çözümebak

9. Sınıf · Eşlik ve Benzerlik

Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

~8 dk okumaZorluk: Orta15 çözümlü soru

Benzerliğin en güçlü üç sonucu Tales, Öklid ve Pisagor teoremleridir. Bu derste paralel doğruların kenarları orantılı böldüğünü (Tales), dik üçgende yüksekliğin kurduğu bağıntıları (Öklid) ve dik kenarlarla hipotenüs arasındaki ünlü ilişkiyi (Pisagor) öğreneceğiz. Bu üç teorem, geometri ve analitik geometride uzunluk hesabının belkemiğidir. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Tales Teoremi

Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara böler. Daha genel olarak, paralel doğru demeti, kestiği doğrularda orantılı parçalar oluşturur:

\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|AE|}{|EC|}

BCADE364xDE ∥ BC
Şekil 1 — ABC üçgeninde BC kenarına paralel DE doğrusu. Kenarları orantılı böler: \dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|AE|}{|EC|}.
Örnek
Soru

Bir üçgende tabana paralel bir doğru çiziliyor. |AD|=4, |DB|=6 ve |AE|=6 ise |EC| kaçtır?

  1. Tales orantısı: \dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|AE|}{|EC|}, yani \dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{|EC|}.
  2. İçler-dışlar: 4\cdot|EC|=36\Rightarrow |EC|=9.
Sonuç: |EC|=9.

2. Öklid Bağıntıları

Dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik h üçgeni iki küçük üçgene böler. Hipotenüsün ayrılan parçaları p ve k olmak üzere:

h^2=p\cdot k \qquad\qquad a^2=p\cdot c \quad\text{(bir dik kenarın karesi)}

Burada c hipotenüs, p ise o dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür. Bu bağıntılar üçgenin benzerliğinden gelir.

Örnek
Soru

Bir dik üçgende, dik açıdan inen yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalar 4 ve 9'dur. Yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.

Öklid'in yükseklik bağıntısı: yükseklik^2 = iki parçanın çarpımı.

  1. h^2=p\cdot k=4\cdot 9=36.
  2. h=\sqrt{36}=6.
Sonuç: h=6.

3. Pisagor Teoremi

Dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

a^2+b^2=c^2

Burada c en uzun kenar olan hipotenüs (dik açının karşısı), a ve b ise dik kenarlardır.

abc
Şekil 2 — Dik kenarları a ve b, hipotenüsü c olan dik üçgen. a^2+b^2=c^2'dir.

Sık geçen tam sayı üçlüleri (Pisagor üçlüleri): (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) ve bunların katları.

Örnek
Soru

Dik kenarları 6 ve 8 olan dik üçgenin hipotenüsünü bulunuz.

  1. Pisagor: c^2=6^2+8^2=36+64=100.
  2. c=\sqrt{100}=10.
Sonuç: c=10 (bu bir 3\text{-}4\text{-}5 üçlüsünün 2 katıdır).

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Tales'e göre \dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{2}{3} ve |AE|=8 ise |EC| kaçtır?

  1. \dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|AE|}{|EC|}\Rightarrow \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{|EC|}.
  2. 2\cdot|EC|=24\Rightarrow |EC|=12.
Sonuç: 12.
Örnek
Soru

Bir dik üçgende hipotenüse inen yükseklik 12, hipotenüsün bir parçası 9'dur. Diğer parça kaçtır?

  1. Öklid: h^2=p\cdot k\Rightarrow 12^2=9\cdot k.
  2. 144=9k\Rightarrow k=16.
Sonuç: 16.
Örnek
Soru

Hipotenüsü 13, bir dik kenarı 5 olan dik üçgenin diğer dik kenarını bulunuz.

  1. Pisagor: 5^2+b^2=13^2\Rightarrow 25+b^2=169.
  2. b^2=144\Rightarrow b=12.
Sonuç: b=12 (5\text{-}12\text{-}13 üçlüsü).
Örnek
Soru

Kenar uzunlukları 9,\ 12,\ 15 olan üçgen dik üçgen midir?

  1. En uzun kenar 15; Pisagor'u dene: 9^2+12^2=81+144=225.
  2. 15^2=225; eşitlik sağlanıyor.
Sonuç: Evet, dik üçgendir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

Tales orantısında \dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{3}{5} ve |EC|=20 ise |AE| kaçtır?

  1. \dfrac{3}{5}=\dfrac{|AE|}{20}\Rightarrow 5\cdot|AE|=60\Rightarrow |AE|=12.
Sonuç: 12.
Örnek
Soru

Hipotenüse inen yüksekliğin ayırdığı parçalar 2 ve 8 ise yükseklik kaçtır?

  1. h^2=2\cdot 8=16\Rightarrow h=4.
Sonuç: 4.
Örnek
Soru

Dik kenarları 9 ve 12 olan dik üçgenin hipotenüsü kaçtır?

  1. c^2=9^2+12^2=81+144=225\Rightarrow c=15.
Sonuç: 15.
Örnek
Soru

Hipotenüsü 17, bir dik kenarı 8 olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaçtır?

  1. 8^2+b^2=17^2\Rightarrow 64+b^2=289\Rightarrow b^2=225\Rightarrow b=15.
Sonuç: 15 (8\text{-}15\text{-}17 üçlüsü).
Örnek
Soru

Bir merdiven duvara dayanıyor; ayağı duvardan 3 m, üst ucu yerden 4 m yüksekte. Merdivenin boyu kaç metredir?

  1. Duvar–yer–merdiven bir dik üçgendir: c^2=3^2+4^2=9+16=25.
  2. c=5.
Sonuç: 5 m.
Örnek
Soru

Bir üçgende BC kenarına paralel DE doğrusu çiziliyor. |AD|=6, |DB|=4 ve |AB| üzerindeki toplam uzunluk biliniyor. |AC|=15 ise |AE| kaçtır?

Tales'i tüm kenar üzerinden de kurabilirsin: \dfrac{|AD|}{|AB|}=\dfrac{|AE|}{|AC|}. Önce |AB|=|AD|+|DB|.

  1. |AB|=6+4=10, yani \dfrac{|AD|}{|AB|}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
  2. \dfrac{|AE|}{|AC|}=\dfrac{3}{5}: \dfrac{|AE|}{15}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow 5\cdot|AE|=45\Rightarrow |AE|=9.
Sonuç: 9.
Örnek
Soru

Bir dik üçgende hipotenüsün parçaları p=4 ve k=9'dur. Hipotenüse inen yüksekliği ve bu yüksekliğin küçük parçaya komşu dik kenarını (p=4 izdüşümlü kenarı) bulunuz.

Yükseklik için h^2=p\cdot k; dik kenar için a^2=p\cdot c kullan; burada c=p+k tüm hipotenüstür.

  1. Hipotenüs: c=p+k=4+9=13.
  2. Yükseklik: h^2=4\cdot 9=36\Rightarrow h=6.
  3. İzdüşümü p=4 olan dik kenar: a^2=p\cdot c=4\cdot 13=52\Rightarrow a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.
Sonuç: h=6 ve a=2\sqrt{13}.
Örnek
Soru

Bir dik üçgende dik kenarlar a ve b, hipotenüs c=10'dur. a=b (ikizkenar dik üçgen) ise a kaçtır?

Pisagor'da a=b yaz: a^2+a^2=c^2. Çıkan kökü sadeleştir.

  1. a^2+a^2=10^2\Rightarrow 2a^2=100\Rightarrow a^2=50.
  2. a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Sonuç: a=5\sqrt{2}.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Üç teoremin de kaynağı benzerliktir. Bir dik üçgen sorusunda önce Pisagor üçlülerini hatırla (3\text{-}4\text{-}5, 5\text{-}12\text{-}13); çoğu soru bunların katıdır ve işini çok hızlandırır.

Eşlik ve Benzerlik — diğer konular