TYT Matematik · Kümeler ve Mantık

Kümeler

~9 dk okumaZorluk: Orta21 çözümlü soru

Kümeler, TYT'nin en temel ve en sık çıkan konularından biridir; doğru kurulduğunda neredeyse garanti puandır. Bu derste küme kavramından işlemlere ( $\cup$ , $\cap$ , $\setminus$ , tümleyen) ve eleman sayısı formülüne kadar her şeyi, Venn şemaları ve çözümlü örneklerle adım adım kuruyoruz.

1. Temel Kavramlar

Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur; bu nesnelerin her birine eleman denir.

Kavram	Gösterim	Anlamı
Eleman olma	$a\in A$	$a$ , $A$ kümesinin elemanıdır
Eleman olmama	$a\notin A$	$a$ , $A$ kümesinin elemanı değildir
Alt küme	$A\subset B$	$A$ 'nın her elemanı $B$ 'dedir
Boş küme	$\varnothing$	Hiç elemanı olmayan küme
Evrensel küme	$E$	İlgili tüm elemanları kapsayan küme
Eleman sayısı	$s(A)$	$A$ kümesindeki eleman sayısı

Örneğin $A=\{1,2,3\}$ kümesi için $2\in A$ , $5\notin A$ ve $s(A)=3$ olur. Boş küme her kümenin alt kümesidir: $\varnothing\subset A$ .

2. Kümelerde İşlemler

Birleşim — $A\cup B$

$A$ ya da $B$ kümelerinden en az birinde bulunan tüm elemanların kümesidir.

Şekil 1 —

A\cup B

: her iki dairenin tamamı taranmıştır (en az birine ait olan elemanlar).

Kesişim — $A\cap B$

$A$ ve $B$ kümelerinin ikisinde de bulunan ortak elemanların kümesidir.

Şekil 2 —

A\cap B

: yalnız ortak (çakışan) bölge taranmıştır.

Fark — $A\setminus B$

$A$ 'da bulunup $B$ 'de bulunmayan elemanların kümesidir.

Şekil 3 —

A\setminus B

A

'nın,

B

dışında kalan kısmı taranmıştır.

Tümleyen — $A'$

Evrensel küme $E$ içinde, $A$ 'da bulunmayan elemanların kümesidir: $A'=E\setminus A$ .

3. Eleman Sayısı

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısı için temel formül:

$s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)$

Buradaki $-\,s(A\cap B)$ terimi şart: $s(A)$ ile $s(B)$ toplandığında ortak bölge iki kez sayılır, bu yüzden bir kez geri çıkarılır.

Örnek

Soru

$A=\{1,2,3\}$ ve $B=\{2,3,4\}$ kümeleri için $A\cup B$ , $A\cap B$ ve $A\setminus B$ kümelerini bulunuz.

Birleşim: İki kümedeki tüm elemanları bir kez yaz: $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ .
Kesişim: Her iki kümede de olan ortak elemanlar: $A\cap B=\{2,3\}$ .
Fark: $A$ 'da olup $B$ 'de olmayan elemanlar: $A\setminus B=\{1\}$ .

Sonuç:

A\cup B=\{1,2,3,4\}

A\cap B=\{2,3\}

A\setminus B=\{1\}

Örnek

Soru

$s(A)=20$ , $s(B)=15$ ve $s(A\cap B)=8$ ise $s(A\cup B)$ kaçtır?

$s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)$ formülünü doğrudan uygula.

Formülü yaz: $s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)$ .
Değerleri yerine koy: $s(A\cup B)=20+15-8$ .
Hesapla: $s(A\cup B)=27$ .

Sonuç:

s(A\cup B)=27

Örnek

Soru

Bir sınıftaki $30$ öğrenciden $18$ 'i matematik, $15$ 'i fizik kursuna gidiyor; $7$ 'si her iki kursa da gidiyor. Yalnızca bir kursa giden kaç öğrenci vardır?

Önce ortak bölgeyi ( $7$ ) yerleştir; ardından "yalnız matematik" ve "yalnız fizik" sayılarını ayrı ayrı bulup topla. Dikkat: soru "en az biri"ni değil, "yalnızca biri"ni soruyor.

İkisine de gidenler: $s(M\cap F)=7$ (Venn şemasının ortasına yazılır).
Yalnız matematik: $18-7=11$ .
Yalnız fizik: $15-7=8$ .
Yalnızca biri: $11+8=19$ .

Sonuç:

19

öğrenci yalnızca bir kursa gitmektedir.

Örnek

Soru

$s(A\cup B)=27$ , $s(A)=20$ ve $s(B)=15$ ise $s(A\cap B)$ kaçtır?

Aynı formülü kesişim için düzenle: $s(A\cap B)=s(A)+s(B)-s(A\cup B)$ .
Değerleri yerine koy: $s(A\cap B)=20+15-27$ .
Hesapla: $s(A\cap B)=8$ .

Sonuç:

s(A\cap B)=8

Örnek

Soru

$3$ elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?

$n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $2^{n}$ 'dir. Boş küme ve kümenin kendisi de alt küme olarak sayılır.

Kural: $n$ elemanlı kümenin $2^{n}$ alt kümesi vardır.
Burada $n=3$ olduğundan: $2^{3}=8$ .

Sonuç:

8

alt küme vardır.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$A=\{x : x,\ 12\text{'nin pozitif bölenleri}\}$ kümesi veriliyor. $A$ kümesinin eleman sayısı $s(A)$ kaçtır?

$12$ 'nin pozitif bölenlerini sırayla yaz: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$ .
$A=\{1,2,3,4,6,12\}$ olur.
Eleman sayısını say: $s(A)=6$ .

Sonuç:

s(A)=6

Örnek

Soru

$5$ elemanlı bir kümenin, $3$ elemanlı bir alt kümesi en fazla kaç farklı şekilde seçilebilir?

$n$ elemanlı kümeden $r$ elemanlı alt küme seçimi $\binom{n}{r}$ ile bulunur.
Burada $\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!\,2!}=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10$ .

Sonuç:

10

farklı alt küme.

Örnek

Soru

$E$ evrensel küme olmak üzere $s(E)=40$ , $s(A)=23$ ve $s(A')=?$ değeri sorulmaktadır. $s(A')$ kaçtır?

Tümleyenin eleman sayısı: $s(A')=s(E)-s(A)$ .
Değerleri yerine koy: $s(A')=40-23$ .
Hesapla: $s(A')=17$ .

Sonuç:

s(A')=17

Örnek

Soru

$A=\{1,2,3,4,5\}$ ve $B=\{2,4,6\}$ kümeleri için $A\setminus B$ ve $B\setminus A$ kümelerini bulup eleman sayılarının farkı $s(A\setminus B)-s(B\setminus A)$ değerini hesaplayınız.

$A\setminus B$ : $A$ 'da olup $B$ 'de olmayanlar $=\{1,3,5\}$ , yani $s(A\setminus B)=3$ .
$B\setminus A$ : $B$ 'de olup $A$ 'da olmayanlar $=\{6\}$ , yani $s(B\setminus A)=1$ .
Fark: $3-1=2$ .

Sonuç:

s(A\setminus B)-s(B\setminus A)=2

Örnek

Soru

Bir grupta herkes en az bir spor yapıyor. $25$ kişi yüzme, $20$ kişi koşu yapıyor; $8$ kişi her ikisini de yapıyor. Bu grupta toplam kaç kişi vardır?

Herkes en az birini yaptığından toplam $=s(Y\cup K)$ .
Formül: $s(Y\cup K)=s(Y)+s(K)-s(Y\cap K)$ .
Değerleri koy: $s(Y\cup K)=25+20-8=37$ .

Sonuç: Grupta

37

kişi vardır.

Örnek

Soru

$A\subset B$ olmak üzere $s(A)=6$ ve $s(B)=10$ ise $s(A\cup B)+s(A\cap B)$ toplamı kaçtır?

$A\subset B$ olduğundan $A$ 'nın tüm elemanları $B$ 'dedir.
Bu durumda $A\cup B=B$ , yani $s(A\cup B)=s(B)=10$ .
Yine $A\cap B=A$ , yani $s(A\cap B)=s(A)=6$ .
Toplam: $10+6=16$ .

Sonuç:

16

Örnek

Soru

$30$ kişilik bir sınıfta İngilizce bilenler $19$ , Almanca bilenler $12$ kişidir. Bu iki dilden hiçbirini bilmeyen $4$ kişi varsa, her iki dili de bilen kaç kişi vardır?

En az bir dil bilenler: $30-4=26$ , yani $s(\text{İ}\cup A)=26$ .
Formül: $s(\text{İ}\cup A)=s(\text{İ})+s(A)-s(\text{İ}\cap A)$ .
Yerine koy: $26=19+12-s(\text{İ}\cap A)$ , yani $26=31-s(\text{İ}\cap A)$ .
Çöz: $s(\text{İ}\cap A)=31-26=5$ .

Sonuç: Her iki dili de bilen

5

kişi vardır.

Üç kümeli problemler

Üç kümeli sorularda Venn şemasını yedi ayrık bölgeye ayırırız: yalnız $A$ , yalnız $B$ , yalnız $C$ , ikili kesişimlerin "yalnız" kısımları ve ortadaki üçlü kesişim $A\cap B\cap C$ . Doldurmaya daima en içteki ( $A\cap B\cap C$ ) bölgeden başlanır.

Şekil 4 — Üç kümeli Venn şeması. En içteki bölge

A\cap B\cap C

'tir; sayma her zaman bu bölgeden dışa doğru yapılır.

Örnek

Soru

Bir sınıftaki öğrencilerden tam olarak iki dersi sevenler $9$ , üç dersin üçünü birden sevenler $4$ kişidir. Yalnızca bir ders seven $15$ öğrenci olduğuna göre ve sınıfta bu derslerden en az birini seven herkes sayıldığında toplam kaç öğrenci sayılmıştır?

Bölgeler ayrıktır; "yalnız bir" $+$ "tam iki" $+$ "üçü birden" toplamı en az birini sevenleri verir.

Bölgeleri ayrık olarak topla: yalnız bir $=15$ , tam iki $=9$ , üçü birden $=4$ .
Toplam: $15+9+4=28$ .

Sonuç:

28

öğrenci sayılmıştır.

Örnek

Soru

$s(A\cup B\cup C)=40$ , $s(A)=22$ , $s(B)=18$ , $s(C)=15$ ve ikili kesişimler $s(A\cap B)=8$ , $s(A\cap C)=6$ , $s(B\cap C)=5$ veriliyor. Üçlü kesişim $s(A\cap B\cap C)$ kaçtır?

Üç kümeli içerme-dışarma formülünü kullan: $s(A\cup B\cup C)=\sum s-\sum s(\text{ikili})+s(\text{üçlü})$ .

Formül: $s(A\cup B\cup C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A\cap B)-s(A\cap C)-s(B\cap C)+s(A\cap B\cap C)$ .
Yerine koy: $40=22+18+15-8-6-5+x$ .
Sadeleştir: $40=55-19+x=36+x$ .
Çöz: $x=40-36=4$ .

Sonuç:

s(A\cap B\cap C)=4

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$40$ kişilik bir grupta yüzme bilen $22$ , basketbol oynayan $15$ kişi vardır. Her iki aktiviteyi de yapan $6$ kişi olduğuna göre, yalnızca birini yapan kaç kişi vardır?

A) $19$ · B) $21$ · C) $23$ · D) $25$ · E) $27$

Birleşim: $s(Y\cup B)=22+15-6=31$ .
Yalnızca yüzme: $22-6=16$ ; yalnızca basketbol: $15-6=9$ .
Yalnızca biri: $16+9=25$ (veya $31-6=25$ ).

Sonuç: D)

25

Örnek

Soru

$s(A)=12$ , $s(B)=8$ ve $s(A\cap B)=3$ olduğuna göre $s(A\cup B)$ kaçtır?

A) $15$ · B) $16$ · C) $17$ · D) $18$ · E) $20$

$s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)$ .
$12+8-3=17$ .

Sonuç: C)

17

Örnek

Soru

Evrensel küme $E$ için $s(E)=50$ 'dir. $A$ ve $B$ kümeleri için $s(A)=28$ , $s(B)=22$ verilmiştir. $E$ 'de $A$ ve $B$ 'nin hiçbirine ait olmayan $10$ eleman varsa $s(A\cap B)$ kaçtır?

A) $6$ · B) $10$ · C) $12$ · D) $14$ · E) $18$

En az birine ait olanlar: $s(A\cup B)=50-10=40$ .
$40=28+22-s(A\cap B)=50-s(A\cap B)$ .
$s(A\cap B)=10$ .

Sonuç: B)

10

Örnek

Soru

Bir kafede $50$ müşteriye yapılan ankette $30$ kişi çayı, $26$ kişi kahveyi sevdiğini söylemiştir. Ankete katılan herkesin en az birini sevdiği biliniyorsa, yalnızca çayı sevenlerin sayısı kaçtır?

A) $18$ · B) $20$ · C) $24$ · D) $26$ · E) $30$

Önce iki şeyi de sevenleri ( $s(\text{Ç}\cap K)$ ) bul; çeldirici şık ( $30$ ), "yalnızca çayı" değil "çayı sevenlerin tamamı"dır.

Herkes en az birini sevdiğinden $s(\text{Ç}\cup K)=50$ .
$50=30+26-s(\text{Ç}\cap K)\Rightarrow s(\text{Ç}\cap K)=56-50=6$ .
Yalnızca çayı sevenler: $30-6=24$ .

Sonuç: C)

24

Örnek

Soru

Bir okulda $120$ öğrenciye yapılan ankette satranç kulübüne $54$ , münazara kulübüne $48$ öğrenci üyedir. Her iki kulübe de üye olan $20$ öğrenci varsa, hiçbir kulübe üye olmayan kaç öğrenci vardır?

A) $20$ · B) $32$ · C) $38$ · D) $44$ · E) $58$

Önce en az bir kulübe üye olanların sayısını ( $s(S\cup M)$ ) bul; toplam öğrenciden çıkar. Çeldirici $82$ değil, kapsam-dışı sayıdır.

En az bir kulübe üye: $s(S\cup M)=54+48-20=82$ .
Hiçbirine üye olmayan: $120-82=38$ .

Sonuç: C)

38

Örnek

Soru

Bir spor salonunda üyeler yüzme, pilates ve koşu derslerinden en az birine yazılmıştır. Yalnız yüzmeye $12$ , yalnız pilatese $9$ , yalnız koşuya $7$ üye yazılmıştır. Tam olarak iki derse yazılan $6$ , üçüne birden yazılan $2$ üye olduğuna göre salondaki toplam üye sayısı kaçtır?

A) $30$ · B) $32$ · C) $34$ · D) $36$ · E) $40$

"En az birine yazılmış" toplam üye demektir. Bölgeleri çakışmadan topla: yalnız birer bölge $+$ tam iki bölge $+$ üçü birden.

Yalnız bir derse yazılanlar: $12+9+7=28$ .
Tam iki derse yazılanlar: $6$ . Üçüne birden: $2$ .
Bütün bölgeler ayrık olduğundan toplam: $28+6+2=36$ .

Sonuç: D)

36

Örnek

Soru

$A$ ve $B$ kümeleri için $s(A)=18$ , $s(B)=14$ ve $s(A\setminus B)=11$ veriliyor. Buna göre $s(A\cup B)$ kaçtır?

A) $21$ · B) $23$ · C) $25$ · D) $28$ · E) $32$

$s(A\setminus B)=s(A)-s(A\cap B)$ ilişkisinden önce kesişimi bul. Çeldirici $32$ , kesişimi çıkarmayı unutan $s(A)+s(B)$ tuzağıdır.

$s(A\setminus B)=s(A)-s(A\cap B)\Rightarrow 11=18-s(A\cap B)$ , yani $s(A\cap B)=7$ .
$s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)=18+14-7=25$ .

Sonuç: C)

25

Sık Yapılan Hatalar

Kesişimi iki kez saymak: $s(A\cup B)$ hesabında $s(A\cap B)$ terimi bir kez çıkarılmalıdır; çıkarmayı unutmak sonucu şişirir.
"Yalnızca biri" ile "en az biri"ni karıştırmak: "En az biri" $=s(A\cup B)$ iken; "yalnızca biri" $=s(A\cup B)-s(A\cap B)$ 'dir.
Boş kümeyi atlamak: $\varnothing$ her kümenin alt kümesidir; alt küme sayarken unutulmamalıdır.
"Tam iki" ile "ikili kesişim"i karıştırmak: Üç kümeli problemde $s(A\cap B)$ , $A\cap B\cap C$ bölgesini de içerir; "tam olarak iki kümeye ait" sayısı bundan üçlü kesişim çıkarılarak bulunur.

Sınav ipucu: İki kümeli problemlerde önce Venn şemasını çiz. Ortak bölgeyi ( $A\cap B$ ) en başta yerleştir, sonra dışa doğru "yalnız $A$ " ve "yalnız $B$ " sayılarını doldur. Üç kümeli problemlerde $s(A\cup B\cup C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A\cap B)-s(A\cap C)-s(B\cap C)+s(A\cap B\cap C)$ formülünü kullan; doldurmaya en içteki üçlü kesişimden başla. Bu sıra, çoğu hatayı baştan engeller.

1. Temel Kavramlar

2. Kümelerde İşlemler

Birleşim — A\cup B

Kesişim — A\cap B

Fark — A\setminus B

Tümleyen — A'

3. Eleman Sayısı

Çözümlü Sorular

Üç kümeli problemler

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Kümeler ve Mantık — diğer konular

Birleşim — $A\cup B$

Kesişim — $A\cap B$

Fark — $A\setminus B$

Tümleyen — $A'$