9. Sınıf · Eşlik ve Benzerlik

Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

~8 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

İki üçgen ya birebir aynıdır (eş) ya da biri diğerinin büyütülmüş/küçültülmüş hâlidir (benzer). Bu derste eşlik ve benzerliğin koşullarını (K.A.K, A.K.A, A.A gibi), benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların orantılı olduğunu ve benzerlik oranını öğreneceğiz. Benzerlik, doğrudan ölçülemeyen uzunlukları (gölge boyu, harita ölçeği) bulmanın anahtarıdır. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Eşlik

İki üçgen, karşılıklı kenarları ve açıları birebir eşitse eştir ( $\cong$ ). Eşliği kanıtlamak için tüm altı ölçüye gerek yoktur; şu koşullardan biri yeter:

K.K.K — üç kenar karşılıklı eşit.
K.A.K — iki kenar ve aralarındaki açı eşit.
A.K.A — iki açı ve aralarındaki kenar eşit.

Eş üçgenlerin benzerlik oranı $1$ 'dir (aynı boyut).

Örnek

Soru

$ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinde $|AB|=|DE|$ , $\widehat{A}=\widehat{D}$ ve $|AC|=|DF|$ veriliyor. Bu üçgenler eş midir? Hangi kurala göre?

İki kenar ( $AB=DE$ , $AC=DF$ ) ve aralarındaki açı ( $\widehat{A}=\widehat{D}$ ) eşit.
Bu, K.A.K eşlik kuralıdır.

Sonuç: Evet, K.A.K kuralına göre eştir.

2. Benzerlik

İki üçgen, karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise benzerdir ( $\sim$ ). Benzerliği göstermek için en pratik koşul:

A.A — iki açısı karşılıklı eşit olan üçgenler benzerdir (üçüncü açı zaten eşit olur).

Şekil 1 — Karşılıklı açıları eşit iki benzer üçgen. Karşılıklı kenarlar aynı oranda büyür; bu ortak orana benzerlik oranı (

k

) denir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı sabittir:

$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}=k$

Örnek

Soru

$ABC\sim DEF$ ve benzerlik oranı $k=\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{3}{1}$ 'dir. $|DE|=5$ ise $|AB|$ kaçtır?

Oran: $\dfrac{|AB|}{|DE|}=3$ .
$|AB|=3\cdot|DE|=3\cdot 5=15$ .

Sonuç:

|AB|=15

3. Benzerlik Oranı ve Kenarlar

Benzer üçgenlerde bir kenar verildiğinde, karşılığı orantıyla bulunur. Karşılıklı kenarları doğru eşlemek için eşit açıların karşısındaki kenarları eşle.

Örnek

Soru

İki benzer üçgende küçük üçgenin kenarları $3,\ 4,\ 5$ ; büyük üçgenin en kısa kenarı $9$ 'dur. Büyük üçgenin diğer kenarlarını bulunuz.

Önce benzerlik oranını bul: en kısa kenarları oranla. Sonra her kenarı bu oranla çarp.

Benzerlik oranı: $k=\dfrac{9}{3}=3$ .
Diğer kenarlar: $4\cdot 3=12$ ve $5\cdot 3=15$ .

Sonuç:

12

15

4. Gerçek Hayatta Benzerlik

Aynı anda, aynı yerde duran cisimler güneşle aynı açıyı oluşturduğundan cisim–gölge üçgenleri benzerdir. Bu, doğrudan ölçemeyeceğin yükseklikleri bulmaya yarar.

Örnek

Soru

Boyu $1{,}5$ m olan bir kişinin gölgesi $2$ m iken, aynı anda bir ağacın gölgesi $10$ m'dir. Ağacın boyu kaç metredir?

Kişi ve ağaç için "boy / gölge" oranları eşittir: $\dfrac{1{,}5}{2}=\dfrac{h}{10}$ .
İçler-dışlar çarpımı: $2h=15\Rightarrow h=7{,}5$ .

Sonuç: Ağacın boyu

7{,}5

m'dir.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$ABC\sim KLM$ , benzerlik oranı $k=2$ 'dir. $|KL|=6$ ise $|AB|$ kaçtır?

$\dfrac{|AB|}{|KL|}=k=2$ .
$|AB|=2\cdot 6=12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

İki üçgende $\widehat{A}=\widehat{D}=50°$ ve $\widehat{B}=\widehat{E}=60°$ veriliyor. Bu üçgenler benzer midir?

İki çift karşılıklı açı eşit (A.A).
A.A koşulu sağlandığından üçgenler benzerdir.

Sonuç: Evet, A.A kuralına göre benzerdir.

Örnek

Soru

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı $\dfrac{2}{3}$ 'tür. Küçük üçgenin bir kenarı $8$ ise büyük üçgendeki karşılığı kaçtır?

Oran $\dfrac{\text{küçük}}{\text{büyük}}=\dfrac{2}{3}$ : $\dfrac{8}{x}=\dfrac{2}{3}$ .
İçler-dışlar: $2x=24\Rightarrow x=12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

Bir cetvel $30$ cm boyunda olup $12$ cm gölge bırakıyor. Aynı anda bir direğin gölgesi $4$ m ise direğin boyu kaç metredir?

Oran eşit: $\dfrac{0{,}30}{0{,}12}=\dfrac{h}{4}$ (metre).
$\dfrac{30}{12}=2{,}5$ , yani $h=2{,}5\cdot 4=10$ .

Sonuç:

10

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$ABC\sim DEF$ , $k=4$ . $|DE|=3$ ise $|AB|$ kaçtır?

$|AB|=4\cdot 3=12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

İki üçgende $\widehat{A}=\widehat{D}$ ve $\widehat{C}=\widehat{F}$ ise üçgenler benzer midir?

İki açı karşılıklı eşit (A.A) → benzer.

Sonuç: Evet, A.A'dan benzerdir.

Örnek

Soru

Küçük üçgenin kenarları $6,\ 8,\ 10$ ; büyük üçgenin benzerlik oranı $k=2{,}5$ 'tir. Büyük üçgenin en uzun kenarını bul.

En uzun kenar $10$ ; $10\cdot 2{,}5=25$ .

Sonuç:

25

Örnek

Soru

Boyu $1{,}8$ m olan biri $1{,}2$ m gölge bırakırken bir binanın gölgesi $20$ m'dir. Binanın boyu kaç metredir?

$\dfrac{1{,}8}{1{,}2}=\dfrac{h}{20}$ ; $\dfrac{1{,}8}{1{,}2}=1{,}5$ .
$h=1{,}5\cdot 20=30$ .

Sonuç:

30

Örnek

Soru

İki eş üçgenin benzerlik oranı kaçtır?

Eş üçgenler aynı boyuttadır; karşılıklı kenar oranı $1$ 'dir.

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinde $|AB|=|DE|=7$ , $|BC|=|EF|=5$ ve $|AC|=|DF|=9$ veriliyor. Bu üçgenler eş midir? Hangi kurala göre?

Üç kenar da karşılıklı eşit: $AB=DE$ , $BC=EF$ , $AC=DF$ .
Bu, K.K.K eşlik kuralıdır.

Sonuç: Evet, K.K.K kuralına göre eştir.

Örnek

Soru

$ABC\sim DEF$ ve benzerlik oranı $k=3$ 'tür. Küçük üçgen $DEF$ 'in çevresi $12$ cm ise büyük üçgen $ABC$ 'nin çevresi kaç cm'dir?

Benzer üçgenlerde çevreler oranı da kenar oranı $k$ 'ye eşittir.

Her kenar $k=3$ ile çarpıldığından çevre de $3$ katına çıkar.
Çevre $=3\cdot 12=36$ cm.

Sonuç:

36

cm.

Örnek

Soru

$ABC\sim DEF$ , benzerlik oranı $k=\dfrac{5}{2}$ 'dir. $|AB|=15$ ve $|EF|=4$ ise $|DE|$ ve $|BC|$ uzunluklarını bulunuz.

$k=\dfrac{\text{büyük}}{\text{küçük}}$ . $AB$ büyük üçgende, $EF$ küçük üçgendedir; her birini ayrı orantıyla çöz.

$\dfrac{|AB|}{|DE|}=k$ : $\dfrac{15}{|DE|}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow 5\cdot|DE|=30\Rightarrow |DE|=6$ .
$\dfrac{|BC|}{|EF|}=k$ : $\dfrac{|BC|}{4}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow 2\cdot|BC|=20\Rightarrow |BC|=10$ .

Sonuç:

|DE|=6

|BC|=10

Sık Yapılan Hatalar

Eşlik ile benzerliği karıştırmak. Eşlik birebir aynıdır ( $k=1$ ); benzerlik aynı şekil ama farklı boyuttur ( $k\neq 1$ olabilir).
Karşılıklı kenarları yanlış eşlemek. Orantıda eşit açıların karşısındaki kenarları eşle; sırayı karıştırma.
Benzerlik oranını ters kurmak. $\dfrac{\text{büyük}}{\text{küçük}}$ ile $\dfrac{\text{küçük}}{\text{büyük}}$ farklıdır; hangi üçgeni paya yazdığına dikkat et.
Gölge probleminde birimleri karıştırmak. Oran kurarken tüm uzunlukları aynı birime çevir (hepsi cm ya da hepsi m).
Çevre ve alan oranını kenar oranıyla eşit sanmak. Benzer üçgenlerde çevreler oranı $k$ 'dir, ama alanlar oranı $k^2$ 'dir. Örneğin $k=3$ ise alan $9$ katına çıkar.

Not: Üçgenlerin benzer olduğunu göstermenin en hızlı yolu A.A'dır: iki açı karşılıklı eşitse üçgenler benzerdir. Sonra kenarları orantıyla çöz.

1. Eşlik

2. Benzerlik

3. Benzerlik Oranı ve Kenarlar

4. Gerçek Hayatta Benzerlik

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Eşlik ve Benzerlik — diğer konular