TYT Matematik · Kümeler ve Mantık

Mantık

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Mantık, önermelerin doğruluk değerleriyle uğraşır ve bunları bağlaçlarla birleştirmenin kurallarını verir. TYT'de bu konu doğrudan doğruluk tablosu, De Morgan kuralları ve niceleyici olumsuzlaması üzerinden sorulur. Burada her bağlacı tablosuyla birlikte net biçimde kuruyoruz.

1. Önerme Nedir?

Önerme, doğru ( $1$ ) ya da yanlış ( $0$ ) olduğu kesin olarak söylenebilen yargıdır. Bir cümlenin önerme olması için aynı anda hem doğru hem yanlış olamaması gerekir.

" $3$ asal sayıdır" $\to$ doğru bir önermedir ( $1$ ).
" $4$ tek sayıdır" $\to$ yanlış bir önermedir ( $0$ ).

Buna karşılık soru, ünlem, emir ve kişisel görüş cümleleri önerme değildir; çünkü bir doğruluk değeri taşımazlar:

Cümle	Önerme mi?	Neden?
"Pencereyi aç."	Hayır	Emir cümlesi, doğru/yanlış denemez
"Hava ne güzel!"	Hayır	Ünlem, doğruluk değeri yok
"Matematik en güzel derstir."	Hayır	Kişisel görüş
" $2+3=5$ "	Evet	Doğru ( $1$ )

Önermeler $p,\ q,\ r$ gibi harflerle gösterilir.

2. Bağlaçlar ve Doğruluk Tabloları

Değil (olumsuzlama) — $\neg p$

$\neg p$ , $p$ 'nin doğruluk değerini tersine çevirir.

$p$	$\neg p$
$1$	$0$
$0$	$1$

Ve — $p\wedge q$

$p\wedge q$ yalnızca ikisi de doğruyken doğrudur.

$p$	$q$	$p\wedge q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

Veya — $p\vee q$

$p\vee q$ en az biri doğruysa doğrudur. Bu, mantıktaki kapsayan-veyadır: ikisi birden doğru olduğunda da sonuç doğrudur.

$p$	$q$	$p\vee q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$

İse (koşullu) — $p\Rightarrow q$

$p\Rightarrow q$ yalnızca $p$ doğru, $q$ yanlış olduğunda yanlıştır; diğer tüm durumlarda doğrudur.

$p$	$q$	$p\Rightarrow q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

Önemli eşdeğerlik: $p\Rightarrow q \equiv \neg p\vee q$ .

Ancak ve ancak (çift koşullu) — $p\Leftrightarrow q$

$p\Leftrightarrow q$ , $p$ ile $q$ aynı doğruluk değerinde olduğunda doğrudur.

$p$	$q$	$p\Leftrightarrow q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$

3. Totoloji, Çelişki ve De Morgan Kuralları

Totoloji, içindeki önermelerin doğruluk değeri ne olursa olsun her zaman doğru ( $1$ ) olan bileşik önermedir. Örnek: $p\vee\neg p$ daima doğrudur.

Çelişki, her durumda her zaman yanlış ( $0$ ) olan bileşik önermedir. Örnek: $p\wedge\neg p$ daima yanlıştır.

De Morgan kuralları, bir bağlacın olumsuzunu öteki bağlaca çevirir:

$\neg(p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$

$\neg(p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$

Yani "ve"nin değili "veya"ya, "veya"nın değili "ve"ye döner; her parça da ayrıca olumsuzlanır.

4. Niceleyiciler

Niceleyiciler, bir önermenin "ne kadar" için geçerli olduğunu belirtir:

Her ( $\forall$ ): "Her $x$ için ...". İstisnasız tümü.
Bazı / en az bir ( $\exists$ ): "Bazı $x$ için ..." ya da "En az bir $x$ vardır ki ...".

Niceleyicili önermelerin olumsuzunda niceleyici yer değiştirir ve içerideki yargı olumsuzlanır:

$\neg\big(\forall x:\ p(x)\big)\equiv \exists x:\ \neg p(x)$

$\neg\big(\exists x:\ p(x)\big)\equiv \forall x:\ \neg p(x)$

Sözel karşılığı: "Her ... dır" önermesinin değili "Bazı ... değildir" olur.

Örnek

Soru

" $p$ : $3$ asaldır" ve " $q$ : $4$ tektir" önermeleri veriliyor. $p\wedge q$ , $p\vee q$ ve $p\Rightarrow q$ bileşik önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

Önce tek tek değerleri belirleyelim: $p=1$ (doğru), $q=0$ (yanlış).

$p\wedge q$ : "ve" için ikisi de doğru olmalı. $1\wedge 0=0$ $\to$ yanlış.
$p\vee q$ : "veya" için en az biri doğru yeter. $1\vee 0=1$ $\to$ doğru.
$p\Rightarrow q$ : yalnız $p=1,\ q=0$ iken yanlıştır. $1\Rightarrow 0=0$ $\to$ yanlış.

Sonuç:

p\wedge q=0

p\vee q=1

p\Rightarrow q=0

Örnek

Soru

$p\wedge q$ bileşik önermesinin doğruluk tablosunu kurunuz ve sonucun kaç satırda doğru olduğunu söyleyiniz.

İki önerme olduğu için $2^2=4$ satır vardır:

$p$	$q$	$p\wedge q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

Yalnızca ilk satırda ( $p=1,\ q=1$ , yani ikisi de doğruyken) sonuç doğrudur.

Sonuç: "Ve" yalnız

1

satırda (ikisi de doğruyken) doğrudur.

Örnek

Soru

$p\Rightarrow q$ koşullu önermesinin doğruluk tablosunu kurunuz. Hangi satırda yanlıştır?

Koşullu önerme yalnızca öncül doğru, sonuç yanlışken bozulur; öncül yanlışsa önerme her durumda doğrudur.

Dört satırı yazalım:

$p$	$q$	$p\Rightarrow q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

Sonuç yalnızca $p=1,\ q=0$ satırında $0$ (yanlış) olur. Diğer üç satırda doğrudur.

Sonuç: Yalnız

p=1,\ q=0

satırında yanlıştır.

Örnek

Soru

$\neg(p\wedge q)$ ifadesini De Morgan kuralıyla bağlaç değiştirerek yazınız.

De Morgan: "ve"nin değili, parçaların değilinin "veya"sına eşittir.

$\neg(p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$

Sonuç:

\neg(p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q

Örnek

Soru

"Her öğrenci geldi." önermesinin olumsuzunu (değilini) yazınız.

Niceleyici olumsuzlamasında $\forall$ ile $\exists$ yer değiştirir; "geldi" yargısı "gelmedi"ye döner.

Önerme $\forall x:\ x$ geldi biçimindedir. Olumsuzu:

$\neg\big(\forall x:\ \text{geldi}\big)\equiv \exists x:\ \neg(\text{geldi})$

Yani "Her öğrenci geldi"nin değili "Hiçbiri gelmedi" değil, "Bazı öğrenciler gelmedi" olur. (En az bir öğrencinin gelmemesi yeterlidir.)

Sonuç: "Bazı öğrenciler gelmedi."

Örnek

Soru

Aşağıdaki cümlelerden hangileri önermedir?

I. "Pencereyi aç."

II. " $7$ asal sayıdır."

III. " $x+1=3$ "

I. Emir cümlesidir, doğru/yanlış denemez $\to$ önerme değildir.
II. $7$ gerçekten asaldır, kesin doğru ( $1$ ) $\to$ önermedir.
III. $x$ belirsiz olduğundan doğruluk değeri sabit değildir (açık önerme); $x$ verilmeden $\to$ önerme değildir.

Sonuç: Yalnız II önermedir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$p=1$ , $q=0$ , $r=1$ veriliyor. $(p\wedge \neg q)\vee r$ bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Önce parçaları hesaplayalım: $\neg q=\neg 0=1$ .
$p\wedge\neg q=1\wedge 1=1$ .
Son adımda "veya" uygulayalım: $(1)\vee r=1\vee 1=1$ .

Sonuç:

(p\wedge\neg q)\vee r=1

(doğru).

Örnek

Soru

$p\Leftrightarrow q$ çift koşullu önermesi $0$ (yanlış) ise, $p$ ile $q$ arasında nasıl bir ilişki vardır?

$p\Leftrightarrow q$ yalnızca $p$ ile $q$ aynı doğruluk değerindeyken doğrudur.
Sonuç $0$ (yanlış) olduğuna göre $p$ ile $q$ aynı değerde değildir.
Yani biri doğruyken öteki yanlıştır: $(p=1,\ q=0)$ ya da $(p=0,\ q=1)$ durumları geçerlidir.

Sonuç:

p

ile

q

farklı doğruluk değerlerine sahiptir (biri

1

, öteki

0

Örnek

Soru

$p\Rightarrow q$ önermesini $\neg p\vee q$ eşdeğerliğiyle, $p=0$ , $q=0$ için hesaplayıp sonucu doğrulayınız.

Eşdeğerlik: $p\Rightarrow q\equiv \neg p\vee q$ .
$\neg p=\neg 0=1$ olur.
$\neg p\vee q=1\vee 0=1$ .
Tabloyla karşılaştıralım: $p=0,\ q=0$ satırında $p\Rightarrow q=1$ idi; eşdeğerlik doğrulandı.

Sonuç:

p\Rightarrow q=1

(doğru); eşdeğerlik tutar.

Örnek

Soru

$\neg(p\vee \neg q)$ ifadesini De Morgan kuralıyla sadeleştiriniz.

De Morgan: "veya"nın değili, parçaların değilinin "ve"sidir: $\neg(a\vee b)\equiv \neg a\wedge\neg b$ .
Burada $a=p$ , $b=\neg q$ alalım: $\neg(p\vee\neg q)\equiv \neg p\wedge\neg(\neg q)$ .
Çifte olumsuzlama: $\neg(\neg q)=q$ .
Böylece ifade $\neg p\wedge q$ olur.

Sonuç:

\neg(p\vee\neg q)\equiv \neg p\wedge q

Örnek

Soru

$p\vee\neg p$ ve $p\wedge\neg p$ bileşik önermeleri için: hangisi totoloji, hangisi çelişkidir?

$p\vee\neg p$ : $p=1$ iken $1\vee 0=1$ ; $p=0$ iken $0\vee 1=1$ . Her durumda $1$ .
Demek ki $p\vee\neg p$ daima doğrudur $\to$ totoloji.
$p\wedge\neg p$ : $p=1$ iken $1\wedge 0=0$ ; $p=0$ iken $0\wedge 1=0$ . Her durumda $0$ .
Demek ki $p\wedge\neg p$ daima yanlıştır $\to$ çelişki.

Sonuç:

p\vee\neg p

totoloji,

p\wedge\neg p

çelişkidir.

Örnek

Soru

"Bazı sayılar çifttir." önermesinin olumsuzunu (değilini) yazınız.

Niceleyici olumsuzlamasında $\exists$ ile $\forall$ yer değiştirir; içerideki yargı da olumsuzlanır.

Önerme $\exists x:\ x$ çifttir biçimindedir.
Olumsuzlama kuralı: $\neg\big(\exists x:\ p(x)\big)\equiv \forall x:\ \neg p(x)$ .
Buna göre "Bazı sayılar çifttir"in değili: her sayı için "çift değildir".
Sözel karşılığı: "Hiçbir sayı çift değildir" (yani "Her sayı tektir/çift değildir").

Sonuç: "Hiçbir sayı çift değildir."

Örnek

Soru

$\neg p\Rightarrow q$ koşullu önermesinin doğruluk tablosunu kurunuz ve sonucun kaç satırda doğru olduğunu söyleyiniz.

Önce her satır için $\neg p$ değerini bulalım, sonra $\neg p\Rightarrow q$ koşullusunu uygulayalım (yalnız öncül $1$ , sonuç $0$ iken yanlış).

$p$	$q$	$\neg p$	$\neg p\Rightarrow q$
$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$0$

Yalnızca son satırda ( $p=0,\ q=0$ ) öncül $\neg p=1$ ve sonuç $q=0$ olduğundan önerme yanlıştır.
Diğer üç satırda sonuç doğrudur.

Sonuç:

3

satırda doğru,

1

satırda (

p=0,\ q=0

) yanlıştır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$p\Rightarrow q$ koşullu önermesi ile aynı doğruluk değerine sahip olmayan hangisidir?

A) $\neg q\Rightarrow \neg p$ · B) $\neg p\vee q$ · C) $q\vee \neg p$ · D) $\neg(p\wedge \neg q)$ · E) $q\Rightarrow p$

$p\Rightarrow q\equiv \neg p\vee q$ (B ve C eşdeğerdir).
Karşıtı $\neg q\Rightarrow \neg p$ (A) ve olumsuzlanmış biçim $\neg(p\wedge \neg q)$ (D) de eşdeğerdir.
$q\Rightarrow p$ karşılığıdır; $p=1$ , $q=0$ iken $p\Rightarrow q$ yanlış, $q\Rightarrow p$ doğrudur — eşdeğer değildir.

Sonuç: E)

q\Rightarrow p

Örnek

Soru

$\neg(p\vee q)$ önermesine mantıksal olarak denk olan hangisidir?

A) $\neg p\wedge \neg q$ · B) $\neg p\vee \neg q$ · C) $p\wedge q$ · D) $\neg p\Rightarrow q$ · E) $p\Rightarrow \neg q$

De Morgan kuralını uygula: olumsuzlama bağlacı değiştirir.

De Morgan: $\neg(p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$ .

Sonuç: A)

\neg p\wedge \neg q

Örnek

Soru

$p$ ve $q$ önermeleri için $p=1$ , $q=0$ iken aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri $1$ 'dir?

A) $p\Rightarrow q$ · B) $p\wedge q$ · C) $\neg p\Rightarrow q$ · D) $p\Leftrightarrow q$ · E) $\neg p\wedge \neg q$

$p=1$ , $q=0$ satırında $p\Rightarrow q$ , $p\wedge q$ , $p\Leftrightarrow q$ yanlıştır ( $0$ ).
$\neg p=0$ olduğundan $\neg p\wedge \neg q=0$ .
$\neg p\Rightarrow q$ : öncül $0$ olduğundan koşullu önerme doğrudur ( $1$ ).

Sonuç: C)

\neg p\Rightarrow q

Örnek

Soru

Bir kafenin kampanya kuralı şudur: "Müşteri, kahve alırsa tatlı alır." Aşağıdaki müşterilerden hangisi kuralı bozmuş (kuralı yanlış çıkaran tek durum) olur?

$p$ : kahve aldı, $q$ : tatlı aldı olmak üzere kural $p\Rightarrow q$ 'dur.

A) Kahve aldı, tatlı aldı · B) Kahve aldı, tatlı almadı · C) Kahve almadı, tatlı aldı · D) Kahve almadı, tatlı almadı · E) Hiçbiri kuralı bozmaz

$p\Rightarrow q$ koşullu önermesi yalnız $p=1,\ q=0$ iken yanlıştır.

Kural $p\Rightarrow q$ ; yalnız öncül doğru, sonuç yanlışken ( $p=1,\ q=0$ ) bozulur.
Bu da "kahve aldı, tatlı almadı" durumudur.
Kahve almayan müşteri için kural her hâlde sağlanır (öncül yanlış).

Sonuç: B) Kahve aldı, tatlı almadı

Örnek

Soru

Bir öğretmen "Sınıftaki her öğrenci ödevini yaptı." dedi. Veli toplantısında bu cümlenin yanlış olduğu anlaşıldı. Buna göre kesinlikle doğru olan ifade hangisidir?

A) Hiçbir öğrenci ödevini yapmadı · B) Her öğrenci ödevini yapmadı · C) En az bir öğrenci ödevini yapmadı · D) Yalnız bir öğrenci ödevini yaptı · E) Tüm öğrenciler ödevini yaptı

"Her ... dır" önermesinin değili $\forall\to\exists$ değişimiyle "Bazı (en az bir) ... değildir" olur. "Hiçbiri" anlamı taşımaz.

Önerme $\forall x:\ x$ ödev yaptı biçiminde, ve bu yanlış.
Olumsuzu: $\neg(\forall x:\ p(x))\equiv \exists x:\ \neg p(x)$ .
Sözel karşılığı: "En az bir öğrenci ödevini yapmadı." ("Hiçbiri yapmadı" çeldiricisi yanlıştır; bir öğrencinin yapmaması yeter.)

Sonuç: C) En az bir öğrenci ödevini yapmadı

Örnek

Soru

$p\wedge q$ bileşik önermesi yanlış ( $0$ ), $p\vee q$ bileşik önermesi doğru ( $1$ ) olduğuna göre $p\Leftrightarrow q$ önermesinin doğruluk değeri nedir?

A) Daima $1$ · B) Daima $0$ · C) $p$ 'ye eşit · D) $q$ 'ye eşit · E) Belirlenemez

İki koşulu birlikte sağlayan tek durum, $p$ ile $q$ 'nun farklı değerde olmasıdır.

$p\wedge q=0$ : ikisi birden doğru değil.
$p\vee q=1$ : en az biri doğru.
Bu iki koşul yalnız $p$ ile $q$ farklı değerdeyken ( $1,0$ ya da $0,1$ ) birlikte sağlanır.
Farklı değerde olduklarından $p\Leftrightarrow q=0$ (daima yanlış).

Sonuç: B) Daima

0

Sık Yapılan Hatalar

$p\Rightarrow q$ 'yu yanlış okumak: Bu önerme yalnız $p=1,\ q=0$ iken yanlıştır. Öncül yanlışsa ( $p=0$ ) sonuç her zaman doğrudur. Bu satırları karıştırmak en çok puan kaybettiren hatadır.
"Veya"yı dışlayan-veya sanmak: Mantıktaki "veya" kapsayandır; ikisi de doğruyken ( $1\vee 1$ ) sonuç yine $1$ 'dir. "İkisinden tam biri" anlamı yoktur.
Niceleyici olumsuzlamasında değişimi atlamak: "Her ... dır"ın değili "Her ... değildir" değildir. $\forall \leftrightarrow \exists$ yer değiştirir; doğrusu "Bazı ... değildir"dir.
De Morgan'da bağlacı değiştirmemek: $\neg(p\wedge q)$ , $\neg p\wedge\neg q$ değildir; "ve" mutlaka "veya"ya döner.

Sınav İpucu

Bileşik önerme sorularında tereddüt edersen doğruluk tablosu kur: $2$ önerme için $4$ , $3$ önerme için $8$ satır yeter ve hata payını sıfırlar. Hız için $p\Rightarrow q \equiv \neg p\vee q$ eşdeğerliğini ezberle; koşullu önermeleri "veya"ya çevirip işlemi kısaltır. De Morgan ile birlikte bu eşdeğerlik, karmaşık olumsuzlamaları saniyeler içinde sadeleştirir.

1. Önerme Nedir?

2. Bağlaçlar ve Doğruluk Tabloları

Değil (olumsuzlama) — \neg p

Ve — p\wedge q

Veya — p\vee q

İse (koşullu) — p\Rightarrow q

Ancak ve ancak (çift koşullu) — p\Leftrightarrow q

3. Totoloji, Çelişki ve De Morgan Kuralları

4. Niceleyiciler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Kümeler ve Mantık — diğer konular

Değil (olumsuzlama) — $\neg p$

Ve — $p\wedge q$

Veya — $p\vee q$

İse (koşullu) — $p\Rightarrow q$

Ancak ve ancak (çift koşullu) — $p\Leftrightarrow q$