TYT Matematik · Sayma, Olasılık ve İstatistik

Permütasyon ve Kombinasyon

~10 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Permütasyon ve kombinasyon, "kaç farklı şekilde?" sorusunun TYT'deki iki temel aracıdır. İkisini ayıran tek soru vardır: sıra önemli mi, değil mi? Sıralama önemliyse permütasyon, yalnızca "kimler seçildi" önemliyse kombinasyon. Bu konuda önce sayma ilkelerini ve faktöriyeli kurar, sonra her iki kavramı net bir ayrımla işleriz.

1. Sayma İlkeleri

Tüm permütasyon ve kombinasyon formülleri iki basit ilkeye dayanır.

Toplama yoluyla sayma ("ya ... ya da"): Bir iş ya $a$ farklı yolla ya da $b$ farklı yolla (aynı anda değil) yapılabiliyorsa, toplam yol sayısı $a+b$ 'dir.

Çarpma yoluyla sayma ("önce ... sonra"): Bir iş ardışık adımlardan oluşuyorsa ve birinci adım $a$ , ikinci adım $b$ farklı yolla yapılabiliyorsa, toplam yol sayısı $a\cdot b$ 'dir.

Kısa kural: "ya ... ya da" görünce topla, "önce ... sonra" (peş peşe seçim) görünce çarp.

Örnek

Soru

Bir öğrenci $3$ farklı gömlek ve $2$ farklı pantolondan kaç farklı kombin (gömlek + pantolon) oluşturabilir?

Önce gömlek seçilir ( $3$ yol), sonra pantolon seçilir ( $2$ yol). Ardışık seçim olduğundan çarparız:

$3\cdot 2=6$

Sonuç:

6

farklı kombin.

2. Faktöriyel

Bir pozitif tam sayının faktöriyeli, o sayıdan $1$ 'e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır:

$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1$

Örneğin $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ . Özel tanım gereği:

$0!=1$

Faktöriyel bölmelerinde tüm çarpanları açmaya gerek yoktur; sadeleştirme yapılır:

$\dfrac{6!}{4!}=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=6\cdot 5=30$

3. Permütasyon (Sıralama)

Permütasyon, sıranın önemli olduğu dizilişlerdir. $n$ farklı elemanın tamamının sıralanış sayısı:

$n!$

$n$ elemandan $r$ tanesinin sıralı seçimi (sıralanışı) ise:

$P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}=n\cdot (n-1)\cdots (n-r+1)$

Pratikte $P(n,r)$ , $n$ 'den başlayıp azalarak $r$ tane çarpan yazmaktır.

Örnek

Soru

$4$ kişi tek sıralı bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?

$4$ kişinin tamamı sıralanacağından tüm permütasyon sayısı:

$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$

Sonuç:

24

farklı şekilde.

Örnek

Soru

$5$ kişilik bir gruptan biri başkan, biri başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılır?

Başkan ile yardımcı farklı görevlerdir; aynı iki kişi rolleri değişince yeni bir seçim sayılır. Sıra önemli, yani permütasyon.

Sıra önemli olduğundan $P(5,2)$ kullanırız ( $5$ 'ten başlayıp azalarak $2$ çarpan):

$P(5,2)=5\cdot 4=20$

Sonuç:

20

farklı şekilde.

4. Kombinasyon (Seçme)

Kombinasyon, sıranın önemli olmadığı seçimlerdir. $n$ elemandan $r$ tanesinin seçimi:

$C(n,r)=\dbinom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Permütasyondan tek farkı paydadaki $r!$ 'dir: aynı $r$ elemanın kendi içindeki $r!$ sıralanışı tek bir grup sayıldığından bölünür.

Örnek

Soru

$5$ kişilik bir gruptan $2$ kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir?

Komisyonda görev ayrımı yok; aynı iki kişi hangi sırayla seçilirse seçilsin tek bir komisyondur. Sıra önemsiz, yani kombinasyon.

Sıra önemsiz olduğundan $C(5,2)$ kullanırız:

$C(5,2)=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=\dfrac{20}{2}=10$

Sonuç:

10

farklı komisyon.

Örnek

Soru

$8$ futbolcudan $3$ kişilik bir takım kaç farklı şekilde kurulur?

Takım bir gruptur, sıra önemsiz; $C(8,3)$ kullanırız:

$C(8,3)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{336}{6}=56$

Sonuç:

56

farklı takım.

5. Permütasyon mu, Kombinasyon mu?

Soruyu çözmeden önce verilecek tek karar: sıra önemli mi?

Durum	Hangisi?	Anahtar kelimeler
Sıra önemli	Permütasyon	sıralama, diziliş, şifre, başkan-yardımcı, sıraya dizmek
Sıra önemsiz	Kombinasyon	seçmek, grup, takım, komisyon, ikili-üçlü grup

Aynı $n$ ve $r$ için $P(n,r)$ her zaman $C(n,r)$ 'den büyük (ya da eşit) çıkar; çünkü $P(n,r)=C(n,r)\cdot r!$ .

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\dfrac{7!}{5!}+0!$ ifadesinin değeri kaçtır?

Faktöriyel bölmesini sadeleştir: $\dfrac{7!}{5!}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=7\cdot 6=42$ .
$0!=1$ olduğundan toplam $42+1=43$ olur.

Sonuç:

43

Örnek

Soru

Bir lokantada $4$ farklı çorba, $5$ farklı ana yemek ve $3$ farklı tatlı vardır. Birer çorba, ana yemek ve tatlıdan oluşan bir menü kaç farklı şekilde seçilebilir?

Üç adım ardışık seçilir: önce çorba ( $4$ ), sonra ana yemek ( $5$ ), sonra tatlı ( $3$ ).
Çarpma yoluyla sayarız: $4\cdot 5\cdot 3=60$ .

Sonuç:

60

farklı menü.

Örnek

Soru

$0,1,2,3,4$ rakamları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı $0$ olamaz; bu basamaktan başlayın.

Yüzler basamağı $0$ olamaz, kalan $4$ rakamdan biri seçilir: $4$ seçenek.
Onlar basamağına $0$ dahil kalan $4$ rakamdan biri gelir: $4$ seçenek.
Birler basamağına kalan $3$ rakamdan biri gelir: $3$ seçenek.
Çarparız: $4\cdot 4\cdot 3=48$ .

Sonuç:

48

sayı.

Örnek

Soru

$6$ farklı kitap bir rafa yan yana diziliyor. Belirli $2$ kitabın her zaman yan yana bulunduğu kaç farklı diziliş vardır?

Yan yana kalması gereken iki kitabı tek bir blok (paket) gibi düşünün.

Yan yana olacak $2$ kitabı tek bir blok say. Böylece dizilecek $5$ nesne kalır: $5!=120$ .
Bloğun içindeki $2$ kitap kendi arasında $2!=2$ şekilde yer değiştirir.
Çarparız: $120\cdot 2=240$ .

Sonuç:

240

farklı diziliş.

Örnek

Soru

$6$ erkek ve $4$ kadından oluşan bir gruptan, içinde tam $2$ kadın bulunan $4$ kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilir?

Kadınları ve erkekleri ayrı ayrı seçip sonuçları çarpın.

$4$ kadından $2$ 'sini seç: $C(4,2)=\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6$ .
Ekibin kalan $2$ kişisi erkek; $6$ erkekten $2$ 'sini seç: $C(6,2)=\dfrac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15$ .
İki bağımsız seçim çarpılır: $6\cdot 15=90$ .

Sonuç:

90

farklı ekip.

Örnek

Soru

Bir düzlemde, herhangi üçü doğrusal olmayan $7$ nokta veriliyor. Bu noktalardan geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

Bir doğru iki nokta ile belirlenir ve noktaların sırası önemsizdir.

Bir doğru $2$ noktayla belirlenir; sıra önemsiz olduğundan kombinasyon kullanılır.
$C(7,2)=\dfrac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=21$ .

Sonuç:

21

farklı doğru.

Örnek

Soru

$5$ kız ve $3$ erkek tek sıralı bir banka, erkekler yan yana (bir arada) olacak şekilde kaç farklı şekilde oturabilir?

Yan yana oturacak erkekleri tek bir blok sayın, sonra blok içini ayrıca sıralayın.

$3$ erkeği tek bir blok say. Sıralanacak nesneler: $5$ kız $+$ $1$ blok $=6$ nesne.
Bu $6$ nesne $6!=720$ şekilde sıralanır.
Blok içindeki $3$ erkek kendi arasında $3!=6$ şekilde sıralanır.
Çarparız: $720\cdot 6=4320$ .

Sonuç:

4320

farklı oturuş.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Bir kafede $4$ farklı kahve, $3$ farklı süt türü ve $2$ farklı şurup bulunmaktadır. Bir müşteri bir kahve seçip isteğe bağlı olarak yanına bir süt türü (ya da sütsüz) ve isteğe bağlı bir şurup (ya da şurupsuz) ekleyebiliyor. Bu kafede kaç farklı içecek hazırlanabilir?

A) $9$ · B) $24$ · C) $36$ · D) $48$ · E) $60$

"İsteğe bağlı" seçenekler için "hiçbirini seçmeme" de bir seçenektir; o adımın seçenek sayısına $1$ ekle.

Kahve zorunlu: $4$ seçenek.
Süt isteğe bağlı: $3$ tür $+$ "sütsüz" $=4$ seçenek.
Şurup isteğe bağlı: $2$ tür $+$ "şurupsuz" $=3$ seçenek.
Ardışık seçim, çarparız: $4\cdot 4\cdot 3=48$ .

Çeldirici: süt ve şurupta "hiç" seçeneğini saymazsan $4\cdot 3\cdot 2=24$ (B) bulup yanılırsın.

Sonuç: D)

48

Örnek

Soru

$5$ farklı kitap bir rafa diziliyor. En kalın kitabın her zaman en sağ uçta bulunduğu kaç farklı diziliş vardır?

A) $24$ · B) $48$ · C) $60$ · D) $96$ · E) $120$

Yeri sabitlenen kitabı bir kenara ayır; kalan kitaplar serbestçe sıralanır.

En kalın kitabın yeri sabit (en sağ uç): $1$ yol.
Kalan $4$ kitap diğer $4$ yere sıralanır: $4!=24$ .
Toplam: $1\cdot 24=24$ .

Çeldirici: kitabı sabitlemeyi unutup $5!=120$ (E) yazmak tipik hatadır.

Sonuç: A)

24

Örnek

Soru

Bir öğrenci, $6$ farklı seçmeli dersten en az $4$ tanesini seçmek zorundadır. Bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

A) $15$ · B) $20$ · C) $22$ · D) $31$ · E) $42$

"En az $4$ " demek $4$ , $5$ ya da $6$ ders demektir; her durumu ayrı ayrı say ve topla.

$4$ ders: $C(6,4)=C(6,2)=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15$ .
$5$ ders: $C(6,5)=C(6,1)=6$ .
$6$ ders: $C(6,6)=1$ .
Durumlar ayrık, toplarız: $15+6+1=22$ .

Çeldirici: yalnız $C(6,4)=15$ (A) ya da $5$ ve $6$ 'yı unutmak sık yapılan hatadır.

Sonuç: C)

22

Örnek

Soru

Bir sınıftan $4$ kız ve $5$ erkek öğrenci arasından, içinde en az $1$ kız bulunan $3$ kişilik bir ekip seçilecektir. Bu ekip kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) $10$ · B) $64$ · C) $74$ · D) $84$ · E) $120$

"En az $1$ kız" için tümleyeni kullan: tüm seçimlerden "hiç kız olmayan" (hepsi erkek) seçimleri çıkar.

$9$ kişiden $3$ kişilik tüm seçimler: $C(9,3)=\dfrac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84$ .
Hiç kız olmayan (hepsi erkek) seçimler: $C(5,3)=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=10$ .
En az $1$ kız: $84-10=74$ .

Çeldirici: tümleyeni çıkarmayı unutup $84$ (D) yazmak tipik hatadır.

Sonuç: C)

74

Örnek

Soru

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 8$ rakamları kullanılarak, rakamları farklı ve çift olan üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

A) $12$ · B) $24$ · C) $36$ · D) $48$ · E) $60$

Çift sayı birler basamağı çift olan sayıdır. Önce birler basamağını yerleştir, sonra kalan basamakları doldur.

Sayının çift olması için birler basamağı $\{2,8\}$ den biri olmalı: $2$ seçenek.
Yüzler basamağına kalan $4$ rakamdan biri (sıfır yok, kısıt yok): $4$ seçenek.
Onlar basamağına kalan $3$ rakamdan biri: $3$ seçenek.
Çarparız: $2\cdot 4\cdot 3=24$ .

Çeldirici: birler basamağını en sona bırakıp $5\cdot 4\cdot ?$ kurgusuna girmek karışıklık yaratır; kısıtlı basamaktan başla.

Sonuç: B)

24

Örnek

Soru

$8$ kişilik bir gruptan $3$ kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) $24$ · B) $42$ · C) $56$ · D) $84$ · E) $336$

Sıra önemsiz: $C(8,3)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56$ .

Çeldirici: paydadaki $3!$ 'i unutursan $P(8,3)=336$ (E) bulursun.

Sonuç: C)

56

Sık Yapılan Hatalar

Sıralıyı sırasızla karıştırmak. "Başkan ve yardımcı seç" sıralıdır (permütasyon), "komisyon seç" sırasızdır (kombinasyon). Önce sıranın önemli olup olmadığına karar ver.
Çarpma ile toplama yolunu karıştırmak. "Önce ... sonra" ardışık adımlar çarpılır; "ya ... ya da" ayrık durumlar toplanır.
$0!=1$ olduğunu unutmak. $C(n,n)=\dfrac{n!}{n!\,0!}=1$ gibi sonuçlarda bu tanım kullanılır.
Kombinasyonda paydadaki $r!$ 'i unutup permütasyon sonucunu yazmak.

Sınav İpucu

Soruda sıra/yer/görev önemliyse permütasyon; yalnız "kimler seçildi" önemliyse kombinasyon.
Hesabı kısaltmak için $C(n,r)=C(n,n-r)$ kısayolunu kullan. Örneğin $C(10,8)=C(10,2)=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45$ ; üç değil iki çarpanla işin biter.
$P(n,r)$ 'yi formül ezberlemeden yaz: $n$ 'den başla, azalarak $r$ çarpan al.

1. Sayma İlkeleri

2. Faktöriyel

3. Permütasyon (Sıralama)

4. Kombinasyon (Seçme)

5. Permütasyon mu, Kombinasyon mu?

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Sayma, Olasılık ve İstatistik — diğer konular