar çapraz yazılır. k:l küçükse P noktası A'ya yakın düşer.
A(2,1) ile B(8,7) parçasını A'dan itibaren 1:2 oranında bölen P(4,3). |AP|:|PB|=1:2 olduğundan P, A'ya yakındır; kısa parça (turuncu) bir birim, uzun parça iki birimdir.A(2,\ 1) ile B(8,\ 7) arasını, A'dan itibaren 1:2 oranında bölen noktayı bulunuz.
k=1,\ l=2,k+l=3.x_P=\dfrac{2\cdot 2+1\cdot 8}{3}=\dfrac{4+8}{3}=4.y_P=\dfrac{2\cdot 1+1\cdot 7}{3}=\dfrac{2+7}{3}=3.
P(4,\ 3).Çözümlü Örnekler
A(-2,\ 5) ile B(6,\ -1) orta noktasını bulunuz.
x:\dfrac{-2+6}{2}=2;y:\dfrac{5+(-1)}{2}=2.
M(2,\ 2).ABCD paralelkenarında köşegenler orta noktada kesişir. A(1,1), C(7,5) ise köşegenlerin kesim noktasını bulunuz.
- Kesim noktası
ACköşegeninin orta noktasıdır. \left(\dfrac{1+7}{2},\dfrac{1+5}{2}\right)=(4,\ 3).
(4,\ 3).Orta noktası M(0,\ 0) olan bir parçanın bir ucu A(-3,\ 4) ise diğer uç nedir?
B=2M-A=(0-(-3),\ 0-4)=(3,\ -4).
B(3,\ -4).A(0,\ 0) ile B(9,\ 6) arasını A'dan itibaren 2:1 oranında bölen noktayı bulunuz.
k=2,\ l=1,k+l=3.x=\dfrac{1\cdot 0+2\cdot 9}{3}=6,\;y=\dfrac{1\cdot 0+2\cdot 6}{3}=4.
(6,\ 4).Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
A(4,\ 2) ile B(10,\ 8) orta noktası nedir?
\left(\dfrac{4+10}{2},\dfrac{2+8}{2}\right)=(7,\ 5).
(7,\ 5).Orta noktası (2,\ 3) olan parçanın bir ucu (0,\ 1) ise diğer uç nedir?
B=(2\cdot2-0,\ 2\cdot3-1)=(4,\ 5).
(4,\ 5).A(1,\ 2) ile B(7,\ 2) orta noktası nedir?
\left(\dfrac{1+7}{2},\ 2\right)=(4,\ 2).
(4,\ 2).A(0,0) ile B(6,9) arasını A'dan 1:2 bölen nokta nedir?
x=\dfrac{2\cdot0+1\cdot6}{3}=2,y=\dfrac{2\cdot0+1\cdot9}{3}=3.
(2,\ 3).A(-4,\ 0) ile B(4,\ 8) orta noktası nedir?
\left(0,\ 4\right).
(0,\ 4).A(1,\ 5) ile B(9,\ 1) arasını A'dan itibaren 3:1 oranında bölen noktayı bulunuz.
k:l=3:1, yani k=3,\ l=1. Ağırlıkları çapraz yaz: A'nın koordinatına l=1, B'ninkine k=3 çarpan gelir.
k=3,\ l=1,k+l=4.x=\dfrac{1\cdot 1+3\cdot 9}{4}=\dfrac{1+27}{4}=7.y=\dfrac{1\cdot 5+3\cdot 1}{4}=\dfrac{5+3}{4}=2.
(7,\ 2).A(-1,\ 2), B(3,\ 4) ve C(7,\ 0) bir üçgenin köşeleridir. A'ya ait kenarortayın ayağı (yani BC kenarının orta noktası) D'yi bulunuz.
Kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir. Burada A köşesinin karşı kenarı BC'dir; ayak, BC'nin orta noktasıdır.
D,BC'nin orta noktasıdır:\left(\dfrac{3+7}{2},\ \dfrac{4+0}{2}\right).D=(5,\ 2).
D(5,\ 2).Köşeleri A(2,\ 1), B(6,\ 3), C(4,\ 7) olan üçgenin ağırlık merkezini bulunuz.
Ağırlık merkezi G, üç köşenin koordinat ortalamasıdır: G=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).
x_G=\dfrac{2+6+4}{3}=\dfrac{12}{3}=4.y_G=\dfrac{1+3+7}{3}=\dfrac{11}{3}.
G\left(4,\ \dfrac{11}{3}\right).ABCD bir paralelkenardır ve A(1,\ 2), B(5,\ 3), C(7,\ 8) veriliyor. Dördüncü köşe D'yi bulunuz.
Paralelkenarda köşegenler (AC ve BD) birbirini ortalar. Yani AC'nin orta noktası ile BD'nin orta noktası aynıdır. Önce AC'nin orta noktasını bul, sonra D=2M-B uygula.
ACköşegeninin orta noktası:M=\left(\dfrac{1+7}{2},\ \dfrac{2+8}{2}\right)=(4,\ 5).Maynı zamandaBD'nin de orta noktasıdır:D=2M-B.x_D=2\cdot 4-5=3,\;y_D=2\cdot 5-3=7.
D(3,\ 7).Sık Yapılan Hatalar
- Orta noktada toplamayı ikiye bölmeyi unutmak.
M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right); yalnız toplamak yanlıştır. - Uç bulurken yanlış işaret.
B=2M-A; çıkarmayı koordinat koordinat yap. - Oranlı bölmede ağırlıkları ters koymak.
k:loranındaA'ya yakın ucal,B'ye yakın ucakağırlığı düşer (çapraz). - İçten/dıştan bölmeyi karıştırmak. Bu derste içten bölme; nokta parçanın üzerindedir.
- Ağırlık merkezinde ikiye bölmek. Üçgenin ağırlık merkezinde koordinatlar üçe bölünür (
\div 3), orta noktadaki gibi ikiye değil.
Not: Orta nokta, oranlı bölmenin
1:1hâlidir. Paralelkenar/köşegen sorularında "köşegenler birbirini ortalar" bilgisi orta nokta formülüyle hızla çözülür. Üçgenin ağırlık merkezi ise üç köşenin ortalamasıdır.