çözümebak

TYT Matematik · Temel Kavramlar

Sayı Basamakları ve Çözümleme

~8 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Bir sayıyı oluşturan rakamların bulundukları basamağa göre taşıdıkları değer, TYT'nin en sık çıkan ve en hızlı çözülen konularından birinin temelidir. Bu derste rakam–basamak–değer kavramlarını netleştirip çözümleme yöntemini kuruyoruz: \overline{ab}=10a+b gibi bir yazımı kavradığınızda, "rakamları yer değiştiren sayı" veya "rakamları toplamı" tipi problemler anında basit bir cebirsel denkleme dönüşür.

1. Rakam, Sayı ve Basamak

Rakam, sayıları yazmak için kullanılan 0,1,2,\dots,9 sembolleridir; toplam 10 rakam vardır. Sayı ise bu rakamların yan yana dizilmesiyle oluşur.

Bir sayının rakamlarını harflerle göstermek için üst çizgi kullanırız:

\overline{ab}\;=\;\text{rakamları } a \text{ ve } b \text{ olan iki basamaklı sayı}\qquad (a\ne 0)

Dikkat: \overline{ab} gösterimi, a ile b'nin çarpımı değildir. Örneğin \overline{ab} ile a\cdot b tamamen farklı şeylerdir; ilki bir iki basamaklı sayı, ikincisi iki rakamın çarpımıdır.

En yüksek (en soldaki) basamağın rakamı 0 olamaz (a\ne 0); aksi hâlde sayı bir basamak küçülür. Örneğin \overline{ab}'de a=0 olursa elde edilen şey iki basamaklı bir sayı olmaz.

2. Basamak Değeri ve Sayı (Rakam) Değeri

Bir rakamın iki ayrı değeri vardır:

Örnek olarak 47 sayısını ele alalım:

RakamBulunduğu basamakSayı değeriBasamak değeri
4onlar440
7birler77

Görüldüğü gibi 4 rakamının sayı değeri 4 iken, onlar basamağında olduğu için basamak değeri 4\cdot 10=40'tır.

3. Bir Sayının Çözümlenmesi

Bir sayıyı, her rakamın basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazmaya çözümleme denir.

İki basamaklı sayı:

\overline{ab}=10a+b

Üç basamaklı sayı:

\overline{abc}=100a+10b+c

Örneğin 305 sayısında \overline{abc} için a=3,\ b=0,\ c=5 olur ve çözümleme 100\cdot 3+10\cdot 0+5=305 verir. Buradaki 0 basamağı boş bırakılmaz, mutlaka yazılır; aksi hâlde sayı 35'e dönüşürdü.

Yararlı Sonuçlar

Çözümlemeyi kullanarak iki klasik sonucu türetelim:

\overline{ab}+\overline{ba}=(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)

\overline{ab}-\overline{ba}=(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)

Bu iki eşitlik, "rakamları yer değiştiren sayı" sorularında doğrudan kullanılır.

Örnek
Soru

47 sayısında 4 rakamının basamak değeri ile sayı değeri arasındaki fark kaçtır?

  1. 4 rakamı onlar basamağında olduğundan basamak değeri 40'tır.
  2. 4 rakamının sayı değeri 4'tür.
  3. Fark: 40-4=36.
Sonuç: 36.
Örnek
Soru

\overline{ab} iki basamaklı bir sayıdır. Rakamları yer değiştirildiğinde \overline{ba} sayısı oluşuyor. \overline{ab}-\overline{ba} ifadesinin daima 9'un katı olduğunu çözümleyerek gösteriniz.

  1. İki sayıyı da çözümle: \overline{ab}=10a+b ve \overline{ba}=10b+a.
  2. Farkı al: \overline{ab}-\overline{ba}=(10a+b)-(10b+a).
  3. Düzenle: =10a+b-10b-a=9a-9b.
  4. Ortak çarpan parantezine al: =9(a-b).
Sonuç: \overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b) olduğundan fark her zaman 9'un katıdır.
Örnek
Soru

İki basamaklı bir sayı, rakamlarının toplamının 7 katına eşittir. Bu koşulu sağlayan tüm sayıları bulunuz.

Sayıyı 10a+b, rakamlarının toplamını a+b biçiminde yaz ve eşitliği kur.

  1. Sayı 10a+b, rakamlarının toplamı a+b olduğundan denklem: 10a+b=7(a+b).
  2. Sağ tarafı dağıt: 10a+b=7a+7b.
  3. Düzenle: 10a-7a=7b-b \Rightarrow 3a=6b \Rightarrow a=2b.
  4. b=1,2,3,4 için a=2,4,6,8 olur (her birinde a\ne 0 ve rakamlar geçerli): sayılar 21,42,63,84.
  5. Doğrulama: 21 için rakam toplamı 2+1=3 ve 7\cdot 3=21 ✓.
Sonuç: 21,\ 42,\ 63,\ 84.
Örnek
Soru

\overline{ab}+\overline{ba}=121 olduğuna göre a+b kaçtır?

  1. Çözümlemeden bilinen sonucu kullan: \overline{ab}+\overline{ba}=11(a+b).
  2. Eşitliği yaz: 11(a+b)=121.
  3. Her iki tarafı 11'e böl: a+b=11.
Sonuç: a+b=11.
Örnek
Soru

Yüzler basamağı 3, onlar basamağı 0, birler basamağı 5 olan üç basamaklı sayı kaçtır? Çözümleme ile gösteriniz.

  1. Üç basamaklı sayının çözümlemesi: \overline{abc}=100a+10b+c.
  2. Verilenleri yerine koy: a=3,\ b=0,\ c=5.
  3. Hesapla: 100\cdot 3+10\cdot 0+5=300+0+5=305.
  4. Onlar basamağındaki 0 atılamaz; yazılmazsa sayı 35 olurdu.
Sonuç: 305.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\overline{ab} iki basamaklı bir sayıdır. a rakamının basamak değeri ile b rakamının basamak değeri toplamı 63 olduğuna göre \overline{ab} kaçtır?

  1. a onlar basamağında olduğundan basamak değeri 10a, b birler basamağında olduğundan basamak değeri b'dir.
  2. Toplamları zaten sayının kendisidir: 10a+b=\overline{ab}.
  3. Bu toplam 63 verildiğinden \overline{ab}=63 olur.
Sonuç: 63.
Örnek
Soru

İki basamaklı bir \overline{ab} sayısının rakamları toplamı 12'dir. Bu sayının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

  1. a+b=12 ve a\ne 0 koşulları geçerli. En büyük sayıyı elde etmek için onlar basamağı en büyük olmalı.
  2. En büyük: a=9,\ b=3 \Rightarrow 93.
  3. En küçük: onlar basamağı mümkün olan en küçük değeri alsın; a=3,\ b=9 \Rightarrow 39 (çünkü b\le 9 olmalı, bu yüzden a\ge 3).
  4. Fark: 93-39=54.
Sonuç: 54.
Örnek
Soru

İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen yeni sayı, ilk sayıdan 36 büyüktür. Buna göre b-a kaçtır? (Sayı \overline{ab}, yeni sayı \overline{ba} biçimindedir.)

  1. Koşulu yaz: \overline{ba}-\overline{ab}=36.
  2. Çözümle: (10b+a)-(10a+b)=9b-9a=9(b-a).
  3. Eşitle: 9(b-a)=36 \Rightarrow b-a=4.
Sonuç: b-a=4.
Örnek
Soru

\overline{a5} iki basamaklı sayısı ile \overline{5a} iki basamaklı sayısının toplamı 99'dur. Buna göre a kaçtır?

İki sayıyı da çözümle ve birler/onlar basamaklarındaki 5 ile a'yı dikkatlice yerleştir.

  1. Çözümle: \overline{a5}=10a+5 ve \overline{5a}=50+a.
  2. Topla: (10a+5)+(50+a)=11a+55.
  3. Eşitle: 11a+55=99 \Rightarrow 11a=44 \Rightarrow a=4.
  4. Doğrulama: 45+54=99 ✓.
Sonuç: a=4.
Örnek
Soru

Üç basamaklı \overline{abc} sayısında b=0, c=2a ve a=3 olduğuna göre sayı kaçtır?

  1. a=3 verildiğinden c=2a=6 ve b=0 olur.
  2. Çözümle: \overline{abc}=100a+10b+c.
  3. Yerine koy: 100\cdot 3+10\cdot 0+6=300+0+6=306.
Sonuç: 306.
Örnek
Soru

İki basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 3 katıdır. Bu sayının rakamları toplamı 8 olduğuna göre sayı kaçtır?

  1. Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun: a=3b ve a+b=8.
  2. Birinciyi ikinciye koy: 3b+b=8 \Rightarrow 4b=8 \Rightarrow b=2.
  3. Buradan a=3\cdot 2=6.
  4. Sayı: \overline{ab}=10\cdot 6+2=62.
Sonuç: 62.
Örnek
Soru

Üç basamaklı \overline{abc} sayısı ile rakamları ters çevrilmiş \overline{cba} sayısının farkı \overline{abc}-\overline{cba}=297 olduğuna göre a-c kaçtır?

  1. Çözümle: \overline{abc}=100a+10b+c ve \overline{cba}=100c+10b+a.
  2. Farkı al: (100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c.
  3. Ortak çarpana al: =99(a-c).
  4. Eşitle: 99(a-c)=297 \Rightarrow a-c=3.
Sonuç: a-c=3.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir otopark plakasında iki basamaklı \overline{5a} yazılıdır. Plaka 3'ün katı olacak biçimde a rakamı seçilecektir.

Buna göre a kaç farklı değer alabilir?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. 3 ile bölünebilirlik: 5+a toplamı 3'ün katı olmalı.

  2. a\in\{0,1,\dots,9\} için 5+a\in\{5,6,\dots,14\}; 3'ün katları: 6,9,12.

  3. a=1,4,7 → 3 farklı değer (51, 54, 57).

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

İki basamaklı bir telefon kodunun rakamları toplamı 11'dir. Kod ile rakamları yer değiştirilmiş hali arasındaki fark 27'dir.

Buna göre bu kod (ilk yazılış hâli) kaçtır?

A) 47 · B) 74 · C) 83 · D) 56 · E) 65

  1. Kod \overline{ab}=10a+b, tersi \overline{ba}=10b+a.

  2. Fark: (10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=27 \Rightarrow a-b=3.

  3. Rakam toplamı: a+b=11. Topla: 2a=14 \Rightarrow a=7, b=4.

  4. Kod: 74.

Sonuç: B) 74
Örnek
Soru

Üç basamaklı \overline{abc} sayısı ile \overline{cba} sayısı arasındaki fark 396'dır; b=5 sabittir.

Buna göre a-c kaçtır?

A) 3 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 4

  1. \overline{abc}-\overline{cba}=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c).

  2. 99(a-c)=396 \Rightarrow a-c=4.

Sonuç: E) 4
Örnek
Soru

Bir kargo barkodunda üç basamaklı \overline{8mn} sayısı yazılıdır (m ve n herhangi rakam). Sistem, soldaki 8 rakamının basamak değeri ile sayı (rakam) değeri arasındaki farkı bir güvenlik koduna çeviriyor.

Buna göre bu fark kaçtır?

A) 72 · B) 720 · C) 792 · D) 800 · E) 808

  1. 8 rakamı yüzler basamağındadır; basamak değeri 8\cdot 100=800.

  2. Aynı rakamın sayı değeri 8'dir.

  3. Fark: 800-8=792. (m ve n sonucu etkilemez.) Çeldirici: basamak değerini 80 (\Rightarrow 72) sanmak ya da farkı almayı unutup 800 demek.

Sonuç: C) 792
Örnek
Soru

İki basamaklı bir bilet numarası \overline{ab}'nin rakamları toplamı 10'dur. Bu numara, rakamları yer değiştirilmiş hâli \overline{ba}'dan 18 fazladır.

Buna göre bilet numarası (ilk yazılış hâli) kaçtır?

A) 46 · B) 55 · C) 73 · D) 64 · E) 82

  1. Koşul: \overline{ab}-\overline{ba}=18 \Rightarrow 9(a-b)=18 \Rightarrow a-b=2.

  2. Rakam toplamı: a+b=10. Topla: 2a=12 \Rightarrow a=6,\ b=4.

  3. Numara: \overline{ab}=64. Doğrulama: 64-46=18 ✓ ve 6+4=10 ✓. (Çeldirici: \overline{ba}=46 cevabını işaretlemek.)

Sonuç: D) 64
Örnek
Soru

Bir dolap şifresi üç basamaklı \overline{2k6} biçimindedir (k bir rakam). Şifrenin 3 ile bölünebilmesi isteniyor.

Buna göre k kaç farklı değer alabilir?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) 5 · E) 6

  1. 3 ile bölünebilme: rakamlar toplamı 2+k+6=8+k sayısı 3'ün katı olmalı.

  2. k\in\{0,1,\dots,9\} için 8+k\in\{8,9,\dots,17\}; 3'ün katları: 9,12,15.

  3. 8+k=9\Rightarrow k=1, 8+k=12\Rightarrow k=4, 8+k=15\Rightarrow k=7.

  4. k\in\{1,4,7\} → 3 farklı değer. (Çeldirici: birler basamağına bakıp 5/2 ile bölünebilme kuralıyla karıştırmak.)

Sonuç: B) 3

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Rakam yer değiştirme, "rakamları toplamı", "rakamları arasındaki fark" tipi sorularda zaman kaybetmeden sayıyı hemen \overline{ab}=10a+b (veya üç basamaklıysa 100a+10b+c) biçiminde çözümleyin. Bu adımdan sonra problem neredeyse her zaman tek bir cebirsel denkleme indirgenir. Ayrıca \overline{ab}+\overline{ba}=11(a+b) ve \overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b) sonuçlarını ezberleyin; toplam/fark verilen sorularda saniyeler içinde sonuca götürür.

Temel Kavramlar — diğer konular