çözümebak

12. Sınıf · Trigonometri

Yarım Açı ve Dönüşüm Formülleri

~8 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

Toplam-fark ve iki kat açı formüllerinin doğal devamı olan üç formül ailesini öğreneceğiz: yarım açı formülleri (bir açının yarısının sinüs-kosinüs-tanjantı), toplam-çarpım (iki trigonometrik değerin toplamını çarpıma çevirme) ve çarpım-toplam (çarpımı toplama çevirme). Bu formüller, doğrudan hesaplanamayan açıları (\tfrac{\pi}{8}, \tfrac{\pi}{12} gibi) değerlendirmeye, trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırmaya ve integral hesaplarında ifadeleri sadeleştirmeye yarar. Hepsi iki kat açı formüllerinden türer; ezberden çok nereden geldiğini kavramaya odaklanacağız. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Yarım Açı Formülleri (Sinüs ve Kosinüs)

İki kat açı kosinüs formülünü hatırla: \cos 2x = 1-2\sin^2 x = 2\cos^2 x-1. Burada 2x yerine \alpha, dolayısıyla x yerine \tfrac{\alpha}{2} yazarsak yarım açı formüllerini elde ederiz:

\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\qquad\qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}

Kök alınca işaret, \tfrac{\alpha}{2}'nin bulunduğu bölgeye göre belirlenir:

\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\qquad\qquad \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}

Örnek
Soru

\cos 22{,}5^\circ değerini bulunuz.

22{,}5^\circ, 45^\circ'nin yarısıdır. \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2} bilinen bir değerdir; yarım açı kosinüs formülünü kullan.

  1. 22{,}5^\circ=\dfrac{45^\circ}{2}, yani \alpha=45^\circ ve \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}.
  2. 22{,}5^\circ I. bölgededir, kosinüs pozitiftir: \cos 22{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.
Sonuç: \cos 22{,}5^\circ=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.

2. Yarım Açı Tanjant Formülü

Tanjant için sinüs ve kosinüs yarım açılarını oranlarsak, paydan ve paydayı düzenleyince çok kullanışlı iki biçim çıkar:

\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

Bu iki biçim birbirine eşittir (eşleniklerle çarpınca aynı sonuca varır) ve içinde kök bulunmaz — bu yüzden işaret derdi yoktur, doğrudan değer verir.

Örnek
Soru

\tan\dfrac{\alpha}{2} değerini, \cos\alpha=\dfrac{3}{5} ve \alpha I. bölgede iken bulunuz.

Önce \sin\alpha'yı bul (I. bölgede pozitif), sonra \tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} biçimini kullan.

  1. I. bölgede \sin\alpha>0: \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.
  2. Formülü uygula: \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Sonuç: \tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}.

3. Toplam-Çarpım Formülleri

İki sinüs (veya iki kosinüs) değerinin toplamını çarpıma çeviren formüller, trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırmanın anahtarıdır:

\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

Hatırlama anahtarı: toplananların yarı toplamı \tfrac{A+B}{2} ve yarı farkı \tfrac{A-B}{2} kullanılır. \cos A-\cos B'deki eksi işaretine dikkat.

Örnek
Soru

\sin 75^\circ+\sin 15^\circ değerini bulunuz.

\sin A+\sin B formülünde A=75^\circ, B=15^\circ. Yarı toplam 45^\circ, yarı fark 30^\circ olur — her ikisi de bilinen açı.

  1. Formülü uygula: \sin 75^\circ+\sin 15^\circ=2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2}=2\sin 45^\circ\cos 30^\circ.
  2. Bilinen değerleri yaz: \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}, \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}.
  3. Çarp: 2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt6}{2}.
Sonuç: \sin 75^\circ+\sin 15^\circ=\dfrac{\sqrt6}{2}.

4. Çarpım-Toplam Formülleri

Tersine, iki trigonometrik değerin çarpımını toplama çevirmek (özellikle integralde) gerekir. Bu formüller toplam-fark formüllerini toplayıp çıkararak elde edilir:

\sin A\cos B=\frac{1}{2}\big[\sin(A+B)+\sin(A-B)\big] \cos A\cos B=\frac{1}{2}\big[\cos(A+B)+\cos(A-B)\big] \sin A\sin B=\frac{1}{2}\big[\cos(A-B)-\cos(A+B)\big]

Örnek
Soru

2\sin 105^\circ\cos 45^\circ ifadesini hesaplayınız.

  1. \sin A\cos B formülünü kullan (A=105^\circ, B=45^\circ): 2\sin 105^\circ\cos 45^\circ=\sin(105^\circ+45^\circ)+\sin(105^\circ-45^\circ)=\sin 150^\circ+\sin 60^\circ.
  2. Değerleri yaz: \sin 150^\circ=\dfrac{1}{2}, \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}.
  3. Topla: \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{1+\sqrt3}{2}.
Sonuç: \dfrac{1+\sqrt3}{2}.

İki kat ve yarım açı değerlerini görmek için bilinen üçgenler işe yarar: 45-45-90 ve 30-60-90 üçgenleri, \tfrac{\pi}{8} ve \tfrac{\pi}{12} gibi yarım açıların türetildiği temel değerleri verir.

45°45°xxx√2
Şekil 1 — 45-45-90 üçgeni. \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2} buradan okunur; 22{,}5^\circ=\dfrac{45^\circ}{2} değerleri bu temel değerden yarım açı formülüyle türetilir.
30°60°x√3x2x
Şekil 2 — 30-60-90 üçgeni. \sin 30^\circ=\dfrac12, \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2} değerleri; toplam-çarpım örneklerinde 30^\circ ve 60^\circ bu üçgenden gelir.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

\sin 22{,}5^\circ değerini bulunuz.

  1. 22{,}5^\circ=\dfrac{45^\circ}{2}, \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}; 22{,}5^\circ I. bölgede, sinüs pozitif.
  2. Yarım açı sinüs formülü: \sin 22{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.
Sonuç: \sin 22{,}5^\circ=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.
Örnek
Soru

\cos 75^\circ-\cos 15^\circ değerini bulunuz.

\cos A-\cos B formülünde eksi işareti ve çift sinüs vardır: -2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}.

  1. Formülü uygula (A=75^\circ, B=15^\circ): \cos 75^\circ-\cos 15^\circ=-2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\sin\frac{75^\circ-15^\circ}{2}=-2\sin 45^\circ\sin 30^\circ.
  2. Değerleri yaz: \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}, \sin 30^\circ=\dfrac12.
  3. Çarp: -2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=-\dfrac{\sqrt2}{2}.
Sonuç: \cos 75^\circ-\cos 15^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}.
Örnek
Soru

\dfrac{\sin 40^\circ+\sin 20^\circ}{\cos 40^\circ+\cos 20^\circ} ifadesini sadeleştiriniz.

Hem payı hem paydayı toplam-çarpıma çevir; ortak \cos\dfrac{A-B}{2} çarpanı sadeleşir, geriye \dfrac{\sin}{\cos}=\tan kalır.

  1. Pay: \sin 40^\circ+\sin 20^\circ=2\sin 30^\circ\cos 10^\circ.
  2. Payda: \cos 40^\circ+\cos 20^\circ=2\cos 30^\circ\cos 10^\circ.
  3. Oran: \dfrac{2\sin 30^\circ\cos 10^\circ}{2\cos 30^\circ\cos 10^\circ}=\dfrac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}=\tan 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}.
Sonuç: \tan 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}.
Örnek
Soru

\sin\alpha=\dfrac{5}{13} ve \alpha I. bölgede iken \tan\dfrac{\alpha}{2} değerini bulunuz.

  1. I. bölgede \cos\alpha>0: \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.
  2. \tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{\frac{5}{13}}{1+\frac{12}{13}}=\dfrac{\frac{5}{13}}{\frac{25}{13}}=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}.
Sonuç: \tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{5}.
Örnek
Soru

2\cos 50^\circ\cos 10^\circ ifadesini toplam biçiminde yazınız.

  1. \cos A\cos B formülü (A=50^\circ, B=10^\circ): 2\cos 50^\circ\cos 10^\circ=\cos(50^\circ+10^\circ)+\cos(50^\circ-10^\circ)=\cos 60^\circ+\cos 40^\circ.
  2. \cos 60^\circ=\dfrac12, dolayısıyla ifade \dfrac12+\cos 40^\circ'dir.
Sonuç: \cos 60^\circ+\cos 40^\circ=\dfrac12+\cos 40^\circ.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

\sin 50^\circ+\sin 10^\circ ifadesini çarpım biçiminde yaz.

  1. \sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2} (A=50^\circ, B=10^\circ).
  2. =2\sin 30^\circ\cos 20^\circ=2\cdot\dfrac12\cdot\cos 20^\circ=\cos 20^\circ.
Sonuç: \cos 20^\circ.
Örnek
Soru

\cos 40^\circ+\cos 80^\circ+\cos 160^\circ ifadesinde ilk iki terimi çarpıma çevir.

  1. \cos 40^\circ+\cos 80^\circ=2\cos\dfrac{40^\circ+80^\circ}{2}\cos\dfrac{80^\circ-40^\circ}{2}=2\cos 60^\circ\cos 20^\circ.
  2. \cos 60^\circ=\dfrac12, yani =2\cdot\dfrac12\cdot\cos 20^\circ=\cos 20^\circ.
Sonuç: \cos 40^\circ+\cos 80^\circ=\cos 20^\circ.
Örnek
Soru

2\sin 75^\circ\sin 15^\circ ifadesini hesapla.

  1. \sin A\sin B formülü: 2\sin 75^\circ\sin 15^\circ=\cos(75^\circ-15^\circ)-\cos(75^\circ+15^\circ)=\cos 60^\circ-\cos 90^\circ.
  2. \cos 60^\circ=\dfrac12, \cos 90^\circ=0, yani \dfrac12-0=\dfrac12.
Sonuç: \dfrac12.
Örnek
Soru

\cos\alpha=-\dfrac{7}{25} ve \alpha II. bölgede iken \sin\dfrac{\alpha}{2} değerini bul.

II. bölgede 90^\circ<\alpha<180^\circ olduğundan 45^\circ<\dfrac{\alpha}{2}<90^\circ, yani \dfrac{\alpha}{2} I. bölgededir: işaret pozitif.

  1. \dfrac{\alpha}{2} I. bölgede, \sin\dfrac{\alpha}{2}>0.
  2. \sin\dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-(-\frac{7}{25})}{2}}=\sqrt{\dfrac{\frac{32}{25}}{2}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}.
Sonuç: \sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{4}{5}.
Örnek
Soru

\sin 80^\circ-\sin 20^\circ ifadesini çarpım biçiminde yaz ve değerini bul.

  1. \sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2} (A=80^\circ, B=20^\circ).
  2. =2\cos 50^\circ\sin 30^\circ=2\cos 50^\circ\cdot\dfrac12=\cos 50^\circ.
Sonuç: \cos 50^\circ.
Örnek
Soru

\tan 15^\circ değerini yarım açı tanjant formülüyle bul.

  1. 15^\circ=\dfrac{30^\circ}{2}, \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}, \sin 30^\circ=\dfrac12.
  2. \tan 15^\circ=\dfrac{1-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}=\dfrac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=\dfrac{\frac{2-\sqrt3}{2}}{\frac12}=2-\sqrt3.
Sonuç: \tan 15^\circ=2-\sqrt3.
Örnek
Soru

\dfrac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x} ifadesini sadeleştir.

Pay ve paydayı toplam-çarpıma çevir: A=3x, B=x. Yarı toplam 2x, yarı fark x. Ortak \cos x çarpanı sadeleşir.

  1. Pay: \sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x.
  2. Payda: \cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x.
  3. Oran: \dfrac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x.
Sonuç: \tan 2x.
Örnek
Soru

\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ çarpımının \dfrac18 olduğunu gösteren ilk adımı yaz: 2\cos 40^\circ\cos 20^\circ ifadesini topla biçiminde yaz.

\cos A\cos B=\dfrac12[\cos(A+B)+\cos(A-B)]. Buradan 2\cos 40^\circ\cos 20^\circ=\cos 60^\circ+\cos 20^\circ çıkar.

  1. 2\cos 40^\circ\cos 20^\circ=\cos(40^\circ+20^\circ)+\cos(40^\circ-20^\circ)=\cos 60^\circ+\cos 20^\circ.
  2. \cos 60^\circ=\dfrac12, yani 2\cos 40^\circ\cos 20^\circ=\dfrac12+\cos 20^\circ.
Sonuç: 2\cos 40^\circ\cos 20^\circ=\dfrac12+\cos 20^\circ.
Örnek
Soru

\dfrac{\cos 4x-\cos 2x}{\sin 4x+\sin 2x} ifadesini sadeleştir.

Pay \cos A-\cos B (eksi işaret, çift sinüs), payda \sin A+\sin B. Her ikisinde de yarı toplam 3x, yarı fark x çıkar; ortak çarpanı sadeleştir.

  1. Pay: \cos 4x-\cos 2x=-2\sin\dfrac{4x+2x}{2}\sin\dfrac{4x-2x}{2}=-2\sin 3x\sin x.
  2. Payda: \sin 4x+\sin 2x=2\sin\dfrac{4x+2x}{2}\cos\dfrac{4x-2x}{2}=2\sin 3x\cos x.
  3. Oran: \dfrac{-2\sin 3x\sin x}{2\sin 3x\cos x}=-\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\tan x.
Sonuç: -\tan x.
Örnek
Soru

\sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{\sqrt5} ve \dfrac{\alpha}{2} I. bölgede iken \cos\alpha değerini bul.

Yarım açı formülünü ters yönde kullan: \cos\alpha=1-2\sin^2\dfrac{\alpha}{2} (iki kat açı formülü).

  1. İki kat açı kosinüs formülü: \cos\alpha=1-2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}.
  2. \sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\left(\dfrac{1}{\sqrt5}\right)^2=\dfrac15.
  3. \cos\alpha=1-2\cdot\dfrac15=1-\dfrac25=\dfrac35.
Sonuç: \cos\alpha=\dfrac35.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Bu üç formül ailesini ezberlemek yerine kaynaklarını hatırla: yarım açı, \cos 2x'in iki yazılışından; toplam-çarpım ve çarpım-toplam ise toplam-fark formüllerini toplayıp çıkarmaktan gelir. Bir denklemde toplam görünce çarpıma (çarpanlara ayırmak için), çarpım görünce toplama (integral/sadeleştirme için) geçmeyi refleks hâline getir.

Trigonometri — diğer konular