10. Sınıf · Analitik İnceleme

Koordinat Düzleminde Doğru: Eğim ve Denklem

~8 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Analitik İnceleme temasını, koordinat düzlemindeki doğruları çözümleyerek tamamlıyoruz. Bu derste bir doğrunun eğimini iki noktadan bulmayı, doğru denklemini ( $y=mx+n$ ) yazmayı ve iki doğrunun paralel ( $m_1=m_2$ ) ya da dik ( $m_1\cdot m_2=-1$ ) olma koşullarını öğreneceğiz. Doğru denklemi; geometrinin cebirle konuştuğu yerdir. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Eğim

Bir doğrunun eğimi $m$ , üzerindeki iki noktadan dikey değişimin yatay değişime oranıdır:

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

Şekil 1 —

A(1,2)

'den

B(4,8)

'e giden doğru.

\Delta x=3

\Delta y=6

; eğim

m=\dfrac{6}{3}=2

Örnek

Soru

$A(1,\ 3)$ ve $B(5,\ 11)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

$m=\dfrac{11-3}{5-1}=\dfrac{8}{4}=2$ .

Sonuç:

m=2

2. Doğru Denklemi

Eğimi $m$ ve $y$ kesişimi $n$ olan doğru: $y=mx+n$ . Bir nokta ve eğim biliniyorsa, noktayı yerine koyarak $n$ bulunur.

Örnek

Soru

Eğimi $3$ olan ve $(2,\ 1)$ noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

$y=3x+n$ yaz, noktayı yerine koyup $n$ 'i çek.

$y=3x+n$ ; $(2,1)$ : $1=3\cdot 2+n=6+n$ .
$n=-5$ .

Sonuç:

y=3x-5

3. Paralel ve Dik Doğrular

Paralel doğruların eğimleri eşittir: $m_1=m_2$ .
Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ 'dir: $m_1\cdot m_2=-1$ (biri diğerinin ters işaretli tersidir).

Örnek

Soru

$y=2x+5$ doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?

Verilen eğim $m_1=2$ . Dik doğru için $m_1\cdot m_2=-1$ .
$2\cdot m_2=-1\Rightarrow m_2=-\dfrac{1}{2}$ .

Sonuç:

-\dfrac{1}{2}

4. Eksen Kesişimleri

$y$ ekseni: $x=0$ → $(0,\ n)$ .
$x$ ekseni: $y=0$ → $x=-\dfrac{n}{m}$ .

Örnek

Soru

$y=2x-6$ doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

$y$ kesişimi: $x=0\Rightarrow y=-6$ → $(0,-6)$ .
$x$ kesişimi: $0=2x-6\Rightarrow x=3$ → $(3,0)$ .

Sonuç:

(0,-6)

(3,0)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A(-1,\ 2)$ ve $B(3,\ 10)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Eğim: $m=\dfrac{10-2}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2$ .
$y=2x+n$ ; $A(-1,2)$ : $2=2(-1)+n\Rightarrow n=4$ .

Sonuç:

y=2x+4

Örnek

Soru

$y=3x-1$ doğrusuna paralel ve $(0,\ 5)$ 'ten geçen doğrunun denklemi nedir?

Paralel → aynı eğim $m=3$ .
$(0,5)$ doğrudan $y$ kesişimi: $n=5$ .

Sonuç:

y=3x+5

Örnek

Soru

$(4,\ 1)$ noktasından geçen ve $y=\dfrac{1}{2}x+3$ doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz.

Dik eğim: $m_1=\dfrac12$ , $\;m_2=-2$ ( $\dfrac12\cdot(-2)=-1$ ).
$y=-2x+n$ ; $(4,1)$ : $1=-8+n\Rightarrow n=9$ .

Sonuç:

y=-2x+9

Örnek

Soru

$y=mx+2$ doğrusu $(3,\ 8)$ 'den geçiyorsa $m$ kaçtır?

$8=3m+2\Rightarrow 3m=6\Rightarrow m=2$ .

Sonuç:

m=2

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A(0,\ 1)$ ve $B(2,\ 7)$ doğrusunun eğimi kaçtır?

$m=\dfrac{7-1}{2-0}=3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

Eğimi $-2$ olan ve $(1,\ 4)$ 'ten geçen doğrunun denklemi nedir?

$y=-2x+n$ ; $4=-2+n\Rightarrow n=6$ .

Sonuç:

y=-2x+6

Örnek

Soru

$y=4x-7$ doğrusuna dik bir doğrunun eğimi kaçtır?

$4\cdot m_2=-1\Rightarrow m_2=-\dfrac14$ .

Sonuç:

-\dfrac14

Örnek

Soru

$y=5x+10$ doğrusunun $x$ eksenini kestiği nokta nedir?

$0=5x+10\Rightarrow x=-2$ .

Sonuç:

(-2,\ 0)

Örnek

Soru

$y=2x+1$ ile $y=2x-3$ doğruları için ne söylenir?

Eğimleri eşit ( $2=2$ ), kesişimleri farklı → paraleldirler.

Sonuç: Paraleldirler.

Örnek

Soru

$2x-y+4=0$ doğrusunun eğimini ve $y$ eksenini kestiği noktayı bulunuz.

Doğruyu $y=mx+n$ biçimine getir: $y$ 'yi yalnız bırak. O zaman $m$ eğim, $n$ ise $y$ kesişimidir.

$y$ 'yi yalnız bırak: $y=2x+4$ .
Eğim $m=2$ ; $y$ kesişimi $x=0$ için $y=4$ , yani $(0,\ 4)$ .

Sonuç:

m=2

\;(0,\ 4)

Örnek

Soru

$(2,\ 5)$ noktasından geçen ve $y=\dfrac{1}{3}x+2$ doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz.

Dik doğrunun eğimi, verilen eğimin ters işaretli tersidir: $m_2=-\dfrac{1}{m_1}$ . Sonra noktayı yerine koyup $n$ 'i bul.

$m_1=\dfrac13\Rightarrow m_2=-3$ (çünkü $\dfrac13\cdot(-3)=-1$ ).
$y=-3x+n$ ; $(2,5)$ : $5=-3\cdot 2+n=-6+n\Rightarrow n=11$ .

Sonuç:

y=-3x+11

Örnek

Soru

$A(1,\ 2)$ , $B(3,\ 6)$ ve $C(5,\ k)$ noktaları aynı doğru üzerindeyse (doğrusal) $k$ kaçtır?

Üç nokta aynı doğru üzerindeyse, herhangi iki çiftin eğimi eşittir: $m_{AB}=m_{BC}$ .

$m_{AB}=\dfrac{6-2}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$ .
$m_{BC}=\dfrac{k-6}{5-3}=\dfrac{k-6}{2}$ .
Eşitle: $\dfrac{k-6}{2}=2\Rightarrow k-6=4\Rightarrow k=10$ .

Sonuç:

k=10

Örnek

Soru

$y=mx-3$ doğrusu, $y=2x+1$ doğrusuna paraleldir ve $x$ eksenini $(a,\ 0)$ noktasında keser. $m+a$ toplamı kaçtır?

Önce paralellikten $m$ 'i bul. Sonra $y=0$ koyarak $x$ kesişimini ( $a$ ) hesapla; en son ikisini topla.

Paralel → eğimler eşit: $m=2$ . Doğru $y=2x-3$ olur.
$x$ kesişimi: $0=2x-3\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$ , yani $a=\dfrac{3}{2}$ .
$m+a=2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}$ .

Sonuç:

\dfrac{7}{2}

Sık Yapılan Hatalar

Eğimde pay-paydayı ters yazmak. Eğim $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 'tir; $y$ farkı paya gelir.
Dik doğru eğimini yalnız işaret değiştirerek bulmak. Dik eğim ters işaretli terstir: $m_2=-\dfrac{1}{m_1}$ , sadece $-m_1$ değil.
$y$ kesişimini eğimle karıştırmak. $y=mx+n$ 'de $m$ eğim, $n$ kesişimdir.
Düşey doğruyu unutmak. $x=a$ biçimindeki düşey doğrunun eğimi tanımsızdır ( $\Delta x=0$ ). Yatay doğru $y=b$ 'nin eğimi ise $0$ 'dır.
Genel formdan eğimi yanlış okumak. $ax+by+c=0$ doğrusunda eğim doğrudan $a$ değil, $m=-\dfrac{a}{b}$ 'dir. Emin değilsen $y$ 'yi yalnız bırak.

Not: Doğru sorularında sıralama: eğim → denklem → koşul. Paralelde eğim aynı, dikte eğimler çarpımı $-1$ . Bir nokta + eğim varsa denklem tek adımda çıkar. Üç nokta doğrusal ise ikişerli eğimleri eşittir.

1. Eğim

2. Doğru Denklemi

3. Paralel ve Dik Doğrular

4. Eksen Kesişimleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Analitik İnceleme — diğer konular