çözümebak

AYT Matematik · Üstel Fonksiyon ve Logaritma

Üstel Fonksiyon

~8 dk okumaZorluk: Orta21 çözümlü soru

Üstel fonksiyon, değişkenin üs olarak yer aldığı f(x)=a^{x} biçimindeki fonksiyondur. Nüfus artışı, bileşik faiz ve radyoaktif bozunma gibi pek çok olayı modelleyen bu fonksiyon, AYT'de hem grafik–değer sorularında hem de üstel denklem ve üstel eşitsizlik çözümlerinde sık karşımıza çıkar. Bu konu, tabanı eşitleme tekniğini ve eşitsizliklerde tabana göre yön kuralını sağlam bir biçimde kurar.

1. Üstel Fonksiyonun Tanımı

a > 0 ve a\ne 1 olmak üzere

f(x)=a^{x}

biçimindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. Tabanın bu koşulları sağlaması gerekir: a=1 ise 1^{x}=1 sabit fonksiyon olur, a\le 0 ise (örneğin (-2)^{1/2}) bazı x değerlerinde tanımsızlık doğar.

Temel özellikler:

ÖzellikAçıklama
Tanım kümesiTüm gerçek sayılar, x\in\mathbb{R}
Değer kümesiDaima pozitif, f(x) > 0
Sabit noktaf(0)=a^{0}=1; grafik (0,1) noktasından geçer
Asimptotx ekseni (y=0) yatay asimptottur

Tabanın büyüklüğü fonksiyonun artan/azalan oluşunu belirler:

TabanDavranış
a > 1Fonksiyon artandır (örn. 2^{x}, 3^{x}, e^{x})
0 < a < 1Fonksiyon azalandır (örn. \left(\tfrac12\right)^{x}, \left(\tfrac13\right)^{x})

İki tipik üstel grafiği yan yana görmek, AYT eşitsizlik sorularında yön kuralını görselleştirmenin en kısa yoludur: artan grafikte büyük çıktıya büyük girdi, azalan grafikte büyük çıktıya küçük girdi karşılık gelir.

1xyy = 2ˣ
Şekil 1 — f(x)=2^{x} (a>1): artan; (0,1)'den geçer, soldan y=0 asimptotuna yaklaşır.
1xyy = (1/2)ˣ
Şekil 2 — f(x)=\left(\tfrac12\right)^{x} (0<a<1): azalan; (0,1)'den geçer, sağdan y=0 asimptotuna yaklaşır. Eşitsizlikte yönün ters dönmesinin görsel nedeni budur.

Doğal Taban e

Matematikte özel bir taban olan e\approx 2{,}718 sayısına doğal taban (Euler sayısı) denir. e > 1 olduğundan f(x)=e^{x} artan bir üstel fonksiyondur ve türev–integral konularında temel rol oynar.

Örnek
Soru

f(x)=a^{x} üstel fonksiyonu için f(0) değerini bulunuz.

  1. Üstel fonksiyonun tanımında x=0 yazalım: f(0)=a^{0}.

  2. Sıfırıncı kuvvet kuralı gereği (a\ne 0) her tabanın sıfırıncı kuvveti 1'dir: a^{0}=1.

Sonuç: f(0)=1. Bu yüzden tüm üstel fonksiyonların grafiği (0,1) noktasından geçer.

2. Üstel Denklem

Bilinmeyenin üste geldiği denklemlere üstel denklem denir. Temel strateji: iki tarafı aynı tabana getir, sonra üsleri eşitle.

a^{f(x)}=a^{g(x)} \;\Rightarrow\; f(x)=g(x)\qquad (a > 0,\ a\ne 1)

Örnek
Soru

2^{x}=8 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Sağ tarafı 2 tabanında yaz: 8=2^{3}.

  2. Denklem 2^{x}=2^{3} olur. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: x=3.

Sonuç: x=3

Taban 0 < a < 1 olduğunda da yöntem aynıdır; negatif üs çıkması olağandır.

Örnek
Soru

\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=8 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Her iki tarafı 2 tabanında yaz: \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\left(2^{-1}\right)^{x}=2^{-x} ve 8=2^{3}.

  2. Denklem 2^{-x}=2^{3} olur. Üsleri eşitle: -x=3.

  3. Buradan x=-3 bulunur.

Sonuç: x=-3
Örnek
Soru

3^{x+1}=9 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Sağ tarafı 3 tabanında yaz: 9=3^{2}.

  2. Denklem 3^{x+1}=3^{2} olur. Üsleri eşitle: x+1=2.

  3. Buradan x=1 bulunur.

Sonuç: x=1

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Aynı tabanlı fakat üsleri farklı terimlerin toplamı verildiğinde, en küçük üslü terimi ortak çarpan olarak parantezine alırız.

Örnek
Soru

2^{x+2}+2^{x}=20 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Üslü ifade kuralıyla aç: 2^{x+2}=2^{x}\cdot 2^{2}=4\cdot 2^{x}.

  2. Denklem 4\cdot 2^{x}+2^{x}=20 olur. 2^{x} ortak parantezine al: 2^{x}(4+1)=20, yani 5\cdot 2^{x}=20.

  3. Buradan 2^{x}=4=2^{2}, dolayısıyla x=2.

Sonuç: x=2

3. Üstel Eşitsizlik

Üstel eşitsizliklerde de iki taraf aynı tabana getirilir; ancak üsleri karşılaştırırken tabanın türüne dikkat etmek gerekir.

a > 1 \;:\; a^{f}\;<\;a^{g} \;\Rightarrow\; f < g \quad (\textbf{\text{yön korunur}})

0 < a < 1 \;:\; a^{f}\;<\;a^{g} \;\Rightarrow\; f > g \quad (\textbf{\text{yön değişir}})

Bunun nedeni, a > 1 için fonksiyonun artan, 0 < a < 1 için azalan olmasıdır. Azalan bir fonksiyonda büyük çıktıya küçük girdi karşılık geldiğinden eşitsizlik yön değiştirir.

Örnek
Soru

2^{x} > 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

  1. Sağ tarafı 2 tabanında yaz: 8=2^{3}, böylece 2^{x} > 2^{3}.

  2. Taban 2 > 1 olduğundan fonksiyon artandır; üsler arasında yön korunur: x > 3.

Sonuç: x > 3, yani çözüm kümesi (3,\infty).
Örnek
Soru

\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} > 9 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce 9'u \tfrac13 tabanında yaz: 9=3^{2}=\left(\tfrac13\right)^{-2}. Taban 0 < a < 1 olduğu için üsleri karşılaştırırken eşitsizlik yönünü ters çevirmeyi unutma.

  1. Her iki tarafı \dfrac13 tabanında yaz: 9=3^{2}=\left(\dfrac13\right)^{-2}, böylece \left(\dfrac13\right)^{x} > \left(\dfrac13\right)^{-2}.

  2. Taban 0 < \dfrac13 < 1 olduğundan fonksiyon azalandır; üsleri karşılaştırırken yön değişir: x < -2.

Sonuç: x < -2, yani çözüm kümesi (-\infty,-2).

Püf noktası: Eşitsizlikte tabanı eşitledikten sonra kendine sor: "Taban 1'den büyük mü, küçük mü?" a > 1 ise yön aynı kalır; 0 < a < 1 ise yönü ters çevir. Bu tek soru en sık hatayı önler.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

5^{2x-1}=125 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Sağ tarafı 5 tabanında yaz: 125=5^{3}.

  2. Denklem 5^{2x-1}=5^{3} olur. Üsleri eşitle: 2x-1=3.

  3. Çöz: 2x=4 \Rightarrow x=2.

Sonuç: x=2
Örnek
Soru

9^{x}=27 denkleminin çözümünü bulunuz.

Hem 9 hem 27 ortak bir tabana, 3'e yazılabilir: 9=3^{2}, 27=3^{3}.

  1. İki tarafı 3 tabanında yaz: 9^{x}=\left(3^{2}\right)^{x}=3^{2x} ve 27=3^{3}.

  2. Denklem 3^{2x}=3^{3} olur. Üsleri eşitle: 2x=3.

  3. Buradan x=\dfrac{3}{2}.

Sonuç: x=\dfrac{3}{2}
Örnek
Soru

3^{x+1}+3^{x}=36 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Üslü ifadeyi aç: 3^{x+1}=3^{x}\cdot 3=3\cdot 3^{x}.

  2. Denklem 3\cdot 3^{x}+3^{x}=36 olur. 3^{x} ortak parantezine al: 3^{x}(3+1)=36, yani 4\cdot 3^{x}=36.

  3. Buradan 3^{x}=9=3^{2}, dolayısıyla x=2.

Sonuç: x=2
Örnek
Soru

3^{x}\le 81 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

  1. Sağ tarafı 3 tabanında yaz: 81=3^{4}, böylece 3^{x}\le 3^{4}.

  2. Taban 3 > 1 olduğundan fonksiyon artandır; yön korunur: x\le 4.

Sonuç: x\le 4, yani çözüm kümesi (-\infty,4].
Örnek
Soru

\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\le \dfrac{1}{16} eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

\dfrac{1}{16} sayısını \dfrac12 tabanında yaz. Taban 1'den küçük olduğu için yön kuralına dikkat et.

  1. Sağ tarafı \dfrac12 tabanında yaz: \dfrac{1}{16}=\left(\dfrac12\right)^{4}, böylece \left(\dfrac12\right)^{x}\le \left(\dfrac12\right)^{4}.

  2. Taban 0 < \dfrac12 < 1 olduğundan fonksiyon azalandır; üsleri karşılaştırırken yön değişir: x\ge 4.

Sonuç: x\ge 4, yani çözüm kümesi [4,\infty).
Örnek
Soru

f(x)=2\cdot 3^{x} fonksiyonu için f(2) değerini bulunuz.

  1. Fonksiyonda x=2 yaz: f(2)=2\cdot 3^{2}.

  2. Üslü ifadeyi hesapla: 3^{2}=9.

  3. Çarp: f(2)=2\cdot 9=18.

Sonuç: f(2)=18
Örnek
Soru

9^{x}-4\cdot 3^{x}+3=0 denkleminin reel köklerinin toplamını bulunuz.

9^{x}=\left(3^{x}\right)^{2} olduğundan 3^{x}=t yazarak ikinci dereceden denkleme indirge. t > 0 koşulunu unutma.

  1. 9^{x}=\left(3^{x}\right)^{2} olduğundan 3^{x}=t (t > 0) yaz: t^{2}-4t+3=0.

  2. Çarpanlara ayır: (t-1)(t-3)=0, yani t=1 veya t=3.

  3. Geri dön: 3^{x}=1=3^{0}\Rightarrow x=0 ve 3^{x}=3\Rightarrow x=1.

  4. Toplam: 0+1=1.

Sonuç: 1
Örnek
Soru

\dfrac{2^{x+3}-2^{x}}{2^{x-1}} ifadesinin değerini bulunuz.

Pay ve paydadaki tüm terimleri ortak çarpan 2^{x} cinsinden yaz; 2^{x} sadeleşir, geriye sayısal bir oran kalır.

  1. Terimleri 2^{x} cinsinden aç: 2^{x+3}=8\cdot 2^{x}, 2^{x-1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2^{x}.

  2. İfade \dfrac{8\cdot 2^{x}-2^{x}}{\tfrac12\cdot 2^{x}}=\dfrac{(8-1)\,2^{x}}{\tfrac12\,2^{x}} olur.

  3. 2^{x} sadeleşir: \dfrac{7}{\tfrac12}=14.

Sonuç: 14

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

4^{x}-6\cdot 2^{x}+8=0 denkleminin reel kökleri x_1 ve x_2'dir.

Buna göre x_1+x_2 toplamı kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. 4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=\left(2^{x}\right)^{2} olduğundan 2^{x}=t değişken değiştirmesi yapalım (t > 0): denklem t^{2}-6t+8=0 olur.

  2. Çarpanlara ayır: t^{2}-6t+8=(t-2)(t-4)=0, yani t=2 veya t=4.

  3. Geri dön: 2^{x}=2 \Rightarrow x_1=1 ve 2^{x}=4=2^{2} \Rightarrow x_2=2.

  4. Toplamı bul: x_1+x_2=1+2=3.

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

Bir x reel sayısı için 3^{x+2}-3^{x+1}=54 eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre 9^{x} değeri kaçtır?

A) 27 · B) 81 · C) 243 · D) 729 · E) 2187

  1. Üslü ifadeleri ortak çarpan 3^{x} cinsinden yaz: 3^{x+2}=9\cdot 3^{x} ve 3^{x+1}=3\cdot 3^{x}.

  2. Denklem 9\cdot 3^{x}-3\cdot 3^{x}=54, yani 3^{x}(9-3)=54 olur: 6\cdot 3^{x}=54.

  3. Buradan 3^{x}=9=3^{2}, dolayısıyla x=2.

  4. İstenen 9^{x}=\left(3^{x}\right)^{2}=9^{2}=81 (veya 9^{2}=81).

Sonuç: B) 81
Örnek
Soru

x bir tam sayı olmak üzere \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x-1}\ge \dfrac{1}{32} eşitsizliği veriliyor.

Buna göre x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) -1 · B) 0 · C) 1 · D) 2 · E) 3

  1. Sağ tarafı \dfrac12 tabanında yaz: \dfrac{1}{32}=\left(\dfrac12\right)^{5}, böylece \left(\dfrac12\right)^{2x-1}\ge \left(\dfrac12\right)^{5}.

  2. Taban 0 < \dfrac12 < 1 olduğundan fonksiyon azalandır; üsleri karşılaştırırken yön değişir: 2x-1\le 5.

  3. Çöz: 2x\le 6 \Rightarrow x\le 3.

  4. x tam sayı ve x\le 3 olduğundan en büyük değer x=3'tür.

Sonuç: E) 3
Örnek
Soru

2^{x}+2^{-x}=\dfrac{5}{2} olduğuna göre 4^{x}+4^{-x} ifadesinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{9}{4} · B) \dfrac{15}{4} · C) \dfrac{17}{4} · D) \dfrac{21}{4} · E) \dfrac{25}{4}

  1. 4^{x}+4^{-x}=\left(2^{x}\right)^{2}+\left(2^{-x}\right)^{2} olduğundan, \left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2} özdeşliğinden yararlanalım.

  2. Karesini al: \left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=4^{x}+2\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}+4^{-x}=4^{x}+4^{-x}+2 (çünkü 2^{x}\cdot 2^{-x}=2^{0}=1).

  3. Sol taraf \left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4} olduğundan 4^{x}+4^{-x}+2=\dfrac{25}{4}.

  4. Buradan 4^{x}+4^{-x}=\dfrac{25}{4}-2=\dfrac{25}{4}-\dfrac{8}{4}=\dfrac{17}{4}.

Sonuç: C) \dfrac{17}{4}
Örnek
Soru

f(x)=3^{x} fonksiyonu için f(a)=2 ve f(b)=5 veriliyor.

Buna göre f(2a-b) ifadesinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{2}{5} · B) \dfrac{4}{5} · C) \dfrac{5}{4} · D) \dfrac{5}{2} · E) \dfrac{25}{4}

  1. f(a)=3^{a}=2 ve f(b)=3^{b}=5 olarak verilmiş.

  2. İstenen f(2a-b)=3^{2a-b}=\dfrac{3^{2a}}{3^{b}}=\dfrac{\left(3^{a}\right)^{2}}{3^{b}}.

  3. Yerine yaz: \dfrac{2^{2}}{5}=\dfrac{4}{5}.

Sonuç: B) \dfrac{4}{5}
Örnek
Soru

Bir bakteri kültürünün sayısı N(t)=N_0\cdot 2^{t/3} ile modelleniyor; burada t saat cinsindendir. Kültürdeki bakteri sayısının başlangıçtaki değerinin 16 katına ulaşması için geçmesi gereken süre kaç saattir?

A) 6 · B) 9 · C) 12 · D) 15 · E) 48

  1. "Başlangıç değerinin 16 katı" koşulu: N(t)=16\,N_0, yani N_0\cdot 2^{t/3}=16\,N_0.

  2. N_0 sadeleşir: 2^{t/3}=16=2^{4}.

  3. Üsleri eşitle: \dfrac{t}{3}=4 \Rightarrow t=12.

Sonuç: C) 12

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üstel denklem ve eşitsizliklerde neredeyse her zaman ilk hamle iki tarafı ortak tabana getirmektir: 4,8,16 için taban 2; 9,27,81 için taban 3; \tfrac12,\tfrac14 için yine taban 2 (negatif üsle). Tabanlar eşitlendikten sonra denklemde üsleri eşitle, eşitsizlikte ise tabanın 1'den büyük mü küçük mü olduğuna bakıp yön kuralını uygula. Toplam–fark biçimindeki denklemlerde en küçük üslü terimi parantezine almak işi kısaltır.

Üstel Fonksiyon ve Logaritma — diğer konular