9. Sınıf · Sayılar

Gerçek Sayılarda İşlemler ve Aralıklar

~7 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Sayılar temasını, gerçek sayıların üzerinde işlem yaparken uyduğu kurallarla ve sayı doğrusunun parçaları olan aralıklarla tamamlıyoruz. Bu derste gerçek sayılarda işlem özelliklerini (değişme, birleşme, dağılma), işlem önceliğini; açık/kapalı aralık gösterimini ve aralıklarla işlemleri (birleşim, kesişim) öğreneceğiz. Aralıklar, eşitsizliklerin çözüm kümelerini ve fonksiyonların tanım kümelerini yazarken sürekli kullanacağın dildir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Gerçek Sayılarda İşlem Özellikleri

Gerçek sayılarda ( $\mathbb{R}$ ) toplama ve çarpma şu özellikleri sağlar:

Değişme: $a+b=b+a$ , $\;a\cdot b=b\cdot a$
Birleşme: $(a+b)+c=a+(b+c)$ , $\;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
Dağılma: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
Etkisiz (birim) eleman: toplamada $0$ , çarpmada $1$
Ters eleman: $a$ 'nın toplama tersi $-a$ , çarpma tersi $\dfrac{1}{a}$ ( $a\neq 0$ )

Örnek

Soru

$17\cdot 25 + 17\cdot 75$ işlemini, dağılma özelliğini kullanarak pratik biçimde hesaplayınız.

Ortak çarpan $17$ 'yi paranteze al: $17\cdot(25+75)$ .
Parantezi hesapla: $17\cdot 100=1700$ .

Sonuç:

1700

2. İşlem Önceliği

Bir ifadede işlemler şu sırayla yapılır:

Parantezler (içten dışa)
Üs / kök
Çarpma ve bölme (soldan sağa)
Toplama ve çıkarma (soldan sağa)

Örnek

Soru

$12-3\cdot(2+1)^2$ işleminin sonucunu bulunuz.

Parantez: $2+1=3$ .
Üs: $3^2=9$ .
Çarpma: $3\cdot 9=27$ .
Çıkarma: $12-27=-15$ .

Sonuç:

-15

3. Aralık Kavramı

Sayı doğrusu üzerinde iki uç arasındaki tüm gerçek sayıların kümesine aralık denir. Uç noktanın dâhil olup olmaması gösterimi belirler:

Kapalı aralık $[a,b]$ : uçlar dâhil → $a\le x\le b$
Açık aralık $(a,b)$ : uçlar hariç → $a<x<b$
Yarı açık $[a,b)$ veya $(a,b]$ : bir uç dâhil, diğeri hariç
Sonsuz aralık: $(a,\infty)$ , $(-\infty,b]$ gibi; $\infty$ yanına her zaman açık parantez konur.

Sayı doğrusunda dolu nokta (●) uç dâhil, boş nokta (○) uç hariç anlamına gelir.

Şekil 1 —

[-2,\ 5)

yarı açık aralığı. Sol uç

-2

dolu nokta (dâhil,

\le

), sağ uç

5

boş nokta (hariç,

<

). Aradaki tüm gerçek sayılar aralığa aittir.

Örnek

Soru

$-2\le x<5$ koşulunu aralık olarak yazınız ve aralığın türünü belirtiniz.

Sol uç $-2$ dâhil ( $\le$ ) → köşeli parantez.
Sağ uç $5$ hariç ( $<$ ) → normal parantez.
Aralık: $[-2,\ 5)$ — yarı açık aralık.

Sonuç:

[-2,\ 5)

, yarı açık aralık.

4. Aralıklarla İşlemler

Aralıklar birer küme olduğundan kesişim ( $\cap$ ) ve birleşim ( $\cup$ ) alınabilir. En güvenli yol, iki aralığı sayı doğrusunda çizip ortak/toplam bölgeyi okumaktır.

Kesişim: her iki aralıkta da bulunan sayılar (örtüşen bölge).
Birleşim: en az birinde bulunan sayılar.

Örnek

Soru

$A=[1,\ 6]$ ve $B=(4,\ 9]$ için $A\cap B$ ve $A\cup B$ kümelerini bulunuz.

İki aralığı aynı sayı doğrusuna çiz. Kesişim örtüşen kısım, birleşim ise kapsanan tüm kısımdır. Uç noktalarda parantez türüne dikkat et.

Kesişim $A\cap B$ : hem $[1,6]$ hem $(4,9]$ içinde olan sayılar $4$ ile $6$ arasıdır. $4$ , $B$ 'de hariç olduğundan açık; $6$ her ikisinde de dâhil. Sonuç: $(4,\ 6]$ .
Birleşim $A\cup B$ : $1$ 'den $9$ 'a kadar her sayı en az birindedir. $1$ dâhil, $9$ dâhil. Sonuç: $[1,\ 9]$ .

Sonuç:

A\cap B=(4,\ 6]

\;A\cup B=[1,\ 9]

Şekil 2 —

A=[1,6]

B=(4,9]

aynı sayı doğrusuna çizilir. Örtüşen bölge kesişimdir:

A\cap B=(4,\ 6]

4

noktası

B

'de hariç olduğundan kesişimde de hariçtir (boş nokta).

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$36\cdot 99$ işlemini, dağılma özelliğinden yararlanarak pratik hesaplayınız.

$99=100-1$ yaz: $36\cdot(100-1)$ .
Dağıt: $36\cdot 100-36\cdot 1=3600-36$ .
Sonuç: $3564$ .

Sonuç:

3564

Örnek

Soru

$20:4+2\cdot 3^2$ işleminin sonucunu bulunuz.

Üs: $3^2=9$ .
Bölme ve çarpma (soldan sağa): $20:4=5$ , $\;2\cdot 9=18$ .
Toplama: $5+18=23$ .

Sonuç:

23

Örnek

Soru

$A=(-\infty,\ 3)$ ve $B=[0,\ \infty)$ için $A\cap B$ aralığını bulunuz.

$A$ : $3$ 'ten küçük tüm sayılar. $B$ : $0$ ve daha büyük tüm sayılar.
İkisinde de olanlar $0$ ile $3$ arası. $0$ dâhil ( $B$ 'de kapalı), $3$ hariç ( $A$ 'da açık).

Sonuç:

A\cap B=[0,\ 3)

Örnek

Soru

$3<x\le 7$ aralığındaki tam sayıların toplamını bulunuz.

Koşulu sağlayan tam sayılar: $4,\ 5,\ 6,\ 7$ ( $3$ hariç, $7$ dâhil).
Topla: $4+5+6+7=22$ .

Sonuç:

22

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$48\cdot 25+52\cdot 25$ işlemini pratik biçimde hesapla.

Ortak çarpan $25$ : $25\cdot(48+52)$ .
$25\cdot 100=2500$ .

Sonuç:

2500

Örnek

Soru

$10-2\cdot[3+(5-7)]$ işleminin sonucunu bul.

İç parantez: $5-7=-2$ .
Köşeli parantez: $3+(-2)=1$ .
Çarpma: $2\cdot 1=2$ .
Çıkarma: $10-2=8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

$-4<x\le 1$ koşulunu aralık olarak yaz.

Sol uç $-4$ hariç → açık; sağ uç $1$ dâhil → kapalı.

Sonuç:

(-4,\ 1]

Örnek

Soru

$A=[2,\ 8)$ ve $B=[5,\ 10)$ için $A\cup B$ aralığını bul.

İki aralık $2$ 'den $10$ 'a kadar kesintisiz örtüşür (5–8 arası ortak).
$2$ dâhil, $10$ hariç.

Sonuç:

A\cup B=[2,\ 10)

Örnek

Soru

$A=(1,\ 4)$ ve $B=[4,\ 7]$ için $A\cap B$ kümesini bul.

$A$ , $4$ 'ü içermez (açık); $B$ , $4$ 'ten başlar.
Ortak hiçbir sayı yoktur.

Sonuç:

A\cap B=\varnothing

(ayrık aralıklar).

Örnek

Soru

$2+3\cdot\left[8-(4-6)^2\right]:2$ işleminin sonucunu bul.

İçten dışa: önce iç parantez, sonra üs, sonra köşeli parantez. En sonda çarpma/bölme soldan sağa, ardından toplama.

İç parantez: $4-6=-2$ .
Üs: $(-2)^2=4$ .
Köşeli parantez: $8-4=4$ .
Çarpma ve bölme (soldan sağa): $3\cdot 4=12$ , sonra $12:2=6$ .
Toplama: $2+6=8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

$A=(-3,\ 5]$ ve $B=[0,\ 8)$ için $A\cap B$ ve $A\cup B$ aralıklarını bul.

İki aralığı aynı sayı doğrusuna çiz. Kesişim örtüşen kısım, birleşim kaplanan tüm kısımdır. Her uçta o noktanın dâhil mi hariç mi olduğuna ayrı ayrı bak.

Kesişim: ortak bölge $0$ ile $5$ arası. $0$ , $B$ 'de dâhil; $5$ , $A$ 'da dâhil. → $[0,\ 5]$ .
Birleşim: en soldan ( $-3$ , hariç) en sağa ( $8$ , hariç) kesintisiz. → $(-3,\ 8)$ .

Sonuç:

A\cap B=[0,\ 5]

\;A\cup B=(-3,\ 8)

Örnek

Soru

$-5\le x<4$ aralığındaki tam sayıların toplamını bul.

Önce uçların dâhil/hariç durumuna göre tam sayıları listele; karşılıklı negatif-pozitif çiftler sadeleşir, hesabı kolaylaştırır.

Koşulu sağlayan tam sayılar: $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$ ( $-5$ dâhil, $4$ hariç).
$-3$ ile $3$ , $-2$ ile $2$ , $-1$ ile $1$ ve $0$ sadeleşir; geriye $-5+(-4)=-9$ kalır.

Sonuç:

-9

Örnek

Soru

$A=[1,\ 6)$ , $\;B=(3,\ 9]$ ve $C=[2,\ 4]$ için $A\cap B\cap C$ aralığını bul.

Üçünü de aynı sayı doğrusuna çiz; kesişim, her üç aralıkta birden bulunan sayılardır. Her uçta en kısıtlayıcı koşul geçerlidir.

Sol uç: alt sınırlar $1,\ 3,\ 2$ ; en büyüğü olan $3$ belirleyicidir. $3$ , $B$ 'de hariç olduğundan açık: $(3,\dots$
Sağ uç: üst sınırlar $6,\ 9,\ 4$ ; en küçüğü olan $4$ belirleyicidir. $4$ , $C$ 'de dâhil olduğundan kapalı: $\dots,4]$ .
Sonuç: $(3,\ 4]$ (bu aralık aynı anda üç koşulu da sağlar).

Sonuç:

A\cap B\cap C=(3,\ 4]

Sık Yapılan Hatalar

Açık/kapalı uçları karıştırmak. $<,>$ → açık parantez (uç hariç); $\le,\ge$ → köşeli parantez (uç dâhil). $\infty$ her zaman açıktır.
İşlem önceliğini atlamak. Çarpma/bölme, toplama/çıkarmadan önce gelir: $2+3\cdot 4=14$ , $20$ değil.
Aralık kesişimini uç noktada yanlış okumak. Bir uç, aralıklardan birinde hariçse kesişimde de hariçtir.
Birleşimde boşluğu görmezden gelmek. İki aralık örtüşmüyorsa birleşim tek bir aralık değildir; ikisini ayrı yazman gerekir.

Not: Aralıklarla işlemde her zaman sayı doğrusu çiz. Dolu nokta uç dâhil, boş nokta hariç; örtüşen bölge kesişim, kaplanan tüm bölge birleşimdir. Bu alışkanlık, eşitsizlik çözüm kümelerinde de işini kolaylaştırır.

1. Gerçek Sayılarda İşlem Özellikleri

2. İşlem Önceliği

3. Aralık Kavramı

4. Aralıklarla İşlemler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sayılar — diğer konular