çözümebak

TYT Matematik · Temel Kavramlar

Ardışık Sayılar

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Ardışık sayılar, belirli bir kurala göre birbirini izleyen sayılardır: tam sayılarda her terim bir öncekinden 1 fazla, çift ve tek sayılarda ise 2 fazladır. TYT'de bu konu hem doğrudan soru olarak hem de problem çözümünde araç olarak karşına çıkar. Bu derste gösterimleri, toplam ve ortalama formüllerini ve işlemi kısaltan pratikleri öğreneceksin.

1. Ardışık Sayı Gösterimleri

Bir sayıya n dersek, ardışık sayıları tek bir bilinmeyenle yazarız. Bu, problemleri denkleme dökmenin en hızlı yoludur.

TürGösterimArdışık terimler arası fark
Ardışık tam sayılarn,\ n+1,\ n+2,\ \cdots1
Ardışık çift sayılarn,\ n+2,\ n+4,\ \cdots (n çift)2
Ardışık tek sayılarn,\ n+2,\ n+4,\ \cdots (n tek)2

Dikkat: Ardışık çift ve ardışık tek sayılarda fark 1 değil 2'dir. Örneğin ardışık çift sayılar 4,\ 6,\ 8; ardışık tek sayılar 5,\ 7,\ 9 biçimindedir.

2581114a₁a₂a₃a₄a₅+3+3+3+3
Şekil 1 — Ardışık terimler arasındaki farkın sabit olması, terimleri sayı doğrusunda eşit aralıklarla yerleştirir. Burada fark 3 (ardışık 3'ün katları); ardışık tam sayılarda bu fark 1, ardışık çift/tek sayılarda ise 2 olur. Sabit fark, ardışık sayıların toplamını ilk–son ortalaması üzerinden hesaplamayı mümkün kılar.

2. Ardışık Sayıların Toplamı

Ardışık sayılar bir aritmetik sıra oluşturduğundan, toplamları ilk ve son terimin ortalamasının terim sayısıyla çarpımına eşittir:

\text{Toplam}=\dfrac{(\text{ilk}+\text{son})\cdot \text{terim sayısı}}{2}

Buradaki kritik nokta terim sayısıdır. İki tam sayı arasındaki (ikisi dahil) terim sayısı şöyle bulunur:

\text{terim sayısı}=\text{son}-\text{ilk}+1

İlk n sayma sayısının toplamı için bu formülün özel hâli sık kullanılır:

1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

3. Ardışık Sayıların Ortalaması

Ardışık sayıların aritmetik ortalaması, ilk ve son terimin ortalamasıdır:

\text{Ortalama}=\dfrac{\text{ilk}+\text{son}}{2}

Terim sayısı tek ise ortalama, tam ortadaki terime eşittir (ve bir tam sayıdır). Terim sayısı çift ise ortalama, ortadaki iki terimin arasında kalır ve genelde sayıların hiçbirine eşit değildir.

Örnek
Soru

Ardışık üç tam sayının toplamı 72 ise bu sayıları bulunuz.

Terim sayısı tek olduğundan orta terime x demek işlemi kısaltır.

  1. Orta terime x diyelim; sayılar x-1,\ x,\ x+1 olur.

  2. Toplamı yaz: (x-1)+x+(x+1)=3x.

  3. Denklemi kur ve çöz: 3x=72\Rightarrow x=24.

  4. Sayılar: 23,\ 24,\ 25.

Sonuç: Sayılar 23,\ 24,\ 25'tir.
Örnek
Soru

1+2+3+\cdots+100 toplamını hesaplayınız.

  1. İlk n sayma sayısının toplam formülünü kullan: 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

  2. n=100 değerini yerine yaz: \dfrac{100\cdot 101}{2}.

  3. İşlemi bitir: \dfrac{10100}{2}=5050.

Sonuç: Toplam 5050'dir.
Örnek
Soru

Ardışık beş çift sayının toplamı 70 ise en küçük sayı kaçtır?

Terim sayısı tek; orta terime x de, toplam =5x olur.

  1. Orta (üçüncü) terime x diyelim; sayılar x-4,\ x-2,\ x,\ x+2,\ x+4 olur.

  2. Toplamı yaz: bu beş terimin toplamı 5x'tir.

  3. Denklemi çöz: 5x=70\Rightarrow x=14.

  4. Sayılar: 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18; en küçüğü 10.

Sonuç: En küçük sayı 10'dur.
Örnek
Soru

20 ile 40 arasındaki (ikisi de dahil) tam sayıların toplamını bulunuz.

  1. Terim sayısını bul: 40-20+1=21.

  2. Toplam formülünü uygula: \text{Toplam}=\dfrac{(20+40)\cdot 21}{2}.

  3. İşlemi bitir: \dfrac{60\cdot 21}{2}=\dfrac{1260}{2}=630.

Sonuç: Toplam 630'dur.
Örnek
Soru

Ardışık dört tam sayının toplamı 54 ise bu sayıları bulunuz.

Terim sayısı çift olduğundan orta terim yoktur; en küçüğe n deyip n,\ n+1,\ n+2,\ n+3 yazmak en pratiğidir.

  1. Sayılara n,\ n+1,\ n+2,\ n+3 diyelim.

  2. Toplamı yaz: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6.

  3. Denklemi çöz: 4n+6=54\Rightarrow 4n=48\Rightarrow n=12.

  4. Sayılar: 12,\ 13,\ 14,\ 15.

Sonuç: Sayılar 12,\ 13,\ 14,\ 15'tir.
Örnek
Soru

Ardışık üç tek sayının toplamı 51 ise en büyük sayı kaçtır?

  1. Orta terime x diyelim; ardışık tek sayılar olduğundan sayılar x-2,\ x,\ x+2 olur.

  2. Toplamı yaz: (x-2)+x+(x+2)=3x.

  3. Denklemi çöz: 3x=51\Rightarrow x=17.

  4. Sayılar 15,\ 17,\ 19; en büyüğü 19.

Sonuç: En büyük sayı 19'dur.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

50 ile 100 arasındaki (ikisi de dahil) tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. Terim sayısını bul: 100-50+1=51.

  2. Toplam formülünü uygula: \text{Toplam}=\dfrac{(50+100)\cdot 51}{2}.

  3. İşlemi bitir: \dfrac{150\cdot 51}{2}=75\cdot 51=3825.

Sonuç: Toplam 3825'tir.
Örnek
Soru

Ardışık beş tam sayıdan en küçüğü ile en büyüğünün toplamı 46 ise bu sayıların toplamı kaçtır?

  1. Orta (üçüncü) terime x diyelim; sayılar x-2,\ x-1,\ x,\ x+1,\ x+2 olur.

  2. En küçük ile en büyük: (x-2)+(x+2)=2x. Bu toplam aynı zamanda iki katı ortadır.

  3. Denklemi kur: 2x=46\Rightarrow x=23.

  4. Beş ardışık sayının toplamı 5x=5\cdot 23=115'tir.

Sonuç: Toplam 115'tir.
Örnek
Soru

Ardışık iki tam sayının çarpımı 156 ise büyük olan sayı kaçtır?

  1. Sayılara n ve n+1 diyelim: n(n+1)=156.

  2. 156'yı ardışık iki çarpana ayır: 12\cdot 13=156.

  3. Buradan n=12 ve n+1=13 bulunur.

  4. Büyük olan sayı 13'tür.

Sonuç: Büyük sayı 13'tür.
Örnek
Soru

2+4+6+\cdots+50 toplamı kaçtır?

  1. Bunlar ardışık çift sayılardır; terim sayısını bul: \dfrac{50-2}{2}+1=24+1=25.

  2. Toplam formülünü uygula: \text{Toplam}=\dfrac{(2+50)\cdot 25}{2}.

  3. İşlemi bitir: \dfrac{52\cdot 25}{2}=26\cdot 25=650.

Sonuç: Toplam 650'dir.
Örnek
Soru

Ardışık altı tam sayının toplamı 393 ise en büyük sayı kaçtır?

Terim sayısı çift olduğundan orta terim yoktur; en küçüğe n deyip altı terimi yaz.

  1. Sayılara n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4,\ n+5 diyelim.

  2. Toplamı yaz: 6n+15.

  3. Denklemi çöz: 6n+15=393\Rightarrow 6n=378\Rightarrow n=63.

  4. Sayılar 63,\ 64,\ 65,\ 66,\ 67,\ 68; en büyüğü 68.

Sonuç: En büyük sayı 68'dir.
Örnek
Soru

1+3+5+\cdots+99 toplamı kaçtır?

  1. Bunlar 1'den 99'a kadar ardışık tek sayılardır; terim sayısını bul: \dfrac{99-1}{2}+1=49+1=50.

  2. Toplam formülünü uygula: \text{Toplam}=\dfrac{(1+99)\cdot 50}{2}.

  3. İşlemi bitir: \dfrac{100\cdot 50}{2}=2500.

Sonuç: Toplam 2500'dür.
Örnek
Soru

Ardışık tam sayıların toplamı 0 ve en büyüğü 7 ise en küçük sayı kaçtır?

  1. Ardışık tam sayıların toplamının 0 olması için sayılar 0 etrafında simetrik olmalıdır.

  2. Bu durumda her pozitif terimin negatifi de listede bulunur; örneğin -7 ile 7 birbirini götürür.

  3. En büyük 7 olduğundan en küçük -7 olur ve sayılar -7,\ -6,\ \cdots,\ 6,\ 7 biçimindedir.

  4. Toplam: (-7)+(-6)+\cdots+6+7=0 olduğu için koşul sağlanır.

Sonuç: En küçük sayı -7'dir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir otobüs durağında 15 ardışık tam sayı ile numaralandırılmış koltukların toplam numarası 525'tür. En küçük numara n ise en büyük koltuk numarası n+14'tür.

Buna göre en büyük koltuk numarası kaçtır?

A) 40 · B) 42 · C) 41 · D) 38 · E) 39

  1. Toplam: n+(n+1)+\cdots+(n+14)=15n+\dfrac{14\cdot 15}{2}=15n+105.

  2. 15n+105=525 \Rightarrow 15n=420 \Rightarrow n=28.

  3. En büyük: 28+14=42.

Sonuç: B) 42
Örnek
Soru

Bir spor salonunda dört ardışık çift numaralı dolabın numaraları toplamı 100'dür.

Buna göre en büyük dolap numarası kaçtır?

A) 26 · B) 24 · C) 30 · D) 28 · E) 22

  1. Dolaplar n,\ n+2,\ n+4,\ n+6 olsun (n çift).

  2. Toplam: 4n+12=100 \Rightarrow 4n=88 \Rightarrow n=22.

  3. En büyük: 22+6=28.

Sonuç: D) 28
Örnek
Soru

Bir asansörde 7 ardışık kat düğmesinin numaraları toplamı 49'dur.

Buna göre ortadaki (dördüncü) düğmenin numarası kaçtır?

A) 7 · B) 6 · C) 8 · D) 5 · E) 4

  1. Düğmeler n,\ n+1,\ \dots,\ n+6; toplam 7n+21=49.

  2. 7n=28 \Rightarrow n=4.

  3. Ortadaki (dördüncü) düğme: n+3=7.

Sonuç: A) 7
Örnek
Soru

Bir tiyatroda koltuklar 1. sıradan başlayarak sıra numarası kadar koltuk içerecek biçimde diziliyor: 1. sırada 1, 2. sırada 2, \dots, n. sırada n koltuk. Salon tam dolduğunda toplam 210 koltuk kullanılmıştır.

Buna göre salonda kaç sıra (n) vardır?

A) 18 · B) 19 · C) 20 · D) 21 · E) 22

  1. Toplam koltuk: 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}=210.

  2. n(n+1)=420. Ardışık iki sayının çarpımı 420: 20\cdot 21=420.

  3. Buradan n=20. (Çeldirici: \dfrac{n(n+1)}{2}=210 yerine n(n+1)=210 alıp yanlış kök aramak.)

Sonuç: C) 20
Örnek
Soru

Bir maratonda ardışık 9 tam sayı ile numaralandırılmış istasyonların numaralarının aritmetik ortalaması 40'tır.

Buna göre en büyük istasyon numarası kaçtır?

A) 42 · B) 43 · C) 44 · D) 45 · E) 48

  1. Terim sayısı 9 (tek) olduğundan ortalama, tam ortadaki (5.) terime eşittir: orta terim =40.

  2. En büyük terim, ortadan 4 adım ileridedir: 40+4=44.

  3. (Çeldirici: ortalamayı ilk terim sanıp 40+8=48 demek, ya da yanlış adım sayısı.)

Sonuç: C) 44
Örnek
Soru

Bir depoda ardışık çift numaralı 6 raf vardır; numaralarının toplamı 90'dır. Görevli, en küçük ve en büyük raf numarasının çarpımını etikete yazacaktır.

Buna göre etikete yazılacak çarpım kaçtır?

A) 180 · B) 200 · C) 220 · D) 240 · E) 260

  1. Raflar n,\ n+2,\ n+4,\ n+6,\ n+8,\ n+10 olsun (n çift).

  2. Toplam: 6n+30=90 \Rightarrow 6n=60 \Rightarrow n=10.

  3. Numaralar: 10,12,14,16,18,20; en küçük 10, en büyük 20.

  4. Çarpım: 10\cdot 20=200. (Çeldirici: ardışık çift farkı 1 sanıp 6n+15 kurmak yanlış n verir.)

Sonuç: B) 200

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Ardışık terim sayısı tek ise orta terime x de: toplam doğrudan \text{terim sayısı}\times x olur. Örneğin ardışık 5 sayının toplamı 5x, ardışık 3 sayının toplamı 3x'tir. Böylece tek denklemle, sadeleştirme yapmadan orta terimi bulur ve diğer terimleri saniyeler içinde yazarsın.

Temel Kavramlar — diğer konular