12. Sınıf · Trigonometri

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

~7 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

" $\sin x=\dfrac12$ ise $x$ kaçtır?" sorusunun cevabını veren fonksiyonlar ters trigonometrik fonksiyonlardır: $\arcsin$ , $\arccos$ ve $\arctan$ . Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için bire bir olması gerekir; oysa $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ periyodik oldukları için bire bir değildir. Bu yüzden tanım kümelerini uygun bir aralığa kısıtlarız ve ancak o zaman tersini tanımlarız. Bu derste bu kısıtlamaları, ters fonksiyonların tanım ve değer kümelerini, temel değerlerini ve $\sin(\arccos x)$ gibi bileşke ifadeleri öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Neden Kısıtlama Gerekir?

$y=\sin x$ grafiğine yatay bir doğru çizersen onu sonsuz noktada keser; yani $\sin x=\dfrac12$ denkleminin sonsuz çözümü vardır. Tek bir cevap verebilmek için $\sin$ 'i, tüm değerlerini bir kez aldığı artan bir aralığa kısıtlarız: $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Şekil 1 —

y=\sin x

periyodiktir, bir yatay doğru sonsuz kez keser; bire bir değildir.

\arcsin

tanımlamak için tanım kümesini

\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

aralığına kısıtlarız (sinüsün

-1

'den

1

'e bir kez arttığı aralık).

Kısıtlanmış aralıklarda her fonksiyon bire bir olur ve tersi tanımlanır:

Fonksiyon	Kısıtlı tanım kümesi	Ters fonksiyon	Değer kümesi
$\sin$	$\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$	$\arcsin$	$\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$
$\cos$	$[0,\pi]$	$\arccos$	$[0,\pi]$
$\tan$	$\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$	$\arctan$	$\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$

2. Arcsin Fonksiyonu

$\arcsin x$ (veya $\sin^{-1}x$ ), "sinüsü $x$ olan, $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığındaki açı"dır:

$\arcsin x=\theta \iff \sin\theta=x \quad\text{ve}\quad \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

Tanım kümesi $[-1,1]$ , değer kümesi $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 'dir. Cevap daima bu aralıktadır — negatif girdi için cevap dördüncü bölge (negatif açı) verir, II. veya III. bölge değil.

Örnek

Soru

$\arcsin\dfrac12$ ve $\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ değerlerini bulunuz.

Cevabın $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında olması gerektiğini unutma. Negatif girdide cevap negatif bir açıdır.

$\sin\theta=\dfrac12$ ve $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ : $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ .
$\sin\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ ve $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ : $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$ (IV. bölge, çünkü cevap bu aralıkta olmalı).

Sonuç:

\arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}

\quad\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{3}

3. Arccos Fonksiyonu

$\arccos x$ , "kosinüsü $x$ olan, $[0,\pi]$ aralığındaki açı"dır:

$\arccos x=\theta \iff \cos\theta=x \quad\text{ve}\quad \theta\in[0,\pi]$

Tanım kümesi $[-1,1]$ , değer kümesi $[0,\pi]$ 'dir. Dikkat: negatif girdide cevap ikinci bölgededir (örneğin $\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}$ ), çünkü cevap $[0,\pi]$ içinde kalmalıdır.

Örnek

Soru

$\arccos\left(-\dfrac12\right)$ ve $\arccos 0$ değerlerini bulunuz.

$\cos\theta=-\dfrac12$ ve $\theta\in[0,\pi]$ : II. bölgede $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ (çünkü $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12$ ).
$\cos\theta=0$ ve $\theta\in[0,\pi]$ : $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ .

Sonuç:

\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}

\quad\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}

4. Arctan Fonksiyonu

$\arctan x$ , "tanjantı $x$ olan, $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ aralığındaki açı"dır:

$\arctan x=\theta \iff \tan\theta=x \quad\text{ve}\quad \theta\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

Tanım kümesi tüm gerçek sayılardır ( $\mathbb{R}$ ), çünkü tanjant her değeri alır; değer kümesi $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ (uçlar dahil değil). Birim çember, bu temel değerleri görmenin en kolay yoludur.

Şekil 2 — Birim çemberde bir açı ve uç noktası

P=(\cos\alpha,\sin\alpha)

. Ters trigonometrik fonksiyonlar bu işlemi tersine çevirir: bir koordinat değeri verilir, ona karşılık gelen (uygun aralıktaki)

\alpha

açısı bulunur.

Örnek

Soru

$\arctan 1$ ve $\arctan\left(-\sqrt3\right)$ değerlerini bulunuz.

$\tan\theta=1$ ve $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ : $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ .
$\tan\theta=-\sqrt3$ ve $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ : $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$ (çünkü $\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$ ).

Sonuç:

\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}

\quad\arctan\left(-\sqrt3\right)=-\dfrac{\pi}{3}

5. Bileşke (İç İçe) İfadeler

$\sin(\arccos x)$ gibi ifadelerde içteki ters fonksiyonun ürettiği açıya bir ad ( $\theta$ ) verip dik üçgen veya $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ özdeşliğini kullanırız. İşaret, ters fonksiyonun değer kümesinden belirlenir.

İki kullanışlı özdeşlik (tanım kümesi içindeki her $x$ için): $\sin(\arcsin x)=x$ ve $\cos(\arccos x)=x$ . Ama dikkat: $\arcsin(\sin x)$ daima $x$ değildir — yalnız $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ ise $x$ 'tir.

Örnek

Soru

$\cos\left(\arcsin\dfrac35\right)$ değerini bulunuz.

$\theta=\arcsin\dfrac35$ de; o zaman $\sin\theta=\dfrac35$ ve $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , yani $\cos\theta\ge 0$ . $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}$ .

$\theta=\arcsin\dfrac35$ olsun: $\sin\theta=\dfrac35$ , $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ olduğundan $\cos\theta\ge 0$ .
$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac45$ .

Sonuç:

\cos\left(\arcsin\dfrac35\right)=\dfrac45

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\arcsin\left(-\dfrac12\right)+\arccos\left(-\dfrac12\right)$ toplamını bulunuz.

$\arcsin\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{\pi}{6}$ (cevap $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında).
$\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}$ (cevap $[0,\pi]$ aralığında).
Topla: $-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ .

Sonuç:

\dfrac{\pi}{2}

Örnek

Soru

$\tan\left(\arccos\dfrac{4}{5}\right)$ değerini bulunuz.

$\theta=\arccos\dfrac45$ de; $\cos\theta=\dfrac45$ , $\theta\in[0,\pi]$ ve $\dfrac45>0$ olduğundan $\theta$ I. bölgede, $\sin\theta\ge 0$ . Önce $\sin\theta$ 'yı bul.

$\theta=\arccos\dfrac45$ : $\cos\theta=\dfrac45$ . Girdi pozitif olduğundan $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ , $\sin\theta\ge 0$ .
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac35$ .
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac34$ .

Sonuç:

\tan\left(\arccos\dfrac45\right)=\dfrac34

Örnek

Soru

$\arccos\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}\right)$ değerini bulunuz.

Cevap $[0,\pi]$ aralığında olmalı; $\dfrac{4\pi}{3}$ bu aralıkta değil. Önce $\cos\dfrac{4\pi}{3}$ 'ü bul, sonra $[0,\pi]$ içinde aynı kosinüsü veren açıyı ara.

$\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac12$ .
$\arccos\left(-\dfrac12\right)$ , $[0,\pi]$ aralığında kosinüsü $-\dfrac12$ olan açıdır: $\dfrac{2\pi}{3}$ .
(Dikkat: $\dfrac{4\pi}{3}$ değer kümesi dışında olduğundan cevap $\dfrac{4\pi}{3}$ değildir.)

Sonuç:

\dfrac{2\pi}{3}

Örnek

Soru

$\sin\left(\arctan\dfrac{5}{12}\right)$ değerini bulunuz.

$\theta=\arctan\dfrac{5}{12}$ : $\tan\theta=\dfrac{5}{12}$ . Girdi pozitif, $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , tüm oranlar pozitif.
Dik üçgen: karşı kenar $5$ , komşu kenar $12$ , hipotenüs $\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ .
$\sin\theta=\dfrac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}=\dfrac{5}{13}$ .

Sonuç:

\sin\left(\arctan\dfrac{5}{12}\right)=\dfrac{5}{13}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$\arccos 1$ ve $\arcsin 1$ değerlerini bul.

$\cos\theta=1$ , $\theta\in[0,\pi]$ : $\theta=0$ .
$\sin\theta=1$ , $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ : $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ .

Sonuç:

\arccos 1=0

\quad\arcsin 1=\dfrac{\pi}{2}

Örnek

Soru

$\arctan 0+\arctan\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$ toplamını bul.

$\arctan 0=0$ .
$\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{1}{\sqrt3}$ , $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ : $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ .
Topla: $0+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$ .

Sonuç:

\dfrac{\pi}{6}

Örnek

Soru

$\cos\left(\arccos\dfrac{2}{7}\right)$ değerini bul.

$\dfrac27\in[-1,1]$ olduğundan $\cos(\arccos x)=x$ özdeşliği geçerlidir.
Sonuç doğrudan $\dfrac27$ 'dir.

Sonuç:

\dfrac27

Örnek

Soru

$\arcsin\dfrac{\sqrt2}{2}+\arccos\dfrac{\sqrt2}{2}$ toplamını bul.

$\arcsin\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\pi}{4}$ .
$\arccos\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\pi}{4}$ .
Topla: $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ (genel kural: $\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$ ).

Sonuç:

\dfrac{\pi}{2}

Örnek

Soru

$\sin\left(\arccos\dfrac{1}{2}\right)$ değerini bul.

$\theta=\arccos\dfrac12=\dfrac{\pi}{3}$ .
$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Sonuç:

\dfrac{\sqrt3}{2}

Örnek

Soru

$\tan\left(\arcsin\dfrac{3}{5}\right)$ değerini bul.

$\theta=\arcsin\dfrac35$ de; karşı kenar $3$ , hipotenüs $5$ olan dik üçgenden komşu kenarı bul. $\theta$ I. bölgede olduğundan tüm oranlar pozitif.

$\theta=\arcsin\dfrac35$ : $\sin\theta=\dfrac35$ , girdi pozitif → $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ .
Dik üçgen: karşı $3$ , hipotenüs $5$ , komşu $\sqrt{5^2-3^2}=4$ .
$\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ .

Sonuç:

\dfrac34

Örnek

Soru

$\arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)$ değerini bul.

Cevap $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında olmalı; $\dfrac{5\pi}{6}$ bu aralıkta değil. Önce $\sin\dfrac{5\pi}{6}$ 'yı bul, sonra aralık içinde aynı sinüsü veren açıyı ara.

$\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$ .
$\arcsin\dfrac12$ , $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında sinüsü $\dfrac12$ olan açıdır: $\dfrac{\pi}{6}$ .
Demek ki sonuç $\dfrac{5\pi}{6}$ değil, $\dfrac{\pi}{6}$ 'dır.

Sonuç:

\dfrac{\pi}{6}

Örnek

Soru

$\cos\left(\arcsin x\right)$ ifadesini $x\in[-1,1]$ için $x$ cinsinden yaz.

$\theta=\arcsin x$ de; $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ olduğundan bu aralıkta $\cos\theta\ge 0$ — yani kök pozitif alınır.

$\theta=\arcsin x$ : $\sin\theta=x$ ve $\theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , bu aralıkta $\cos\theta\ge 0$ .
$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-x^2}$ (pozitif kök).

Sonuç:

\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}

Örnek

Soru

$\sin\left(2\arctan\dfrac{1}{3}\right)$ değerini bul.

$\theta=\arctan\dfrac13$ de; iki kat açı formülü $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ gerekir. Önce dik üçgenden $\sin\theta$ ve $\cos\theta$ 'yı bul.

$\theta=\arctan\dfrac13$ : $\tan\theta=\dfrac13$ , I. bölge. Dik üçgen: karşı $1$ , komşu $3$ , hipotenüs $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ .
$\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ , $\cos\theta=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ .
İki kat açı: $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$ .

Sonuç:

\dfrac35

Sık Yapılan Hatalar

Değer kümesini görmezden gelmek. $\arcsin$ ve $\arctan$ cevapları $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , $\arccos$ cevapları $[0,\pi]$ içinde olmalıdır. Negatif girdide $\arccos$ II. bölge verir, $\arcsin$ ise negatif (IV. bölge) açı verir.
$\arcsin(\sin x)=x$ sanmak. Bu yalnız $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ ise doğrudur; başka aralıklarda önce $\sin x$ hesaplanıp değer kümesindeki açı bulunur.
Tanım kümesini aşmak. $\arcsin x$ ve $\arccos x$ yalnız $x\in[-1,1]$ için tanımlıdır; $\arcsin 2$ tanımsızdır. ( $\arctan$ ise her gerçek sayıda tanımlıdır.)
Bileşkede işareti yanlış almak. $\cos(\arcsin x)$ gibi ifadelerde kökün işareti, içteki ters fonksiyonun değer kümesine bakılarak seçilir; $\arcsin$ ve $\arccos$ 'un kapsadığı aralıkta kosinüs/sinüs işareti farklı çıkabilir.

Not: Ters trigonometrik bir değer sorulduğunda iki şeyi birlikte düşün: "hangi açının" trigonometrik değeri bu ve "o açı hangi aralıkta olmalı". Bileşke ifadelerde içteki açıya $\theta$ adını ver, dik üçgen kur veya $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ kullan; işareti daima değer kümesinden doğrula.

1. Neden Kısıtlama Gerekir?

2. Arcsin Fonksiyonu

3. Arccos Fonksiyonu

4. Arctan Fonksiyonu

5. Bileşke (İç İçe) İfadeler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Trigonometri — diğer konular