çözümebak

AYT Matematik · Üstel Fonksiyon ve Logaritma

Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

~9 dk okumaZorluk: Zor18 çözümlü soru

Logaritmik denklem ve eşitsizliklerde her şeyin önünde gelen tek bir altın kural vardır: önce tanım kümesi. Logaritmanın içi her zaman pozitif olmak zorunda olduğundan, bulduğun her kökü mutlaka bu koşula göre süzersin. Bu konu, denklem çözmenin adımlarını, eşitsizlikte tabanın yönü nasıl belirlediğini ve yabancı kökleri ayıklamayı baştan sona kurar.

1. Tanım Kümesi: Her Şeyin Başı

\log_a f(x) ifadesinin tanımlı olması için iki koşul gerekir:

KoşulAçıklama
f(x) > 0Logaritmanın içi (argümanı) pozitif olmalı
a > 0,\ a \ne 1Taban pozitif ve 1'den farklı olmalı

Bir denklem çözerken bulunan değer, bu koşulları sağlamıyorsa yabancı kök adını alır ve atılır. Bu yüzden çözümün son adımı her zaman tanım kümesine göre kontroldür.

2. Logaritmik Denklem Çözme

İki temel kalıp vardır:

\log_a f(x)=b \;\Rightarrow\; f(x)=a^{b}

\log_a f(x)=\log_a g(x) \;\Rightarrow\; f(x)=g(x)\quad\big(f(x)>0,\ g(x)>0\big)

İkinci kalıpta, tabanlar aynı olduğunda argümanları eşitleriz; ama hem f(x) hem g(x) pozitif olmalıdır.

Örnek
Soru

\log_2(x-1)=3 denklemini çözünüz.

  1. Tanım kümesi: x-1>0 \Rightarrow x>1.

  2. Denklemi üslü biçime geçir: x-1=2^{3}=8.

  3. Çöz: x=9.

  4. Kontrol: 9>1 olduğundan kök tanım kümesindedir.

Sonuç: x=9
Örnek
Soru

\log_3(2x+1)=2 denklemini çözünüz.

  1. Tanım kümesi: 2x+1>0 \Rightarrow x>-\dfrac{1}{2}.

  2. Üslü biçime geç: 2x+1=3^{2}=9.

  3. Çöz: 2x=8 \Rightarrow x=4.

  4. Kontrol: 4>-\dfrac{1}{2} sağlanır.

Sonuç: x=4

3. Logaritmaları Birleştirme

Birden fazla logaritma içeren denklemlerde önce çarpım/bölüm kurallarıyla tek logaritmaya indiririz:

\log_a m+\log_a n=\log_a(mn),\qquad \log_a m-\log_a n=\log_a\dfrac{m}{n}

Birleştirme yeni kökler doğurabileceğinden, tanım kümesi kontrolü burada daha da kritiktir.

Örnek
Soru

\log x+\log(x-3)=1 denklemini çözünüz. (Taban 10.)

Önce iki logaritmayı tek logaritmada topla; sonra \log_{10} A=1 \Rightarrow A=10 kuralını kullan. Tanım için hem x>0 hem x-3>0 gerektiğini unutma.

  1. Tanım kümesi: x>0 ve x-3>0 \Rightarrow x>3.

  2. Logaritmaları birleştir: \log\big(x(x-3)\big)=1.

  3. Üslü biçime geç: x(x-3)=10^{1}=10.

  4. Düzenle: x^{2}-3x-10=0 \Rightarrow (x-5)(x+2)=0.

  5. Kökler x=5 ve x=-2. Kontrol: x=5>3 kabul; x=-2 tanım dışı, atılır.

Sonuç: x=5

4. Logaritmik Eşitsizlik: Taban Yönü Belirler

Eşitsizlikte tabanın 1'den büyük mü küçük mü olduğu, eşitsizliğin yönünü doğrudan etkiler:

TabanKuralYön
a>1\log_a f<\log_a g \Rightarrow 0<f<gKorunur
0<a<1\log_a f<\log_a g \Rightarrow f>g>0Değişir

Her iki durumda da çözüm kümesini tanım kümesiyle kesiştirmek zorunludur; çünkü logaritmanın içi yine pozitif olmalıdır.

Örnek
Soru

\log_2(x-1)<3 eşitsizliğini çözünüz.

  1. Tanım kümesi: x-1>0 \Rightarrow x>1.

  2. Taban 2>1 olduğundan yön korunur. Sağ tarafı \log_2 8=3 biçiminde yaz: \log_2(x-1)<\log_2 8.

  3. Argümanları karşılaştır: x-1<8 \Rightarrow x<9.

  4. Tanım kümesiyle kesiştir: x>1 ve x<9.

Sonuç: 1<x<9

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\log_5(3x-2)=2 denklemini çözünüz.

  1. Tanım kümesi: 3x-2>0 \Rightarrow x>\dfrac{2}{3}.

  2. Üslü biçime geç: 3x-2=5^{2}=25.

  3. Çöz: 3x=27 \Rightarrow x=9.

  4. Kontrol: 9>\dfrac{2}{3} sağlanır.

Sonuç: x=9
Örnek
Soru

\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3 denklemini çözünüz.

İki logaritmayı \log_2\big[(x+1)(x-1)\big] olarak birleştir; çarpım x^{2}-1 verir. Tanım için x>1 olması gerektiğine dikkat et.

  1. Tanım kümesi: x+1>0 ve x-1>0 \Rightarrow x>1.

  2. Logaritmaları birleştir: \log_2\big[(x+1)(x-1)\big]=3 \Rightarrow \log_2(x^{2}-1)=3.

  3. Üslü biçime geç: x^{2}-1=2^{3}=8.

  4. Çöz: x^{2}=9 \Rightarrow x=3 veya x=-3.

  5. Kontrol: x=3>1 kabul; x=-3 tanım dışı, atılır.

Sonuç: x=3
Örnek
Soru

\log_3(x+6)=\log_3(2x+1) denklemini çözünüz.

  1. Tanım kümesi: x+6>0 ve 2x+1>0 \Rightarrow x>-\dfrac{1}{2}.

  2. Tabanlar aynı olduğundan argümanları eşitle: x+6=2x+1.

  3. Çöz: 6-1=2x-x \Rightarrow x=5.

  4. Kontrol: x=5>-\dfrac{1}{2}; her iki argüman da pozitif (11>0,\ 11>0).

Sonuç: x=5
Örnek
Soru

\log_4(x)+\log_4(x-6)=2 denklemini çözünüz.

Birleştir, \log_4 A=2 \Rightarrow A=16 kuralını uygula ve ikinci dereceden denklemi çöz. Kökleri x>6 koşuluna göre süz.

  1. Tanım kümesi: x>0 ve x-6>0 \Rightarrow x>6.

  2. Birleştir: \log_4\big[x(x-6)\big]=2.

  3. Üslü biçime geç: x(x-6)=4^{2}=16.

  4. Düzenle: x^{2}-6x-16=0 \Rightarrow (x-8)(x+2)=0.

  5. Kökler x=8 ve x=-2. Kontrol: x=8>6 kabul; x=-2 tanım dışı, atılır.

Sonuç: x=8
Örnek
Soru

\log_3(2x-1)\ge 2 eşitsizliğini çözünüz.

  1. Tanım kümesi: 2x-1>0 \Rightarrow x>\dfrac{1}{2}.

  2. Taban 3>1, yön korunur. Sağ tarafı \log_3 9=2 yaz: \log_3(2x-1)\ge\log_3 9.

  3. Argümanları karşılaştır: 2x-1\ge 9 \Rightarrow 2x\ge 10 \Rightarrow x\ge 5.

  4. Tanım kümesiyle kesiştir: x\ge 5 zaten x>\dfrac{1}{2} içinde kalır.

Sonuç: x\ge 5
Örnek
Soru

\log_{1/2}(x-3)>1 eşitsizliğini çözünüz.

Taban \dfrac{1}{2}, yani 0<a<1. Bu durumda argümanları karşılaştırırken eşitsizliğin yönü değişir. Ayrıca x-3>0 koşulunu da unutma.

  1. Tanım kümesi: x-3>0 \Rightarrow x>3.

  2. Sağ tarafı \log_{1/2}\dfrac{1}{2}=1 biçiminde yaz: \log_{1/2}(x-3)>\log_{1/2}\dfrac{1}{2}.

  3. Taban 0<\dfrac{1}{2}<1 olduğundan yön değişir: x-3<\dfrac{1}{2}.

  4. Çöz: x<\dfrac{7}{2}.

  5. Tanım kümesiyle kesiştir: x>3 ve x<\dfrac{7}{2}.

Sonuç: 3<x<\dfrac{7}{2}
Örnek
Soru

\log_3 x-\log_x 3=\dfrac{3}{2} denklemini (x>0,\ x\ne 1) çözünüz.

\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x} taban–sayı yer değişimini kullan; \log_3 x=t diyerek denklemi t cinsinden ikinci dereceye indir.

  1. Tanım kümesi: x>0 ve x\ne 1.

  2. \log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x} olduğundan \log_3 x=t (t\ne 0) diyelim: t-\dfrac{1}{t}=\dfrac{3}{2}.

  3. 2t ile çarp: 2t^{2}-2=3t \Rightarrow 2t^{2}-3t-2=0 \Rightarrow (2t+1)(t-2)=0.

  4. Kökler t=2 ve t=-\dfrac{1}{2}. Geri dön: \log_3 x=2 \Rightarrow x=9; \log_3 x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=3^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt3}.

  5. Kontrol: Her iki değer de x>0,\ x\ne 1 koşulunu sağlar.

Sonuç: x=9 veya x=\dfrac{1}{\sqrt3}
Örnek
Soru

\log_2(x+2)-\log_2(x-1)=2 denklemini çözünüz.

Çıkarmayı bölümün logaritmasına çevir, sonra \log_2 A=2\Rightarrow A=4 kuralını uygula. Tanım için x>1 gerekir.

  1. Tanım kümesi: x+2>0 ve x-1>0 \Rightarrow x>1.

  2. Çıkarmayı birleştir: \log_2 \dfrac{x+2}{x-1}=2.

  3. Üslü biçime geç: \dfrac{x+2}{x-1}=2^{2}=4.

  4. Çöz: x+2=4(x-1) \Rightarrow x+2=4x-4 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2.

  5. Kontrol: x=2>1 sağlanır.

Sonuç: x=2

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

\log_3(x-2)+\log_3(2x-1)=2 denklemini sağlayan x değeri için, 4x kaçtır?

A) 7 · B) 10 · C) 12 · D) 14 · E) 16

  1. Tanım kümesi: x-2>0 ve 2x-1>0 \Rightarrow x>2.

  2. Logaritmaları birleştir: \log_3\big[(x-2)(2x-1)\big]=2.

  3. Üslü biçime geç: (x-2)(2x-1)=3^{2}=9.

  4. Düzenle: 2x^{2}-5x+2=9 \Rightarrow 2x^{2}-5x-7=0 \Rightarrow (2x-7)(x+1)=0.

  5. Kökler x=\dfrac{7}{2} ve x=-1. Kontrol: \dfrac{7}{2}>2 kabul; x=-1 tanım dışı, atılır.

  6. İstenen: 4x=4\cdot\dfrac{7}{2}=14.

Sonuç: D) 14
Örnek
Soru

\log_2(x^{2}-x)=\log_2(3x-4) denklemini sağlayan x değeri için, x^{2}+1 kaçtır?

A) 2 · B) 3 · C) 5 · D) 8 · E) 10

  1. Tanım kümesi: 3x-4>0 \Rightarrow x>\dfrac{4}{3} ve x^{2}-x>0.

  2. Tabanlar aynı olduğundan argümanları eşitle: x^{2}-x=3x-4.

  3. Düzenle: x^{2}-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^{2}=0 \Rightarrow x=2.

  4. Kontrol: x=2 için 3x-4=2>0 ve x^{2}-x=2>0; her iki argüman da pozitif, kök kabul.

  5. İstenen: x^{2}+1=4+1=5.

Sonuç: C) 5
Örnek
Soru

\log_{1/3}(x-1)\ge -1 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin alabileceği tam sayıların toplamı kaçtır?

A) 5 · B) 7 · C) 9 · D) 12 · E) 14

  1. Tanım kümesi: x-1>0 \Rightarrow x>1.

  2. Sağ tarafı \log_{1/3}3=-1 biçiminde yaz: \log_{1/3}(x-1)\ge\log_{1/3}3.

  3. Taban 0<\dfrac{1}{3}<1 olduğundan yön değişir: x-1\le 3.

  4. Çöz: x\le 4.

  5. Tanım kümesiyle kesiştir: 1<x\le 4.

  6. Bu aralıktaki tam sayılar 2,\ 3,\ 4; toplamı 2+3+4=9.

Sonuç: C) 9
Örnek
Soru

\left(\log_2 x\right)^{2}-3\log_2 x+2=0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2'dir.

Buna göre x_1\cdot x_2 çarpımı kaçtır?

A) 4 · B) 6 · C) 8 · D) 12 · E) 16

  1. Tanım kümesi: x>0.

  2. \log_2 x=t değişken değiştir: t^{2}-3t+2=0 \Rightarrow (t-1)(t-2)=0, yani t=1 veya t=2.

  3. Geri dön: \log_2 x=1\Rightarrow x_1=2; \log_2 x=2\Rightarrow x_2=4. Her ikisi de pozitif, kabul.

  4. Çarpım: x_1\cdot x_2=2\cdot 4=8.

Sonuç: C) 8
Örnek
Soru

\log_5(x-1)+\log_5(x+5)=\log_5(3x+7) denklemini sağlayan x değeri için x^{2}-2 kaçtır?

A) 2 · B) 5 · C) 7 · D) 11 · E) 14

  1. Tanım kümesi: x-1>0, x+5>0 ve 3x+7>0 \Rightarrow x>1.

  2. Sol tarafı birleştir: \log_5\big[(x-1)(x+5)\big]=\log_5(3x+7).

  3. Tabanlar aynı, argümanları eşitle: (x-1)(x+5)=3x+7.

  4. Aç: x^{2}+4x-5=3x+7 \Rightarrow x^{2}+x-12=0 \Rightarrow (x+4)(x-3)=0.

  5. Kökler x=3 ve x=-4. Kontrol: x=3>1 kabul; x=-4 tanım dışı, atılır.

  6. İstenen: x^{2}-2=3^{2}-2=9-2=7.

Sonuç: C) 7
Örnek
Soru

2\le \log_3(2x-1)\le 4 koşulunu sağlayan x tam sayılarının en küçüğü ile en büyüğünün toplamı kaçtır?

A) 46 · B) 47 · C) 48 · D) 49 · E) 50

  1. Tanım kümesi: 2x-1>0 \Rightarrow x>\dfrac{1}{2} (sınırlar zaten bunu sağlayacak).

  2. Taban 3>1, yön korunur. Eşitsizliği üslü biçime çevir: 3^{2}\le 2x-1\le 3^{4}, yani 9\le 2x-1\le 81.

  3. Her tarafa 1 ekle: 10\le 2x\le 82.

  4. İkiye böl: 5\le x\le 41.

  5. En küçük tam sayı 5, en büyük 41; toplam 5+41=46.

Sonuç: A) 46

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Logaritmik bir denklem ya da eşitsizlikte ilk işin tanım kümesini yazmak olsun: argümanları >0, tabanı 0<a\ne 1 koşullarını en başta bir köşeye not et. Çözümün sonunda bulduğun kökleri bu koşullarla süz. Eşitsizliklerde ise tabana bak: a>1 ise yön korunur, 0<a<1 ise yön değişir. Bu iki refleks, soruların çok büyük kısmını hatasız çözdürür.

Üstel Fonksiyon ve Logaritma — diğer konular