çözümebak

TYT Matematik · Temel Kavramlar

Tek ve Çift Sayılar

~7 dk okumaZorluk: Kolay19 çözümlü soru

Tek ve çift sayılar, TYT "Temel Kavramlar" konusunun en çok soru getiren parçasıdır. Burada amaç sayıyı hesaplamak değil, bir ifadenin paritesini (tek mi çift mi olduğunu) toplama, çıkarma, çarpma ve üs kurallarıyla hızlıca belirlemektir. Bu kuralları ezberlemek yerine 2k ve 2k+1 gösterimiyle bir kez doğrulamak, sınavda saniyeler kazandırır.

1. Tanım

Bir tam sayı 2 ile tam bölünüyorsa çift, bölünmüyorsa tektir. k bir tam sayı olmak üzere:

\text{çift}=2k,\qquad \text{tek}=2k+1

Buna göre \ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots çift; \ldots,-3,-1,1,3,5,\ldots tektir.

Dikkat: 0 çifttir, çünkü 0=2\cdot 0 olarak yazılır. Sınavda "sıfır tek midir çift midir" tuzağına düşme: sıfır çifttir.

2. Toplama ve Çıkarma Kuralları

İki sayının toplamının veya farkının paritesi yalnızca terimlerin türüne bağlıdır:

İşlemSonuç
çift \pm çiftçift
tek \pm tekçift
tek \pm çifttek
çift \pm tektek

Kural: Aynı türden iki sayının toplamı/farkı çift, farklı türden iki sayının toplamı/farkı tektir.

Bunu 2k ve 2m+1 ile doğrulayalım: tek + tek =(2k+1)+(2m+1)=2(k+m+1), yani çift.

3. Çarpma Kuralları

İşlemSonuç
çift \cdot herhangiçift
tek \cdot tektek

Kural: Bir çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması yeterlidir. Çarpımın tek olması için ise tüm çarpanların tek olması gerekir.

Doğrulama: çift \cdot herhangi =2k\cdot n=2(kn) çifttir; tek \cdot tek =(2k+1)(2m+1)=2(2km+k+m)+1 tektir.

4. Üs Alma Kuralı

n pozitif tam sayı olmak üzere bir sayının kuvveti, o sayının tekrarlı çarpımıdır; bu yüzden üs alma pariteyi değiştirmez:

\text{tek}^{\,n}=\text{tek},\qquad \text{çift}^{\,n}=\text{çift}

Örneğin 3^{5}=243 tek, 4^{3}=64 çifttir. Taban tekse sonuç her zaman tek, taban çiftse sonuç her zaman çifttir.

5. Ardışık Sayılar İncelemesi

Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çifttir. Dolayısıyla bunların çarpımı her zaman çifttir:

n(n+1)\ \text{daima çifttir.}

Bu sonuç, ifadelerin çift olduğunu kanıtlamada sık kullanılır.

Örnek
Soru

a tek, b çift sayı olmak üzere aşağıdaki ifadelerin tek mi çift mi olduğunu belirleyiniz:

a+b,\qquad a\cdot b,\qquad a^{2}+b,\qquad 3a+2b

Her terimi ayrı ayrı işaretle (tek/çift), sonra toplama–çarpma kurallarını uygula. Emin olamadığın yerde a=1, b=2 deneyebilirsin.

  1. a+b: tek + çift = tek.
  2. a\cdot b: tek \cdot çift, en az bir çarpan çift olduğundan = çift.
  3. a^{2}+b: a^{2} tek (üs pariteyi değiştirmez), tek + çift = tek.
  4. 3a+2b: 3a tek \cdot tek = tek, 2b çift \cdot çift = çift; tek + çift = tek.
Sonuç: a+b tek, a\cdot b çift, a^{2}+b tek, 3a+2b tektir.
Örnek
Soru

x bir tam sayı olmak üzere x^{2}+x ifadesinin daima çift olduğunu gösteriniz.

  1. İfadeyi çarpanlarına ayır: x^{2}+x=x(x+1).
  2. x ile x+1 ardışık iki tam sayıdır.
  3. Ardışık iki sayıdan biri mutlaka çift olduğundan, çarpımda en az bir çarpan çifttir.
  4. Çift \cdot herhangi = çift olduğundan x(x+1) her x için çifttir.
Sonuç: x^{2}+x her tam sayı x için daima çifttir.
Örnek
Soru

a\cdot b\cdot c çarpımı tek bir sayı ise a, b ve c hakkında ne söylenebilir?

  1. Bir çarpımın tek olması için tüm çarpanlar tek olmalıdır.
  2. Çarpanlardan biri bile çift olsaydı, çift \cdot herhangi = çift kuralıyla sonuç çift çıkardı.
  3. Sonuç tek verildiğine göre çift çarpan bulunamaz.
Sonuç: a, b ve c sayılarının üçü de tektir.
Örnek
Soru

a ve b tam sayılar olmak üzere 2a+3b ifadesi tek ise b hakkında ne söylenebilir?

2a teriminin paritesi bellidir. Toplamın tek çıkması için diğer terimin ne olması gerektiğini düşün.

  1. 2a ifadesi a ne olursa olsun çifttir.
  2. Toplam çift +\,3b biçimindedir. Bu toplamın tek olması için 3b teriminin tek olması gerekir (çift + tek = tek).
  3. 3b teriminin tek olması için, 3 tek olduğundan b de tek olmalıdır (tek \cdot tek = tek; eğer b çift olsaydı 3b çift olurdu).
Sonuç: b tek bir sayıdır.
Örnek
Soru

Ardışık üç tam sayının toplamı her zaman tek midir çift midir? Belirleyiniz.

  1. Ardışık üç sayıyı n, n+1, n+2 olarak yaz.
  2. Toplamları: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1).
  3. Paritesi n+1 terimine bağlıdır: n çift ise n+1 tek, dolayısıyla toplam tek; n tek ise n+1 çift, dolayısıyla toplam çift olur.
Sonuç: Ardışık üç sayının toplamı sabit bir parite vermez; ortadaki sayı tek ise toplam tek, çift ise toplam çifttir.
Örnek
Soru

5^{12}+7^{9} ifadesi tek midir çift midir?

  1. 5 tek olduğundan 5^{12} tektir (üs pariteyi değiştirmez).
  2. 7 tek olduğundan 7^{9} tektir.
  3. Tek + tek = çift kuralıyla toplam çifttir.
Sonuç: İfade çifttir.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

a bir tam sayı olmak üzere 4a+6 ifadesi tek midir çift midir?

  1. 4a ifadesi 4a=2(2a) olduğundan çifttir.
  2. 6 sayısı çifttir.
  3. Çift + çift = çift olduğundan ifade her a için çifttir.
Sonuç: İfade çifttir.
Örnek
Soru

a ve b tam sayılar olmak üzere a+b çift ise a ile b hakkında ne söylenebilir?

  1. Toplamın çift olması için iki sayının aynı türden olması gerekir.
  2. Çift + çift = çift ve tek + tek = çift; farklı türden olsalardı toplam tek olurdu.
  3. Bu yüzden ya ikisi de çift ya da ikisi de tektir.
Sonuç: a ve b aynı türdendir (ikisi de tek veya ikisi de çift).
Örnek
Soru

1+2+3+\ldots+10 toplamı tek midir çift midir?

  1. Toplamda tek sayılar 1,3,5,7,9 olmak üzere 5 tanedir.
  2. Tek sayıların adedi tek olduğundan, bu tek sayıların toplamı tektir (çift sayıların toplamı pariteyi etkilemez, hep çifttir).
  3. Çift sayıların toplamı çift, tek sayıların toplamı tek olduğundan genel toplam çift + tek = tektir.
  4. Kontrol: 1+2+\ldots+10=\dfrac{10\cdot 11}{2}=55, tektir.
Sonuç: Toplam tektir (55).
Örnek
Soru

a çift, b tek sayı olmak üzere (a+b)\cdot(a-b) ifadesi tek midir çift midir?

Önce parantez içlerinin paritesini belirle, sonra çarpma kuralını uygula.

  1. a+b: çift + tek = tektir.
  2. a-b: çift - tek = tektir.
  3. İki çarpanın çarpımı tek \cdot tek = tektir.
Sonuç: İfade tektir.
Örnek
Soru

3^{20}\cdot 5^{15}\cdot 7 çarpımının birler basamağını değil, paritesini belirleyiniz.

  1. 3 tek olduğundan 3^{20} tektir (üs pariteyi değiştirmez).
  2. 5 tek olduğundan 5^{15} tektir.
  3. 7 tektir.
  4. Tüm çarpanlar tek olduğundan tek \cdot tek \cdot tek = tektir.
Sonuç: Çarpım tektir.
Örnek
Soru

a ve b tam sayılar olmak üzere a\cdot b çift ise bu durumda mutlaka doğru olan ne söylenebilir?

  1. Çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması yeterli ve gereklidir.
  2. Eğer her iki sayı da tek olsaydı tek \cdot tek = tek olurdu; bu çelişir.
  3. Demek ki a ile b'den en az biri çifttir.
Sonuç: a ile b sayılarından en az biri çifttir.
Örnek
Soru

n bir tam sayı olmak üzere n^{3}-n ifadesinin daima çift olduğunu gösteriniz.

İfadeyi çarpanlarına ayırarak ardışık sayılar elde etmeye çalış.

  1. Ortak çarpan n alınır: n^{3}-n=n(n^{2}-1).
  2. n^{2}-1=(n-1)(n+1) olduğundan ifade (n-1)\cdot n\cdot(n+1) olur.
  3. Bunlar ardışık üç tam sayıdır; ardışık iki sayıdan biri mutlaka çift olduğu için çarpanlardan en az biri çifttir.
  4. Çift \cdot herhangi = çift olduğundan ifade her n için çifttir.
Sonuç: n^{3}-n her tam sayı n için daima çifttir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

n bir tam sayıdır. Bir sensör, okunan değeri T=(n+1)^{2}-(n-1)^{2} formülüyle hesaplıyor.

Buna göre T sayısının 4 ile bölümünden kalan daima kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) 2 · D) 3 · E) 4

  1. Aç: (n+1)^{2}-(n-1)^{2}=(n^{2}+2n+1)-(n^{2}-2n+1)=4n.

  2. 4n her tam n için 4'ün katıdır; bölümünden kalan 0'dır.

Sonuç: A) 0
Örnek
Soru

Bir turnuvada 1'den 41'e kadar ardışık tek numaralı sporcu kaydı tutuluyor. Kayıt memuru tüm numaraların toplamını hesaplayacak.

Buna göre bu toplam kaçtır?

A) 400 · B) 420 · C) 441 · D) 484 · E) 361

  1. Terimler 1,3,5,\dots,41; terim sayısı \dfrac{41-1}{2}+1=21.

  2. Ardışık tek toplamı: \dfrac{(1+41)\cdot 21}{2}=\dfrac{42\cdot 21}{2}=441.

Sonuç: C) 441
Örnek
Soru

İki sayaç aynı anda çalışıyor: birincinin değeri 5^{2026}, ikincininki 3^{2027}. Gösterge paneli iki değerin toplamının paritesini (tek/çift) kodluyor; çift için 2, tek için 1 yazıyor.

Buna göre panelde görünen kod kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) 3 · D) 4 · E) 2

  1. 5 tek olduğundan 5^{2026} tektir.

  2. 3 tek olduğundan 3^{2027} tektir.

  3. tek + tek = çifttir; panel çift için 2 yazar.

Sonuç: E) 2
Örnek
Soru

Bir kontrol panelinde üç ölçüm cihazı sırasıyla 4^{6}, 7^{5} ve 9^{3} değerlerini gösteriyor. Panel, bu üç değerin toplamının paritesini kodluyor: çift ise yeşil, tek ise kırmızı yanıyor.

Buna göre panelde hangi renk yanar?

A) Kırmızı (tek) · B) Yeşil (çift) · C) Hem yeşil hem kırmızı · D) Hiçbiri · E) Belirlenemez

  1. 4 çift olduğundan 4^{6} çift.

  2. 7 tek olduğundan 7^{5} tek; 9 tek olduğundan 9^{3} tek.

  3. Toplam: çift + tek + tek = çift + (tek + tek) = çift + çift = çift.

  4. Panel çift için yeşil yanar. (Çeldirici: 7^5 ve 9^3'ü çift sanıp ya da üç tek terim sayıp tek demek.)

Sonuç: B) Yeşil (çift)
Örnek
Soru

Bir koridorda ardışık tek numaralı üç dolap vardır; numaraları küçükten büyüğe 2n-1, 2n+1, 2n+3 biçiminde yazılabilir (n pozitif tam sayı).

Buna göre bu üç numaranın toplamının 2 ile bölümünden kalan daima kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) 2 · D) n'ye bağlıdır · E) 3

  1. Topla: (2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=6n+3.

  2. 6n çifttir; çift + tek (3) = tek. Yani toplam her n için tektir.

  3. Tek sayının 2 ile bölümünden kalan 1'dir. (Çeldirici: 6n+3'ü 3'ün katı görüp kalanı n'ye bağlı sanmak; oysa parite sabittir.)

Sonuç: B) 1
Örnek
Soru

Bir oyunda m puanı tek, n puanı çift olan iki oyuncu vardır. Sistem, P=m^{2}+n^{2}+m\cdot n değerini hesaplayıp sonucun tek mi çift mi olduğuna göre sıra veriyor.

Buna göre P daima nasıldır?

A) Daima çift · B) Daima tek · C) m ve n'ye göre değişir · D) Daima 0 · E) Daima asal

  1. m tek \Rightarrow m^{2} tek (üs pariteyi değiştirmez).

  2. n çift \Rightarrow n^{2} çift.

  3. m\cdot n: en az bir çarpan (n) çift olduğundan çift.

  4. Toplam: tek + çift + çift = tek + (çift + çift) = tek + çift = tek.

  5. Demek ki P her zaman tektir. (Çeldirici: m^2'yi çift sanmak ya da mn'yi tek sanmak çift sonucuna götürür.)

Sonuç: B) Daima tek

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Bilinmeyenli ifadelerde kuralları hatırlayamadığında, harflerin yerine küçük somut sayılar koy: tek için 1, çift için 2. Örneğin a tek, b çift için a=1, b=2 alıp 3a+2b=3+4=7 (tek) sonucunu saniyeler içinde doğrularsın. Bu yöntem hem hız kazandırır hem de yanlış hatırlanan kuralı anında yakalar.

Temel Kavramlar — diğer konular