AYT Matematik · İntegral

Belirsiz İntegral ve Temel Kurallar

~9 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Belirsiz integral, türev almanın tersi işlemdir: türevi verilen bir fonksiyonu geri bulmaktır. Bu konu, ters türev kavramını, integral sabiti $c$ 'nin neden zorunlu olduğunu ve sınavda doğrudan kullanacağın temel integral kurallarını kurar. Her kuralı türev alarak kontrol etmeyi alışkanlık hâline getir; integralde tek güvenilir denetim budur.

1. Ters Türev (Belirsiz İntegral) Kavramı

$F$ fonksiyonunun türevi $f$ ise, yani $F'(x)=f(x)$ ise, $F$ 'ye $f$ 'nin bir ters türevi (ilkel fonksiyonu) denir. Bunu şöyle gösteririz:

$\int f(x)\,dx=F(x)+c \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x)=f(x)$

Buradaki $f(x)$ 'e integrand, $dx$ 'e ise değişkenin $x$ olduğunu belirten diferansiyel denir. İntegral almak, "türevi $f(x)$ olan fonksiyon nedir?" sorusunu yanıtlamaktır.

İntegral Sabiti $c$ Neden Daima Yazılır?

Sabitin türevi sıfırdır. Bu yüzden $F(x)$ bir ters türevse, $F(x)+5$ , $F(x)-2$ ve genel olarak $F(x)+c$ de aynı türeve sahiptir. Türevi aynı olan sonsuz çoklukta fonksiyon vardır ve bunlar birbirinden yalnızca bir sabitle ayrılır. Bu sonsuz aileyi tek ifadeyle yazmak için integral sabiti $c$ her zaman eklenir.

Sık yapılan hata: Sonuca $+c$ eklemeyi unutmak. Belirsiz integralin cevabı tek bir fonksiyon değil, $+c$ 'li bir fonksiyon ailesidir; $c$ 'siz cevap eksiktir.

2. Temel İntegral Kuralları

Aşağıdaki kuralların her biri, sağ tarafın türevi alınarak doğrulanabilir (türev, soldaki integrand'a eşit çıkar):

İntegral	Sonuç	Koşul
$\displaystyle\int k\,dx$	$kx+c$	$k$ sabit
$\displaystyle\int x^{n}\,dx$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c$	$n\ne -1$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx$	$\ln\lvert x\rvert+c$	$x\ne 0$
$\displaystyle\int e^{x}\,dx$	$e^{x}+c$
$\displaystyle\int a^{x}\,dx$	$\dfrac{a^{x}}{\ln a}+c$	$a>0,\ a\ne 1$
$\displaystyle\int \sin x\,dx$	$-\cos x+c$
$\displaystyle\int \cos x\,dx$	$\sin x+c$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx$	$\tan x+c$

Kuvvet kuralında $n=-1$ değeri payda $n+1=0$ yaptığından yasaktır; bu tek durumun karşılığı ayrı bir kuraldır: $\displaystyle\int x^{-1}\,dx=\ln\lvert x\rvert+c$ .

Doğrusallık Kuralları

İntegral doğrusal bir işlemdir: sabit çarpan dışarı alınır, toplam–fark terim terim integrallenir.

$\int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx \qquad \int \big(f(x)\pm g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$

Bu iki kural sayesinde polinomları ve birden çok terimli ifadeleri terim terim integralleyebiliriz.

Örnek

Soru

$\displaystyle\int (3x^{2}-4x+5)\,dx$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile terim terim ayır: $\displaystyle\int 3x^{2}\,dx-\int 4x\,dx+\int 5\,dx$ .
Kuvvet kuralını her terime uygula: $3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}-4\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+5x$ .
Sadeleştir ve tek bir $c$ ekle: $x^{3}-2x^{2}+5x+c$ .
Kontrol: $\big(x^{3}-2x^{2}+5x+c\big)'=3x^{2}-4x+5$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\displaystyle\int (3x^{2}-4x+5)\,dx=x^{3}-2x^{2}+5x+c

Örnek

Soru

$\displaystyle\int \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\,dx$ integralini hesaplayınız.

Kök ve paydadaki kuvvetleri önce üslü ifadeye çevir: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ ve $\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}$ . Sonra kuvvet kuralını uygula.

Terimleri üslü yaz: $\displaystyle\int x^{1/2}\,dx+\int x^{-2}\,dx$ .
İlk terim ( $n=\tfrac{1}{2}$ ): $\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2}$ .
İkinci terim ( $n=-2$ ): $\dfrac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\dfrac{1}{x}$ .
Birleştir: $\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{x}+c$ .
Kontrol: $\left(\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{x}\right)'=x^{1/2}+x^{-2}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^{2}}$ . Doğru.

Sonuç:

\displaystyle\int \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{x}+c

Örnek

Soru

$\displaystyle\int (2\cos x-e^{x})\,dx$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile ayır: $\displaystyle 2\int \cos x\,dx-\int e^{x}\,dx$ .
Temel kuralları uygula: $\displaystyle\int \cos x\,dx=\sin x$ ve $\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}$ .
Yerine yaz ve $c$ ekle: $2\sin x-e^{x}+c$ .
Kontrol: $\big(2\sin x-e^{x}+c\big)'=2\cos x-e^{x}$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\displaystyle\int (2\cos x-e^{x})\,dx=2\sin x-e^{x}+c

Örnek

Soru

$F'(x)=3x^{2}-2$ ve $F(1)=4$ olduğuna göre $F(x)$ fonksiyonunu bulunuz.

Önce integral alıp $F(x)$ 'i $+c$ ile genel hâlde yaz. Sonra verilen başlangıç koşulu $F(1)=4$ 'ü kullanarak $c$ 'yi sayısal olarak belirle.

$F'(x)$ 'in integralini al: $\displaystyle F(x)=\int (3x^{2}-2)\,dx=x^{3}-2x+c$ .
Başlangıç koşulunu yerine yaz: $F(1)=1^{3}-2\cdot 1+c=1-2+c=-1+c$ .
$-1+c=4$ denkleminden $c$ 'yi çöz: $c=5$ .
$c$ 'yi yerine koy: $F(x)=x^{3}-2x+5$ .
Kontrol: $F'(x)=3x^{2}-2$ ve $F(1)=1-2+5=4$ . Her iki koşul da sağlanır.

Sonuç:

F(x)=x^{3}-2x+5

Örnek

Soru

$\displaystyle\int \dfrac{x^{2}+1}{x}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Bölme hâlindeki ifadeyi doğrudan integralleyemezsin. Önce payı paydaya terim terim böl: $\dfrac{x^{2}+1}{x}=\dfrac{x^{2}}{x}+\dfrac{1}{x}$ .

İfadeyi terim terim sadeleştir: $\dfrac{x^{2}+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}$ .
İntegrali ayır: $\displaystyle\int x\,dx+\int \dfrac{1}{x}\,dx$ .
Birinci terim kuvvet kuralıyla: $\displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}$ .
İkinci terim $n=-1$ istisnasıyla: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert$ .
Birleştir: $\dfrac{x^{2}}{2}+\ln\lvert x\rvert+c$ .
Kontrol: $\left(\dfrac{x^{2}}{2}+\ln\lvert x\rvert\right)'=x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ . Doğru.

Sonuç:

\displaystyle\int \dfrac{x^{2}+1}{x}\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+\ln\lvert x\rvert+c

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\displaystyle\int (x-2)(x+3)\,dx$ integralini hesaplayınız.

Çarpımı önce aç: $(x-2)(x+3)=x^{2}+x-6$ .
Terim terim integralle: $\displaystyle\int x^{2}\,dx+\int x\,dx-\int 6\,dx$ .
Kuvvet kuralını uygula: $\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-6x+c$ .
Kontrol: $\left(\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-6x\right)'=x^{2}+x-6$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\displaystyle\int (x-2)(x+3)\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-6x+c

Örnek

Soru

$\displaystyle\int \left(\dfrac{4}{x}+3e^{x}\right)\,dx$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile ayır: $\displaystyle 4\int \dfrac{1}{x}\,dx+3\int e^{x}\,dx$ .
$n=-1$ istisnası ve üstel kuralı uygula: $4\ln\lvert x\rvert+3e^{x}$ .
Tek bir $c$ ekle: $4\ln\lvert x\rvert+3e^{x}+c$ .
Kontrol: $\big(4\ln\lvert x\rvert+3e^{x}\big)'=\dfrac{4}{x}+3e^{x}$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\displaystyle\int \left(\dfrac{4}{x}+3e^{x}\right)\,dx=4\ln\lvert x\rvert+3e^{x}+c

Örnek

Soru

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Kökü üslü forma çevir: $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ , yani $n=\dfrac{1}{3}$ .
Kuvvet kuralını uygula: $\dfrac{x^{4/3}}{4/3}=\dfrac{3}{4}x^{4/3}$ .
Sabiti ekle: $\dfrac{3}{4}x^{4/3}+c$ .
Kontrol: $\left(\dfrac{3}{4}x^{4/3}\right)'=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{3}x^{1/3}=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$ . Doğru.

Sonuç:

\displaystyle\int \sqrt[3]{x}\,dx=\dfrac{3}{4}x^{4/3}+c

Örnek

Soru

$\displaystyle\int \left(\dfrac{3}{\cos^{2}x}-\sin x\right)\,dx$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile ayır: $\displaystyle 3\int \dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx-\int \sin x\,dx$ .
Temel kuralları uygula: $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x$ ve $\displaystyle\int \sin x\,dx=-\cos x$ .
Yerine yaz: $3\tan x-(-\cos x)=3\tan x+\cos x+c$ .
Kontrol: $\big(3\tan x+\cos x\big)'=\dfrac{3}{\cos^{2}x}-\sin x$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\displaystyle\int \left(\dfrac{3}{\cos^{2}x}-\sin x\right)\,dx=3\tan x+\cos x+c

Örnek

Soru

$\displaystyle\int \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Payı paydaya terim terim böl: $\dfrac{x^{3}-x}{x^{2}}=\dfrac{x^{3}}{x^{2}}-\dfrac{x}{x^{2}}=x-\dfrac{1}{x}$ .
İntegrali ayır: $\displaystyle\int x\,dx-\int \dfrac{1}{x}\,dx$ .
Kuralları uygula: $\dfrac{x^{2}}{2}-\ln\lvert x\rvert+c$ .
Kontrol: $\left(\dfrac{x^{2}}{2}-\ln\lvert x\rvert\right)'=x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{3}-x}{x^{2}}$ . Doğru.

Sonuç:

\displaystyle\int \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}}\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}-\ln\lvert x\rvert+c

Örnek

Soru

$f'(x)=6x^{2}+2$ ve $f(0)=5$ olduğuna göre $f(2)$ değerini bulunuz.

Türevin integralini al: $\displaystyle f(x)=\int (6x^{2}+2)\,dx=2x^{3}+2x+c$ .
Başlangıç koşulunu kullan: $f(0)=2\cdot 0+2\cdot 0+c=c=5$ , yani $c=5$ .
Fonksiyonu yaz: $f(x)=2x^{3}+2x+5$ .
İstenen değeri hesapla: $f(2)=2\cdot 8+2\cdot 2+5=16+4+5=25$ .

Sonuç:

f(2)=25

Örnek

Soru

$\displaystyle\int \dfrac{(x+1)^{2}}{x}\,dx$ integralini hesaplayınız.

Payı aç: $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ .
Paydaya terim terim böl: $\dfrac{x^{2}+2x+1}{x}=x+2+\dfrac{1}{x}$ .
İntegrali ayır: $\displaystyle\int x\,dx+\int 2\,dx+\int \dfrac{1}{x}\,dx$ .
Kuralları uygula: $\dfrac{x^{2}}{2}+2x+\ln\lvert x\rvert+c$ .
Kontrol: $\left(\dfrac{x^{2}}{2}+2x+\ln\lvert x\rvert\right)'=x+2+\dfrac{1}{x}=\dfrac{(x+1)^{2}}{x}$ . Doğru.

Sonuç:

\displaystyle\int \dfrac{(x+1)^{2}}{x}\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+2x+\ln\lvert x\rvert+c

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için $f'(x)=6x^{2}-4x$ ve $f(1)=3$ veriliyor.

Buna göre $f(2)$ kaçtır?

A) $7$ · B) $9$ · C) $11$ · D) $13$ · E) $15$

$f$ fonksiyonunu bulmak için türevin integralini al: $\displaystyle f(x)=\int (6x^{2}-4x)\,dx=2x^{3}-2x^{2}+c$ .
Başlangıç koşulunu kullan: $f(1)=2\cdot 1-2\cdot 1+c=c$ . Buradan $c=3$ .
Fonksiyon: $f(x)=2x^{3}-2x^{2}+3$ .
İstenen değeri hesapla: $f(2)=2\cdot 8-2\cdot 4+3=16-8+3=11$ .
Kontrol: $f'(x)=6x^{2}-4x$ ve $f(1)=2-2+3=3$ . Her iki koşul da sağlanır.

Sonuç: C)

11

Örnek

Soru

Sürekli bir $g$ fonksiyonu için $\displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\,dx=10$ ve $\displaystyle\int_{3}^{4} g(x)\,dx=2$ veriliyor.

Buna göre $\displaystyle\int_{1}^{3} g(x)\,dx$ kaçtır?

A) $5$ · B) $6$ · C) $7$ · D) $8$ · E) $12$

Belirli integralin sınır birleştirme özelliğini yaz: $\displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\,dx=\int_{1}^{3} g(x)\,dx+\int_{3}^{4} g(x)\,dx$ .
Bilinen değerleri yerine koy: $10=\displaystyle\int_{1}^{3} g(x)\,dx+2$ .
Aranan integrali yalnız bırak: $\displaystyle\int_{1}^{3} g(x)\,dx=10-2=8$ .
Kontrol: $8+2=10$ olduğundan $\displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\,dx=10$ sağlanır.

Sonuç: D)

8

Örnek

Soru

$\displaystyle F(x)=\int_{2}^{x} (3t^{2}+1)\,dt$ fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre $F'(2)+F(2)$ toplamı kaçtır?

A) $0$ · B) $4$ · C) $9$ · D) $13$ · E) $17$

Türev–integral ilişkisini (analizin temel teoremi) uygula: $F'(x)=3x^{2}+1$ , çünkü değişken alt sınırda değil üst sınırdadır.
$F'(2)$ 'yi hesapla: $F'(2)=3\cdot 4+1=13$ .
$F(2)$ 'yi bul: üst ve alt sınır eşit olduğundan $\displaystyle F(2)=\int_{2}^{2} (3t^{2}+1)\,dt=0$ .
Toplamı yaz: $F'(2)+F(2)=13+0=13$ .

Sonuç: D)

13

Örnek

Soru

Bir eğrinin her $(x,y)$ noktasındaki teğetinin eğimi $4x-3$ 'tür. Bu eğri $(2,5)$ noktasından geçtiğine göre, eğrinin $x=1$ apsisli noktasının ordinatı kaçtır?

A) $-1$ · B) $0$ · C) $1$ · D) $2$ · E) $3$

Teğet eğimi türevdir: $y'=4x-3$ . Eğriyi bulmak için integral al: $\displaystyle y=\int (4x-3)\,dx=2x^{2}-3x+c$ .
$(2,5)$ noktasını yerine koy: $5=2\cdot 4-3\cdot 2+c=8-6+c=2+c$ . Buradan $c=3$ .
Eğri: $y=2x^{2}-3x+3$ .
$x=1$ için ordinatı hesapla: $y=2-3+3=2$ .
Kontrol: $y'=4x-3$ ve $(2,5)$ : $2\cdot 4-6+3=5$ . Sağlanır.

Sonuç: D)

2

Örnek

Soru

$\displaystyle\int f(x)\,dx=x^{2}\ln x+c$ olduğuna göre, $f(e)$ kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $e$ · D) $2e$ · E) $3e$

İntegralin sonucu $F(x)=x^{2}\ln x$ ise $f(x)=F'(x)$ 'tir. Çarpım kuralını kullan.

İntegralin sonucu antiderivatiftir; dolayısıyla $f(x)=\big(x^{2}\ln x\big)'$ .
Çarpım kuralı: $\big(x^{2}\ln x\big)'=2x\cdot\ln x+x^{2}\cdot\dfrac{1}{x}=2x\ln x+x$ .
$f(x)=2x\ln x+x$ . İstenen $f(e)$ : $\ln e=1$ olduğundan $f(e)=2e\cdot 1+e=2e+e=3e$ .
Çeldirici kontrolü: $\ln$ türevini atlayıp yalnız $2x\ln x$ alan $2e$ (D) bulur; $+x$ terimini unutmamak gerekir.

Sonuç: E)

3e

Örnek

Soru

$f''(x)=12x-2$ , $f'(1)=4$ ve $f(0)=3$ olduğuna göre $f(1)$ kaçtır?

A) $4$ · B) $5$ · C) $6$ · D) $7$ · E) $8$

İki kez integral al. Önce $f''$ 'den $f'$ 'ı $f'(1)=4$ ile, sonra $f'$ 'dan $f$ 'i $f(0)=3$ ile sabitlerini belirleyerek bul.

İlk integral: $\displaystyle f'(x)=\int (12x-2)\,dx=6x^{2}-2x+c_{1}$ .
$f'(1)=4$ koşulu: $6-2+c_{1}=4\Rightarrow c_{1}=0$ . Yani $f'(x)=6x^{2}-2x$ .
İkinci integral: $\displaystyle f(x)=\int (6x^{2}-2x)\,dx=2x^{3}-x^{2}+c_{2}$ .
$f(0)=3$ koşulu: $0-0+c_{2}=3\Rightarrow c_{2}=3$ . Yani $f(x)=2x^{3}-x^{2}+3$ .
İstenen değer: $f(1)=2-1+3=4$ .

Sonuç: A)

4

Sık Yapılan Hatalar

İntegral sabiti $+c$ 'yi unutmak. Belirsiz integralin cevabı bir fonksiyon ailesidir; $+c$ olmadan eksik sayılır.
Kuvvet kuralını $n=-1$ 'de zorlamak. $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$ , payda sıfır olacağından $\dfrac{x^{0}}{0}$ değildir; doğrusu $\ln\lvert x\rvert+c$ 'dir.
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^{2}}\,dx$ 'i $\ln$ sanmak. Burada üs $n=-2$ 'dir, $n=-1$ değildir; kuvvet kuralı geçerlidir ve sonuç $-\dfrac{1}{x}+c$ olur. Yalnızca $\dfrac{1}{x}$ (yani $x^{-1}$ ) integralinde $\ln$ çıkar.
İntegral ile türevi karıştırmak. İntegral, kuvveti bir artırır ( $x^{n}\to x^{n+1}$ ); türev ise bir azaltır. Yön karıştığında cevap ters çıkar.

Sınav İpucu

Türev alarak doğrula: Bulduğun sonucun türevini al; integrand'a eşitse cevap kesin doğrudur. Belirsiz integralde bu, tek ve en hızlı denetimdir.
Önce sadeleştir, sonra integralle: Bölme veya çarpım içeren ifadeleri ( $\frac{x^{2}+1}{x}$ , $\sqrt{x}\cdot x$ gibi) doğrudan integralleme; önce terim terim böl ya da üslü forma çevir, ardından kuvvet kuralını uygula.
Başlangıç koşullu sorularda ( $F(a)=b$ ) önce $+c$ 'li genel çözümü yaz, sonra koşulu yerine koyup $c$ 'yi sayısal olarak bul; $c$ 'yi belirsiz bırakma.

1. Ters Türev (Belirsiz İntegral) Kavramı

İntegral Sabiti c Neden Daima Yazılır?

2. Temel İntegral Kuralları

Doğrusallık Kuralları

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İntegral — diğer konular

İntegral Sabiti $c$ Neden Daima Yazılır?