çözümebak

AYT Matematik · İntegral

Değişken Değiştirme (Yerine Koyma) Yöntemi

~9 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

Değişken değiştirme (yerine koyma), zincir kuralının tersidir. İçinde bir ifadeyle birlikte o ifadenin türevi de bulunan integralleri, u adında tek bir değişkene indirgeyerek çözmemizi sağlar. AYT'de en çok karşımıza çıkan integral tekniğidir; bu konuyu refleks hâline getirmek, integral sorularının çoğunu birkaç satırda bitirir.

1. Yöntemin Temeli

Zincir kuralı bize \dfrac{d}{dx}\,F\big(g(x)\big)=F'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) der. Bu eşitliğin her iki yanının integralini alırsak yöntemin çekirdeği ortaya çıkar:

\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\qquad u=g(x).

Buradaki kilit fikir şudur: u=g(x) dersek, diferansiyel du=g'(x)\,dx olur. Yani integrandda hem g(x) hem de onun türevi g'(x)\,dx birlikte görünüyorsa, integrali tamamen u cinsinden yazıp basit bir kuvvet/temel integrale dönüştürebiliriz.

2. Yöntemin Adımları

AdımYapılacak
1Uygun bir u=g(x) seç (genelde "iç fonksiyon" ya da türevi integrandda olan ifade)
2du=g'(x)\,dx hesapla
3İntegrali tamamen u ve du cinsinden yaz (geriye hiç x kalmamalı)
4u'ya göre integre et
5u=g(x)'i geri koy (+c'yi unutma)

Pusula: İntegrandda "bir ifade ve (sabit kat farkıyla) onun türevi" birlikte görünüyorsa, o ifadeye u de. Adım 3'ten sonra integralde hâlâ x kaldıysa, u seçimi yanlıştır.

3. Doğrusal İç Fonksiyon Kısayolu

İç fonksiyon doğrusal olduğunda (u=ax+b) her zaman du=a\,dx, yani dx=\dfrac{1}{a}\,du olur. Bu yüzden şu kalıpları ezberden uygulayabilirsin:

\int (ax+b)^{n}\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a\,(n+1)}+c,\qquad \int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+c.

Buradaki \dfrac{1}{a} katsayısı, doğrusal içli integrallerde en sık unutulan ayrıntıdır.

Örnek
Soru

\displaystyle\int 2x\,(x^{2}+1)^{3}\,dx integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon x^{2}+1 ve onun türevi 2x integrandda birlikte duruyor. u=x^{2}+1 dene.

  1. Değişken seç: u=x^{2}+1.
  2. Diferansiyeli al: du=2x\,dx. İntegrandda 2x\,dx aynen var.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int u^{3}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{u^{4}}{4}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{(x^{2}+1)^{4}}{4}+c.
Sonuç: \dfrac{(x^{2}+1)^{4}}{4}+c. (Türevi: \dfrac{4(x^{2}+1)^{3}\cdot 2x}{4}=2x(x^{2}+1)^{3} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx integralini hesaplayınız.

Kök içindeki x^{2}+1 ifadesinin türevi 2x; paydaki x ile sabit kat farkıyla uyuşuyor.

  1. Değişken seç: u=x^{2}+1.
  2. Diferansiyeli al: du=2x\,dx \Rightarrow x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}\cdot\dfrac{1}{2}\,du=\dfrac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{1/2}}{1/2}+c=u^{1/2}+c=\sqrt{u}+c.
  5. Geri koy: \sqrt{x^{2}+1}+c.
Sonuç: \sqrt{x^{2}+1}+c. (Türevi: \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int \cos(3x)\,dx integralini hesaplayınız.

  1. İç fonksiyon doğrusal: u=3x.
  2. Diferansiyeli al: du=3\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{1}{3}\,du.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int \cos u\cdot\dfrac{1}{3}\,du=\dfrac{1}{3}\int \cos u\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{3}\sin u+c.
  5. Geri koy: \dfrac{1}{3}\sin(3x)+c.
Sonuç: \dfrac{1}{3}\sin(3x)+c. (Türevi: \dfrac{1}{3}\cos(3x)\cdot 3=\cos(3x) ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int (2x+1)^{5}\,dx integralini hesaplayınız.

  1. İç fonksiyon doğrusal: u=2x+1.
  2. Diferansiyeli al: du=2\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}\,du.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int u^{5}\cdot\dfrac{1}{2}\,du=\dfrac{1}{2}\int u^{5}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{6}}{6}+c=\dfrac{u^{6}}{12}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{(2x+1)^{6}}{12}+c.
Sonuç: \dfrac{(2x+1)^{6}}{12}+c. (Türevi: \dfrac{6(2x+1)^{5}\cdot 2}{12}=(2x+1)^{5} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int \sin^{3}x\,\cos x\,dx integralini hesaplayınız.

\sin^{3}x=(\sin x)^{3} olarak oku. \sin x'in türevi \cos x ve o da integrandda var.

  1. Değişken seç: u=\sin x.
  2. Diferansiyeli al: du=\cos x\,dx. İntegranddaki \cos x\,dx tam olarak budur.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int u^{3}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{u^{4}}{4}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{\sin^{4}x}{4}+c.
Sonuç: \dfrac{\sin^{4}x}{4}+c. (Türevi: \dfrac{4\sin^{3}x\cdot\cos x}{4}=\sin^{3}x\cos x ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int x\,(x^{2}-5)^{4}\,dx integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon x^{2}-5, türevi 2x. İntegrandda yalnız x var; aradaki 2 katsayısını du üzerinden düzelteceğiz.

  1. Değişken seç: u=x^{2}-5.
  2. Diferansiyeli al: du=2x\,dx \Rightarrow x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int u^{4}\cdot\dfrac{1}{2}\,du=\dfrac{1}{2}\int u^{4}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{5}}{5}+c=\dfrac{u^{5}}{10}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{(x^{2}-5)^{5}}{10}+c.
Sonuç: \dfrac{(x^{2}-5)^{5}}{10}+c. (Türevi: \dfrac{5(x^{2}-5)^{4}\cdot 2x}{10}=x(x^{2}-5)^{4} ✓)

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\displaystyle\int (3x-2)^{4}\,dx integralini hesaplayınız.

  1. İç fonksiyon doğrusal: u=3x-2.
  2. Diferansiyeli al: du=3\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{1}{3}\,du.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int u^{4}\cdot\dfrac{1}{3}\,du=\dfrac{1}{3}\int u^{4}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{5}}{5}+c=\dfrac{u^{5}}{15}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{(3x-2)^{5}}{15}+c.
Sonuç: \dfrac{(3x-2)^{5}}{15}+c. (Türevi: \dfrac{5(3x-2)^{4}\cdot 3}{15}=(3x-2)^{4} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^{2}+4}\,dx integralini hesaplayınız.

  1. Değişken seç: u=x^{2}+4.
  2. Diferansiyeli al: du=2x\,dx. Paydaki 2x\,dx aynen var.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int \dfrac{1}{u}\,du.
  4. İntegre et: \ln|u|+c.
  5. Geri koy: \ln(x^{2}+4)+c (payda her zaman pozitif olduğu için mutlak değer açıldı).
Sonuç: \ln(x^{2}+4)+c. (Türevi: \dfrac{2x}{x^{2}+4} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int e^{5x}\,dx integralini hesaplayınız.

  1. İç fonksiyon doğrusal: u=5x.
  2. Diferansiyeli al: du=5\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{1}{5}\,du.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int e^{u}\cdot\dfrac{1}{5}\,du=\dfrac{1}{5}\int e^{u}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{5}e^{u}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{1}{5}e^{5x}+c.
Sonuç: \dfrac{1}{5}e^{5x}+c. (Türevi: \dfrac{1}{5}e^{5x}\cdot 5=e^{5x} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int \dfrac{\ln x}{x}\,dx integralini hesaplayınız.

\ln x'in türevi \dfrac{1}{x} ve o da integrandda \dfrac{1}{x}\,dx olarak duruyor.

  1. Değişken seç: u=\ln x.
  2. Diferansiyeli al: du=\dfrac{1}{x}\,dx. İntegranddaki \dfrac{1}{x}\,dx tam olarak budur.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int u\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{u^{2}}{2}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{(\ln x)^{2}}{2}+c.
Sonuç: \dfrac{(\ln x)^{2}}{2}+c. (Türevi: \dfrac{2\ln x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln x}{x} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx integralini hesaplayınız.

Kök içindeki x^{3}+1 ifadesinin türevi 3x^{2}; integranddaki x^{2} ile yalnızca 3 kat farkı var.

  1. Değişken seç: u=x^{3}+1.
  2. Diferansiyeli al: du=3x^{2}\,dx \Rightarrow x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}\,du.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int \sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{3}\,du=\dfrac{1}{3}\int u^{1/2}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{3/2}}{3/2}+c=\dfrac{2}{9}u^{3/2}+c.
  5. Geri koy: \dfrac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+c.
Sonuç: \dfrac{2}{9}(x^{3}+1)\sqrt{x^{3}+1}+c. (Türevi: \dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{3}{2}(x^{3}+1)^{1/2}\cdot 3x^{2}=x^{2}\sqrt{x^{3}+1} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}\,dx integralini hesaplayınız.

\sin^{2}x=(\sin x)^{2} olarak oku. \sin x'in türevi \cos x ve o da payda duruyor.

  1. Değişken seç: u=\sin x.
  2. Diferansiyeli al: du=\cos x\,dx. Paydaki \cos x\,dx tam olarak budur.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\int \dfrac{1}{u^{2}}\,du=\int u^{-2}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{u^{-1}}{-1}+c=-\dfrac{1}{u}+c.
  5. Geri koy: -\dfrac{1}{\sin x}+c.
Sonuç: -\dfrac{1}{\sin x}+c. (Türevi: -\big(-\sin^{-2}x\big)\cos x=\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x} ✓)
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{1} x\,(x^{2}+1)^{3}\,dx belirli integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon x^{2}+1, türevi 2x. Değişkenle birlikte sınırları da u cinsine çevir.

  1. Değişken seç: u=x^{2}+1, böylece du=2x\,dx \Rightarrow x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du.
  2. Sınırları çevir: x=0 için u=1, x=1 için u=2.
  3. u cinsinden yaz: \displaystyle\dfrac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{3}\,du.
  4. İntegre et: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{4}}{4}\Big|_{1}^{2}=\dfrac{1}{8}\big(2^{4}-1^{4}\big).
  5. Hesapla: \dfrac{1}{8}(16-1)=\dfrac{15}{8}.
Sonuç: \dfrac{15}{8}.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

f'(x)=6x^{2}\,(x^{3}+2)^{2} ve f(0)=5 olduğuna göre f(-1) kaçtır?

A) -\dfrac{2}{3} · B) 0 · C) \dfrac{1}{3} · D) \dfrac{2}{3} · E) \dfrac{16}{3}

  1. f(x)=\displaystyle\int 6x^{2}\,(x^{3}+2)^{2}\,dx. Değişken seç: u=x^{3}+2 \Rightarrow du=3x^{2}\,dx, yani 6x^{2}\,dx=2\,du.
  2. u cinsinden yaz: \displaystyle\int 2u^{2}\,du=\dfrac{2u^{3}}{3}+c.
  3. Geri koy: f(x)=\dfrac{2(x^{3}+2)^{3}}{3}+c.
  4. Başlangıç koşulu: f(0)=\dfrac{2\cdot 2^{3}}{3}+c=\dfrac{16}{3}+c=5 \Rightarrow c=-\dfrac{1}{3}.
  5. x=-1 için x^{3}+2=1: f(-1)=\dfrac{2\cdot 1^{3}}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.
Sonuç: C) \dfrac{1}{3}
Örnek
Soru

a>0 olmak üzere \displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\ln 5 olduğuna göre a kaçtır?

A) 1 · B) \sqrt{3} · C) 2 · D) \sqrt{5} · E) 3

  1. Değişken seç: u=x^{2}+1 \Rightarrow du=2x\,dx. Sınırlar: x=0 \Rightarrow u=1, x=a \Rightarrow u=a^{2}+1.
  2. u cinsinden yaz: \displaystyle\int_{1}^{a^{2}+1}\dfrac{1}{u}\,du=\ln u\Big|_{1}^{a^{2}+1}=\ln(a^{2}+1)-\ln 1.
  3. \ln 1=0 olduğundan integral \ln(a^{2}+1) değerine eşittir.
  4. Koşul: \ln(a^{2}+1)=\ln 5 \Rightarrow a^{2}+1=5 \Rightarrow a^{2}=4.
  5. a>0 olduğundan a=2.
Sonuç: C) 2
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\big(\sin^{4}x+\sin^{2}x\big)\cos x\,dx integralinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{8}{15} · B) \dfrac{1}{2} · C) \dfrac{3}{5} · D) \dfrac{2}{3} · E) \dfrac{4}{5}

  1. Değişken seç: u=\sin x \Rightarrow du=\cos x\,dx. Sınırlar: x=0 \Rightarrow u=0, x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u=1.
  2. u cinsinden yaz: \displaystyle\int_{0}^{1}\big(u^{4}+u^{2}\big)\,du.
  3. İntegre et: \dfrac{u^{5}}{5}+\dfrac{u^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}.
  4. Sınırları yerleştir: \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}-0=\dfrac{3}{15}+\dfrac{5}{15}=\dfrac{8}{15}.
Sonuç: A) \dfrac{8}{15}
Örnek
Soru

\displaystyle\int \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\,dx=\ln\big(g(x)\big)+c olduğuna göre, g(\ln 3) kaçtır?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) \ln 3 · E) \ln 4

Payda e^{x}+1'in türevi e^{x} ve o da paydadır. u=e^{x}+1 dönüşümünü dene.

  1. Değişken seç: u=e^{x}+1 \Rightarrow du=e^{x}\,dx. Paydaki e^{x}\,dx tam du'dur.

  2. u cinsinden yaz: \displaystyle\int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+c=\ln(e^{x}+1)+c (e^{x}+1>0).

  3. Karşılaştır: \ln\big(g(x)\big)=\ln(e^{x}+1), yani g(x)=e^{x}+1.

  4. İstenen değer: g(\ln 3)=e^{\ln 3}+1=3+1=4.

Sonuç: C) 4
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{(\ln x+1)}{x}\,dx integralinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{\ln^{2}2}{2} · B) \ln 2+\dfrac{\ln^{2}2}{2} · C) \ln 2 · D) 1+\ln 2 · E) \dfrac{(\ln 2+1)^{2}}{2}

u=\ln x al; du=\dfrac{1}{x}\,dx ve integrand u+1 olur. Sınırları u cinsine çevir.

  1. Değişken seç: u=\ln x \Rightarrow du=\dfrac{1}{x}\,dx. Sınırlar: x=1\Rightarrow u=0, x=2\Rightarrow u=\ln 2.

  2. u cinsinden yaz: \displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(u+1)\,du.

  3. İntegre et: \Big[\dfrac{u^{2}}{2}+u\Big]_{0}^{\ln 2}=\dfrac{\ln^{2}2}{2}+\ln 2-0.

  4. Sonuç: \ln 2+\dfrac{\ln^{2}2}{2}.

  5. Çeldirici kontrolü: +1 terimini (yani \ln 2 katkısını) unutan, A şıkkındaki yalnız \dfrac{\ln^{2}2}{2}'yi bulur.

Sonuç: B) \ln 2+\dfrac{\ln^{2}2}{2}
Örnek
Soru

\displaystyle\int_{0}^{2} x\,\sqrt{x^{2}+1}\,dx integralinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{5\sqrt5-1}{3} · B) \dfrac{5\sqrt5}{3} · C) \dfrac{5\sqrt5-1}{2} · D) \dfrac{4\sqrt5}{3} · E) \dfrac{2(5\sqrt5-1)}{3}

u=x^{2}+1 al; x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Sınırları u cinsine çevir; 5^{3/2}=5\sqrt5 olduğunu hatırla.

  1. Değişken seç: u=x^{2}+1 \Rightarrow du=2x\,dx, yani x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Sınırlar: x=0\Rightarrow u=1, x=2\Rightarrow u=5.

  2. u cinsinden yaz: \displaystyle\dfrac{1}{2}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.

  3. İntegre et: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{3/2}}{3/2}\Big|_{1}^{5}=\dfrac{1}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{1}^{5}.

  4. Sınırları yerleştir: \dfrac{1}{3}\big(5^{3/2}-1\big)=\dfrac{1}{3}\big(5\sqrt5-1\big).

Sonuç: A) \dfrac{5\sqrt5-1}{3}

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İntegrale bakar bakmaz şunu sor: "Burada bir ifade ve onun türevi birlikte mi duruyor?" Cevap evetse o ifadeye u de; gerisi mekaniktir. Tipik kalıplar: g'(x)\,g(x)^{n}, \dfrac{g'(x)}{g(x)} benzeri yapılar ve \dfrac{g'(x)}{\sqrt{g(x)}}.

Doğrusal içli integralleri (\sin(ax), \cos(ax), (ax+b)^{n}) tek tek u kurmadan, doğrudan \dfrac{1}{a} kuralıyla refleks olarak bitir. Bu, sınavda saniyeler kazandırır. Emin değilsen bulduğun sonucun türevini al: integrandı geri elde ediyorsan cevap doğrudur.

İntegral — diğer konular