çözümebak

AYT Matematik · İntegral

Belirli İntegral ve Analizin Temel Teoremi

~10 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

Belirsiz integral bir fonksiyon ailesidir (+c ile sonsuz tane); belirli integral ise tek bir sayıdır. İkisi arasındaki köprüyü Analizin Temel Teoremi kurar: türevi bilinen bir antiderivatifi iki sınırda değerlendirip farkını alırız. Bu konu, belirli integralin tanımını, Newton–Leibniz formülünü ve sınavda en çok puan getiren özelliklerini eksiksiz işler.

1. Belirli İntegral Bir Sayıdır

f fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli olsun. Bu aralıktaki belirli integral

\int_{a}^{b} f(x)\,dx

ifadesi, a ile b arasında belirlenmiş tek bir gerçek sayıdır. Burada a alt sınır, b üst sınırdır; x ise kukla (dummy) değişkendir — onun yerine başka bir harf yazmak sonucu değiştirmez:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} f(t)\,dt

Belirsiz integralle farkı net tutun:

Belirsiz integralBelirli integral
Gösterim\displaystyle\int f(x)\,dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx
SonuçBir fonksiyon ailesi (F(x)+c)Bir sayı
+cYazılırYazılmaz (sadeleşir)

2. Analizin Temel Teoremi (Newton–Leibniz)

f, [a,b] üzerinde sürekli ve F onun bir antiderivatifi ise, yani F'(x)=f(x) ise:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)

Yani integralin değeri, antiderivatifin üst sınırdaki değeri eksi alt sınırdaki değeridir. Sıra önemlidir: önce F(b), sonra F(a).

Neden +c yazmıyoruz? Antiderivatif F(x)+c alınsaydı, \big(F(b)+c\big)-\big(F(a)+c\big)=F(b)-F(a) olurdu; c sabiti farkta sadeleşir. Bu yüzden belirli integralde köşeli parantez içine asla +c yazılmaz.

Üst Sınırı Değişken Olan İntegralin Türevi

Alt sınır sabit, üst sınır değişken olan bir integral aslında bir fonksiyon tanımlar. Teoremin türev biçimi şudur:

\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt=f(x).

Üst sınır x yerine g(x) gibi bir ifadeyse zincir kuralı devreye girer:

\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).

Buradaki g'(x) çarpanını unutmak, AYT'de bu tip soruların en sık çeldiricisidir.

3. Belirli İntegralin Özellikleri

Aşağıdaki özellikler, integral hesaplarını kısaltır ve sınav sorularının çoğunun temelidir:

ÖzellikFormül
Aynı sınır\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0
Sınır değişimi\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{b}^{a} f(x)\,dx
Toplam – fark\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f\pm g\big)\,dx=\int_{a}^{b} f\,dx\pm\int_{a}^{b} g\,dx
Sabitle çarpım\displaystyle\int_{a}^{b} c\,f(x)\,dx=c\int_{a}^{b} f(x)\,dx
Aralık bölme\displaystyle\int_{a}^{c} f\,dx+\int_{c}^{b} f\,dx=\int_{a}^{b} f\,dx

Dikkat: Belirli integral bir işaretli değerdir, alan değil. f aralıkta negatifse \int_{a}^{b} f(x)\,dx negatif çıkabilir. Alan istendiğinde mutlak değer/işaret ayrı düşünülür.

Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx integralini hesaplayınız.

  1. Antiderivatifi bul: 2x'in antiderivatifi x^{2}'dir (çünkü \frac{d}{dx}x^{2}=2x).
  2. Newton–Leibniz uygula: \displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx=\Big[x^{2}\Big]_{1}^{3}.
  3. Üst sınır eksi alt sınır: 3^{2}-1^{2}=9-1=8.
Sonuç: \displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx=8.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{2} \big(3x^{2}-2x\big)\,dx integralini hesaplayınız.

Toplam–fark özelliğini kullan; her terimin antiderivatifini ayrı ayrı al, sonra tek bir köşeli parantezde sınırları yerine yaz.

  1. Terim terim antiderivatif al: 3x^{2}\to x^{3}, \ 2x\to x^{2}. Yani antiderivatif x^{3}-x^{2}.
  2. Newton–Leibniz: \displaystyle\int_{1}^{2}\big(3x^{2}-2x\big)\,dx=\Big[x^{3}-x^{2}\Big]_{1}^{2}.
  3. Üst sınır (x=2): 2^{3}-2^{2}=8-4=4.
  4. Alt sınır (x=1): 1^{3}-1^{2}=1-1=0.
  5. Farkı al: 4-0=4.
Sonuç: \displaystyle\int_{1}^{2}\big(3x^{2}-2x\big)\,dx=4.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx integralini hesaplayınız.

  1. \cos x'in antiderivatifi \sin x'tir (çünkü \frac{d}{dx}\sin x=\cos x).
  2. Newton–Leibniz: \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi/2}.
  3. Sınırları yerine yaz: \sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0=1-0=1.
Sonuç: \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=1.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{1} e^{x}\,dx integralini hesaplayınız.

  1. e^{x}'in antiderivatifi yine e^{x}'tir (çünkü \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}).
  2. Newton–Leibniz: \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x}\,dx=\Big[e^{x}\Big]_{0}^{1}.
  3. Sınırları yerine yaz: e^{1}-e^{0}=e-1.
Sonuç: \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x}\,dx=e-1.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx=5 ve \displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,dx=3 veriliyor. \displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,dx kaçtır?

f'in açık ifadesini bilmene gerek yok. Aralık bölme özelliğini ters yönde kullan.

  1. Aralık bölme özelliği: \displaystyle\int_{0}^{2} f\,dx+\int_{2}^{5} f\,dx=\int_{0}^{5} f\,dx (c=2 ara noktası).
  2. Verilen değerleri yerine yaz: 5+3=8.
Sonuç: \displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,dx=8.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{1} 2x\,\big(x^{2}+1\big)^{3}\,dx integralini değişken değiştirerek hesaplayınız.

u=x^{2}+1 dönüşümünü yap. Değişkenle birlikte sınırları da u cinsine çevir; böylece geri x'e dönmen gerekmez.

  1. Dönüşümü seç: u=x^{2}+1. O zaman du=2x\,dx olur ki bu tam payımızdaki 2x\,dx'tir.
  2. Sınırları güncelle: x=0\Rightarrow u=0^{2}+1=1 ve x=1\Rightarrow u=1^{2}+1=2.
  3. İntegrali u cinsine yaz: \displaystyle\int_{0}^{1} 2x\,\big(x^{2}+1\big)^{3}\,dx=\int_{1}^{2} u^{3}\,du.
  4. Antiderivatifi al ve değerlendir: \displaystyle\int_{1}^{2} u^{3}\,du=\Big[\dfrac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}=\dfrac{2^{4}}{4}-\dfrac{1^{4}}{4}=\dfrac{16}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}.
Sonuç: \displaystyle\int_{0}^{1} 2x\,\big(x^{2}+1\big)^{3}\,dx=\dfrac{15}{4}.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{4}\big(2x-1\big)\,dx integralini hesaplayınız.

  1. Terim terim antiderivatif al: 2x\to x^{2}, \ -1\to -x. Antiderivatif x^{2}-x.
  2. Newton–Leibniz: \Big[x^{2}-x\Big]_{1}^{4}.
  3. Üst sınır (x=4): 4^{2}-4=16-4=12.
  4. Alt sınır (x=1): 1^{2}-1=0.
  5. Farkı al: 12-0=12.
Sonuç: \displaystyle\int_{1}^{4}\big(2x-1\big)\,dx=12.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{9}\sqrt{x}\,dx integralini hesaplayınız.

\sqrt{x}=x^{1/2} olarak yaz; kuvvet kuralıyla antiderivatif al.

  1. Üslü forma geç: \sqrt{x}=x^{1/2}.
  2. Antiderivatif: \dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
  3. Newton–Leibniz: \Big[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\Big]_{0}^{9}.
  4. Sınırları yerine yaz: \dfrac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\dfrac{2}{3}\cdot 0=\dfrac{2}{3}\cdot 27=18.
Sonuç: \displaystyle\int_{0}^{9}\sqrt{x}\,dx=18.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{-1}^{1}\big(x^{3}+x\big)\,dx integralini hesaplayınız.

  1. Antiderivatifi bul: x^{3}\to\dfrac{x^{4}}{4}, \ x\to\dfrac{x^{2}}{2}. Antiderivatif \dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{2}}{2}.
  2. Üst sınır (x=1): \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.
  3. Alt sınır (x=-1): \dfrac{(-1)^{4}}{4}+\dfrac{(-1)^{2}}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.
  4. Farkı al: \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{4}=0. (İntegrand tek fonksiyon, simetrik aralıkta integrali sıfır.)
Sonuç: \displaystyle\int_{-1}^{1}\big(x^{3}+x\big)\,dx=0.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{1}{x}\,dx integralini hesaplayınız.

  1. \dfrac{1}{x}'in antiderivatifi \ln x'tir (çünkü \frac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}).
  2. Newton–Leibniz: \Big[\ln x\Big]_{1}^{e}.
  3. Sınırları yerine yaz: \ln e-\ln 1=1-0=1.
Sonuç: \displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{1}{x}\,dx=1.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx=7 veriliyor. \displaystyle\int_{0}^{3}\big(2f(x)+1\big)\,dx kaçtır?

Toplam–fark ve sabitle çarpım özelliklerini kullan; \int_{0}^{3} 1\,dx aralık uzunluğudur.

  1. İntegrali parçala: \displaystyle\int_{0}^{3}\big(2f(x)+1\big)\,dx=2\int_{0}^{3} f(x)\,dx+\int_{0}^{3} 1\,dx.
  2. İlk terim: 2\cdot 7=14.
  3. İkinci terim: \Big[x\Big]_{0}^{3}=3-0=3.
  4. Topla: 14+3=17.
Sonuç: \displaystyle\int_{0}^{3}\big(2f(x)+1\big)\,dx=17.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx integralini hesaplayınız.

  1. \sin x'in antiderivatifi -\cos x'tir (çünkü \frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x).
  2. Newton–Leibniz: \Big[-\cos x\Big]_{0}^{\pi}.
  3. Sınırları yerine yaz: -\cos\pi-\big(-\cos 0\big)=-(-1)+1=1+1=2.
Sonuç: \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2.
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{2}^{3}\dfrac{2x}{x^{2}-1}\,dx integralini değişken değiştirerek hesaplayınız.

u=x^{2}-1 al; payı tam du verir. Sınırları u cinsine çevir.

  1. Dönüşümü seç: u=x^{2}-1. O zaman du=2x\,dx olur ki bu tam paydaki ifadedir.
  2. Sınırları güncelle: x=2\Rightarrow u=2^{2}-1=3 ve x=3\Rightarrow u=3^{2}-1=8.
  3. İntegrali u cinsine yaz: \displaystyle\int_{2}^{3}\dfrac{2x}{x^{2}-1}\,dx=\int_{3}^{8}\dfrac{1}{u}\,du.
  4. Antiderivatifi al ve değerlendir: \Big[\ln u\Big]_{3}^{8}=\ln 8-\ln 3=\ln\dfrac{8}{3}.
Sonuç: \displaystyle\int_{2}^{3}\dfrac{2x}{x^{2}-1}\,dx=\ln\dfrac{8}{3}.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için \displaystyle\int_{0}^{2} f'(x)\,dx=5, \displaystyle\int_{2}^{6} f'(x)\,dx=-3 ve f(0)=4 veriliyor.

Buna göre f(6) kaçtır?

A) 2 · B) 4 · C) 6 · D) 8 · E) 10

  1. Aralık bölme özelliğiyle türevin tüm aralıktaki integralini topla: \displaystyle\int_{0}^{6} f'(x)\,dx=\int_{0}^{2} f'(x)\,dx+\int_{2}^{6} f'(x)\,dx=5+(-3)=2.
  2. Analizin Temel Teoremi: \displaystyle\int_{0}^{6} f'(x)\,dx=f(6)-f(0).
  3. Değerleri yerine yaz: f(6)-f(0)=2, yani f(6)-4=2.
  4. Çöz: f(6)=6.
Sonuç: C) 6
Örnek
Soru

Bir f fonksiyonu için \displaystyle\int_{1}^{5} f(x)\,dx=12 ve \displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,dx=8 veriliyor.

Buna göre \displaystyle\int_{5}^{3} 3f(x)\,dx kaçtır?

A) 4 · B) -4 · C) 12 · D) 6 · E) -12

  1. Aralık bölme özelliğiyle aradaki integrali bul: \displaystyle\int_{1}^{3} f\,dx+\int_{3}^{5} f\,dx=\int_{1}^{5} f\,dx, yani 8+\int_{3}^{5} f\,dx=12.
  2. Buradan \displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,dx=12-8=4.
  3. Sınır değişimi özelliği: \displaystyle\int_{5}^{3} f(x)\,dx=-\int_{3}^{5} f(x)\,dx=-4.
  4. Sabitle çarpım özelliği: \displaystyle\int_{5}^{3} 3f(x)\,dx=3\cdot(-4)=-12.
Sonuç: E) -12
Örnek
Soru

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için \displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,dx=9 veriliyor.

Buna göre \displaystyle\int_{1}^{4}\big(2f(x)-x\big)\,dx kaçtır?

A) 9 · B) \dfrac{21}{2} · C) \dfrac{27}{2} · D) 11 · E) 12

  1. Toplam–fark ve sabitle çarpım özellikleriyle integrali ayır: \displaystyle\int_{1}^{4}\big(2f(x)-x\big)\,dx=2\int_{1}^{4} f(x)\,dx-\int_{1}^{4} x\,dx.
  2. İlk terim: 2\cdot 9=18.
  3. İkinci terimi Newton–Leibniz ile hesapla: \displaystyle\int_{1}^{4} x\,dx=\Big[\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{1}^{4}=\dfrac{16}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}.
  4. Farkı al: 18-\dfrac{15}{2}=\dfrac{36}{2}-\dfrac{15}{2}=\dfrac{21}{2}.
Sonuç: B) \dfrac{21}{2}
Örnek
Soru

\displaystyle F(x)=\int_{1}^{x^{2}} \dfrac{1}{t}\,dt fonksiyonu x>0 için tanımlanıyor.

Buna göre F'(x) aşağıdakilerden hangisidir?

A) \dfrac{1}{x^{2}} · B) \dfrac{1}{x} · C) \dfrac{2}{x} · D) 2x · E) \dfrac{2}{x^{2}}

Üst sınır x^{2} olduğundan zincir kuralı devreye girer: \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).

  1. Analizin temel teoreminin zincir kurallı biçimi: \displaystyle\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{g(x)} f(t)\,dt=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).

  2. Burada f(t)=\dfrac{1}{t} ve g(x)=x^{2}, g'(x)=2x.

  3. Yerine yaz: F'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{x^{2}}=\dfrac{2}{x}.

  4. Çeldirici kontrolü: g'(x)=2x çarpanını (zincir kuralını) unutan, B şıkkındaki \dfrac{1}{x^{2}} veya \dfrac{1}{x}'i seçer.

Sonuç: C) \dfrac{2}{x}
Örnek
Soru

f sürekli bir fonksiyon ve a bir gerçek sayı olmak üzere \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx=8 veriliyor.

Buna göre \displaystyle\int_{0}^{3}\big(f(x)+a\big)\,dx=20 eşitliğini sağlayan a kaçtır?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) 5 · E) 6

  1. Toplam özelliğiyle ayır: \displaystyle\int_{0}^{3}\big(f(x)+a\big)\,dx=\int_{0}^{3} f(x)\,dx+\int_{0}^{3} a\,dx.

  2. İlk terim 8; ikinci terim sabit integralidir: \displaystyle\int_{0}^{3} a\,dx=a\big[x\big]_{0}^{3}=3a.

  3. Eşitliği kur: 8+3a=20\Rightarrow 3a=12\Rightarrow a=4.

  4. Çeldirici kontrolü: \int_{0}^{3} a\,dx'i a (aralık uzunluğunu unutarak) sanan, 8+a=20'den a=12 bulur — hata.

Sonuç: C) 4
Örnek
Soru

f fonksiyonu tüm gerçek sayılarda tek fonksiyon (f(-x)=-f(x)) ve süreklidir. \displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx=6 veriliyor.

Buna göre \displaystyle\int_{-4}^{4}\big(f(x)+x^{2}\big)\,dx kaçtır?

A) \dfrac{128}{3} · B) \dfrac{128}{3}+6 · C) \dfrac{128}{3}+12 · D) \dfrac{64}{3} · E) \dfrac{64}{3}+6

Tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali 0'dır. x^{2} ise çift fonksiyondur: \int_{-4}^{4}x^{2}\,dx=2\int_{0}^{4}x^{2}\,dx.

  1. Toplam özelliğiyle ayır: \displaystyle\int_{-4}^{4} f(x)\,dx+\int_{-4}^{4} x^{2}\,dx.

  2. f tek fonksiyon ve aralık simetrik olduğundan \displaystyle\int_{-4}^{4} f(x)\,dx=0. (Verilen 6 değeri tuzaktır.)

  3. x^{2} çift fonksiyon: \displaystyle\int_{-4}^{4} x^{2}\,dx=2\int_{0}^{4} x^{2}\,dx=2\Big[\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{4}=2\cdot\dfrac{64}{3}=\dfrac{128}{3}.

  4. Topla: 0+\dfrac{128}{3}=\dfrac{128}{3}.

  5. Çeldirici kontrolü: tek fonksiyon simetrisini atlayıp 6'yı ekleyen B şıkkını seçer.

Sonuç: A) \dfrac{128}{3}

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Bir belirli integral gördüğünde refleksin şu olsun: önce antiderivatifi (belirsiz integrali) bul, sonra \Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a) ile bitir. Eğer dönüşüm (değişken değiştirme) yapıyorsan sınırları da u cinsine çevir; bu durumda işlemin sonunda x'e geri dönmene gerek kalmaz, doğrudan u sınırlarında değerlendirirsin. f'in formülü verilmeyip yalnızca bazı integral değerleri verildiğinde, soru kesinlikle özelliklerle (aralık bölme, sabitle çarpım, toplam–fark) çözülüyordur.

İntegral — diğer konular