çözümebak

TYT Matematik · Sayma, Olasılık ve İstatistik

Veri ve İstatistik

~8 dk okumaZorluk: Kolay20 çözümlü soru

İstatistik, bir veri kümesini özetlemenin yollarını verir. Bu konuda bir sayı dizisinin ortalamasını, ortancasını (medyan), tepe değerini (mod) ve açıklığını hesaplamayı; ardından sütun ve daire grafiklerini doğru okumayı öğreneceğiz. TYT'de bu konu hem hızlı puan hem de grafik yorumlama sorusu olarak karşına çıkar.

1. Aritmetik Ortalama

Bir veri kümesinin aritmetik ortalaması \overline{x}, tüm değerlerin toplamının veri sayısına bölümüdür:

\overline{x}=\dfrac{\text{verilerin toplamı}}{\text{veri sayısı}}

Ortalama, verinin "ağırlık merkezini" temsil eder; aşırı büyük ya da küçük bir değerden (uç değer) etkilenir.

Örnek
Soru

4,\ 6,\ 8,\ 10 verilerinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

  1. Toplamı al: 4+6+8+10=28.
  2. Veri sayısına böl: \overline{x}=\dfrac{28}{4}=7.
Sonuç: \overline{x}=7.

2. Ortanca (Medyan)

Medyan, veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan değerdir. Sıralama yapmadan medyan bulunamaz.

Örnek
Soru

3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11 verilerinin medyanını bulunuz.

  1. Veri zaten sıralı ve 5 tane (tek sayı).
  2. Ortadaki değer 3. sıradakidir: 7.
Sonuç: Medyan =7.
Örnek
Soru

2,\ 4,\ 6,\ 8 verilerinin medyanını bulunuz.

Veri sayısı çift olduğunda medyan tek bir değer değildir; ortadaki iki değerin ortalamasını al.

  1. Veri sıralı ve 4 tane (çift sayı).
  2. Ortadaki iki değer 4 ve 6.
  3. Bunların ortalaması: \dfrac{4+6}{2}=5.
Sonuç: Medyan =5.

3. Tepe Değer (Mod)

Mod, veri kümesinde en çok tekrar eden değerdir. Bir kümede birden fazla mod olabilir; hiç tekrar yoksa mod yoktur.

Örnek
Soru

2,\ 3,\ 3,\ 5,\ 7 verilerinin modunu bulunuz.

  1. Her değerin tekrar sayısına bak: 3 değeri iki kez, diğerleri birer kez geçiyor.
  2. En çok tekrar eden değer 3 olduğundan mod 3'tür.
Sonuç: Mod =3.

4. Açıklık

Açıklık (ranj), verinin en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farktır; verinin yayılımını ölçer:

\text{Açıklık}=\text{en büyük değer}-\text{en küçük değer}

Örnek
Soru

12,\ 5,\ 9,\ 20,\ 7 verilerinin açıklığını bulunuz.

  1. En büyük değer 20, en küçük değer 5.
  2. Açıklık =20-5=15.
Sonuç: Açıklık =15.

5. Sütun Grafiği Okuma

Sütun grafiğinde her kategori (örneğin gün) bir sütunla gösterilir; sütunun yüksekliği o kategorinin değerini verir. Ortalama, medyan ve mod gibi ölçüleri doğrudan sütun yüksekliklerinden okuyabilirsin.

48610PztSalÇarPerKitap
Şekil 1 — Bir kırtasiyenin günlere göre sattığı kitap sayısı: Pazartesi 4, Salı 8, Çarşamba 6, Perşembe 10. Sütun yüksekliği o günün satışını gösterir. Dört günün ortalaması \dfrac{4+8+6+10}{4}=7 kitaptır.

6. Daire Grafiği Okuma

Daire grafiğinde bütün, 100\% ya da 360°'lik tam bir daire olarak alınır. Her seçeneğin payı bir dilim ile gösterilir. Bir dilimin merkez açısı ve yüzdesi şöyle hesaplanır:

\text{Dilim açısı}=\dfrac{\text{parça}}{\text{toplam}}\cdot 360° \qquad\qquad \text{Yüzde}=\dfrac{\text{parça}}{\text{toplam}}\cdot 100

25%25%30%20%ABCD
Şekil 2 — 40 kişinin tercih ettiği seçenekler. A seçeneğini 10 kişi seçtiyse bu dilimin merkez açısı \dfrac{10}{40}\cdot 360°=90°, yüzdesi ise \dfrac{10}{40}\cdot 100=25\% olur.
Örnek
Soru

Bir ankete katılan 40 kişiden 10'u A seçeneğini işaretlemiştir. Daire grafiğinde A seçeneğine karşılık gelen dilimin merkez açısını bulunuz.

Dilim açısı =\dfrac{\text{parça}}{\text{toplam}}\cdot 360° formülünü kullan.

  1. Parça 10, toplam 40.
  2. Formülü uygula: \dfrac{10}{40}\cdot 360°=\dfrac{1}{4}\cdot 360°=90°.
Sonuç: A diliminin merkez açısı 90°'dir.

7. Pekiştirme Sorusu

Örnek
Soru

6,\ 9,\ 4,\ 9,\ 2 veri kümesi için ortalama, medyan, mod ve açıklığı bulunuz.

Medyanı bulmadan önce veriyi mutlaka küçükten büyüğe sırala.

  1. Ortalama: \dfrac{6+9+4+9+2}{5}=\dfrac{30}{5}=6.
  2. Sırala: 2,\ 4,\ 6,\ 9,\ 9.
  3. Medyan: 5 veri (tek), ortadaki değer 6.
  4. Mod: en çok tekrar eden değer 9 (iki kez).
  5. Açıklık: 9-2=7.
Sonuç: Ortalama 6, medyan 6, mod 9, açıklık 7.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

15,\ 20,\ 25,\ 40 verilerinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

  1. Verileri topla: 15+20+25+40=100.
  2. Veri sayısı 4 olduğundan: \overline{x}=\dfrac{100}{4}=25.
Sonuç: \overline{x}=25.
Örnek
Soru

8,\ 3,\ 11,\ 6,\ 3,\ 14 verilerinin medyanını bulunuz.

  1. Veriyi küçükten büyüğe sırala: 3,\ 3,\ 6,\ 8,\ 11,\ 14.
  2. Veri sayısı 6 (çift); ortadaki iki değer 3. ve 4. sıradaki 6 ve 8'dir.
  3. Medyan bu iki değerin ortalamasıdır: \dfrac{6+8}{2}=7.
Sonuç: Medyan =7.
Örnek
Soru

5,\ 7,\ 5,\ 9,\ 7,\ 5,\ 2 verilerinin modunu ve açıklığını bulunuz.

  1. Tekrar sayılarına bak: 5 değeri 3 kez, 7 değeri 2 kez, diğerleri birer kez geçiyor.
  2. En çok tekrar eden değer 5 olduğundan mod 5'tir.
  3. Açıklık için en büyük ve en küçük değeri al: 9-2=7.
Sonuç: Mod =5, açıklık =7.
Örnek
Soru

Bir öğrencinin dört sınav notunun ortalaması 70'tir. Beşinci sınavdan 90 alırsa beş sınavın ortalaması kaç olur?

  1. Dört sınavın toplamı: 4\cdot 70=280.
  2. Beşinci notu ekle: 280+90=370.
  3. Beş sınavın ortalaması: \dfrac{370}{5}=74.
Sonuç: Yeni ortalama 74'tür.
Örnek
Soru

4,\ 8,\ x,\ 10,\ 6 verilerinin aritmetik ortalaması 7 ise x kaçtır?

  1. Ortalama formülünden toplamı yaz: \dfrac{4+8+x+10+6}{5}=7.
  2. Her iki tarafı 5 ile çarp: 28+x=35.
  3. Buradan x=35-28=7.
Sonuç: x=7.
Örnek
Soru

Bir daire grafiğinde bir dilimin merkez açısı 72°'dir. Toplam 30 kişi ankete katıldıysa bu dilime karşılık gelen kişi sayısı kaçtır?

  1. Bu dilimin oranını açıdan bul: \dfrac{72°}{360°}=\dfrac{1}{5}.
  2. Oranı toplam kişi sayısıyla çarp: \dfrac{1}{5}\cdot 30=6.
Sonuç: Bu dilime 6 kişi karşılık gelir.
Örnek
Soru

Bir sınıfta 10 kız öğrencinin not ortalaması 80, 15 erkek öğrencinin not ortalaması 70'tir. Sınıfın tümünün not ortalaması kaçtır?

  1. Kızların not toplamı: 10\cdot 80=800.
  2. Erkeklerin not toplamı: 15\cdot 70=1050.
  3. Tüm notların toplamı: 800+1050=1850, toplam öğrenci 10+15=25.
  4. Sınıf ortalaması: \dfrac{1850}{25}=74.
Sonuç: Sınıf ortalaması 74'tür.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir basketbolcunun ilk 4 maçta attığı sayıların ortalaması 14'tür. Bu oyuncu 5. maçta 24 sayı atarsa 5 maçın sayı ortalaması kaç olur?

A) 14 · B) 15 · C) 16 · D) 18 · E) 19

Ortalamayı doğrudan toplamla çalış: önce ilk 4 maçın toplamını ortalamadan geri bul.

  1. İlk 4 maçın toplamı: 4\cdot 14=56.
  2. 5. maçı ekle: 56+24=80.
  3. 5 maçın ortalaması: \dfrac{80}{5}=16.

Çeldirici: yeni notu eski ortalamayla "ortalamak" (\frac{14+24}{2}=19, E) tipik hatadır.

Sonuç: C) 16
Örnek
Soru

Bir öğrencinin 5 sınav notu 70,\ 80,\ 60,\ x,\ 90 olup bu notların ortalaması 76'dır. Bu beş notun medyanı kaçtır?

A) 70 · B) 76 · C) 78 · D) 80 · E) 82

Önce ortalamadan x'i bul, sonra notları sırala ve ortadakini al.

  1. Ortalamadan toplam: 5\cdot 76=380.
  2. x'i bul: 70+80+60+90=300, x=380-300=80.
  3. Sırala: 60,\ 70,\ 80,\ 80,\ 90.
  4. 5 veri (tek), ortadaki 3. değer medyandır: 80.

Çeldirici: x'i bulmadan sıralayıp ortancayı yanlış seçmek ya da ortalama 76'yı (B) medyan sanmak yaygın hatadır.

Sonuç: D) 80
Örnek
Soru

Bir manavın bir hafta boyunca sattığı karpuz sayıları aşağıdaki sütun grafiğinde verilmiştir.

48610PztSalÇarPerKitap
Şekil 3 — Dört günün satışları: Pazartesi 4, Salı 8, Çarşamba 6, Perşembe 10.

Bu dört günün satış verilerinin ortalaması ile medyanı arasındaki fark kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) 2 · D) 3 · E) 4

Ortalama için topla böl; medyan için verileri sırala. Çift sayıda veride medyan ortadaki iki değerin ortalamasıdır.

  1. Ortalama: \dfrac{4+8+6+10}{4}=\dfrac{28}{4}=7.
  2. Sırala: 4,\ 6,\ 8,\ 10.
  3. Medyan (çift veri): \dfrac{6+8}{2}=7.
  4. Fark: 7-7=0.

Çeldirici: sütunları sırasız (grafikteki gün sırasıyla) alıp medyanı \frac{8+6}{2}=7 dışında yanlış hesaplamak ya da medyanı tek değer sanmak yaygın hatadır.

Sonuç: A) 0
Örnek
Soru

40 kişilik bir grubun en sevdiği meyve daire grafiğinde gösterilmiştir. Elma dilimi 90°, muz dilimi 108°'lik merkez açısına sahiptir. Elmayı seçenlerin sayısı, muzu seçenlerin sayısından kaç fazla ya da eksiktir?

A) 2 eksik · B) 2 fazla · C) 4 eksik · D) 4 fazla · E) eşit

Her dilimin kişi sayısı \dfrac{\text{açı}}{360°}\cdot 40 ile bulunur. İki sonucu karşılaştır.

  1. Elma: \dfrac{90}{360}\cdot 40=\dfrac{1}{4}\cdot 40=10 kişi.
  2. Muz: \dfrac{108}{360}\cdot 40=\dfrac{3}{10}\cdot 40=12 kişi.
  3. Fark: 10-12=-2, yani elmayı seçenler 2 kişi eksiktir.

Çeldirici: açı farkını (108-90=18) doğrudan kişi farkı sanmak tipik hatadır.

Sonuç: A) 2 eksik
Örnek
Soru

6 kişilik bir takımın yaşları 14,\ 15,\ 15,\ 16,\ 18,\ x şeklindedir. Bu verilerin açıklığı 7 olduğuna göre x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 11 · B) 18 · C) 21 · D) 22 · E) 25

Açıklık = en büyük - en küçük. x en büyük olursa en küçük yine 14 kalır.

  1. x dışındaki değerlerde en küçük 14, en büyük 18.
  2. x en büyük değer ise açıklık x-14=7, buradan x=21.
  3. (x en küçük olsaydı 18-x=7, x=11 olurdu; bu küçük değerdir.) En büyük x=21.

Çeldirici: en küçük durumu (x=11, A) ile en büyük durumu karıştırmak yaygın hatadır.

Sonuç: C) 21
Örnek
Soru

2,\ 4,\ 4,\ 6,\ 8 verilerinin modu kaçtır?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) 6 · E) 8

  1. En çok tekrar eden değer 4'tür (iki kez).

Çeldirici: modu ortalama (\frac{24}{5}=4{,}8) ya da medyan (4) ile karıştırmamaya dikkat; burada medyan da 4 olsa da soru modu sorar.

Sonuç: C) 4

Sık Yapılan Hatalar

Sınav ipucu: Medyanda önce SIRALA. Daire grafiğinde dilim açısı =\dfrac{\text{parça}}{\text{toplam}}\cdot 360°, yüzde =\dfrac{\text{parça}}{\text{toplam}}\cdot 100.

Sayma, Olasılık ve İstatistik — diğer konular