9. Sınıf · Sayılar

Köklü İfadeler ve Özellikleri

~7 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Köklü ifade, üs almanın ters işlemidir: $5^2=25$ olduğundan $\sqrt{25}=5$ . Bu derste kök kavramını, köklü ifadelerde çarpma-bölmeyi, kök içine/dışına sayı taşımayı, benzer köklü ifadeleri toplama-çıkarmayı ve paydayı rasyonel yapmayı öğreneceğiz. Köklü ifadeler üslü ifadelerin doğal devamıdır ( $\sqrt{a}=a^{1/2}$ ) ve Pisagor, analitik geometri gibi pek çok konuda karşına çıkar. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Kök Kavramı

Negatif olmayan bir $a$ sayısı için $\sqrt{a}$ , karesi $a$ olan negatif olmayan sayıdır:

$\sqrt{a}=b \iff b^2=a \quad (a\ge 0,\ b\ge 0)$

Buna karekök denir. Genel olarak $\sqrt[n]{a}$ , $n.$ kuvveti $a$ olan sayıdır ( $n$ . dereceden kök). Köklü ifade üslü biçimde de yazılır: $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ .

Önemli: $\sqrt{a^2}=|a|$ 'dır. Örneğin $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$ .

$\sqrt{2}$ gibi tam kare olmayan kökler tam sayı değildir ama yine de sayı doğrusu üzerinde gerçek bir noktaya karşılık gelir. Dik kenarları $1$ ve $1$ olan bir dik üçgenin hipotenüsü, Pisagor'dan $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ uzunluğundadır; bu uzunluğu eksene yatırınca $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ noktasını işaretleriz.

Şekil 1 —

\sqrt{2}

'nin sayı doğrusu üzerinde inşası. Dik kenarları

1

olan dik üçgenin hipotenüsü

\sqrt{2}

'dir; bu uzunluk eksene yatırılınca

\sqrt{2}\approx 1{,}41

noktası bulunur. Demek ki köklü sayılar da birer gerçek sayıdır.

Örnek

Soru

$\sqrt{49}$ , $\sqrt[3]{8}$ ve $\sqrt{(-7)^2}$ değerlerini bulunuz.

$\sqrt{49}=7$ çünkü $7^2=49$ .
$\sqrt[3]{8}=2$ çünkü $2^3=8$ .
$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$ (sonuç negatif olamaz; $|-7|=7$ ).

Sonuç:

7,\ 2,\ 7

2. Çarpma ve Bölme

Aynı dereceden kökler tek bir kök altında çarpılıp bölünebilir:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b} \qquad\qquad \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad (b>0)$

Örnek

Soru

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$ ve $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$ ifadelerini hesaplayınız.

Çarpımı tek kök altında topla: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ .
Bölümü tek kök altında yaz: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$ .

Sonuç:

6

5

3. Kök İçine ve Dışına Sayı Taşıma

Kök içindeki bir çarpanın tam kare kısmı dışarı çıkarılabilir:

$\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}\quad (a\ge 0)$

Tersine, dışarıdaki bir sayı kareyle çarpılarak içeri alınır: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2 b}$ .

Örnek

Soru

$\sqrt{72}$ ifadesini en sade köklü biçimde yazınız.

$72$ 'yi bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı olarak ayır: $72=36\cdot 2$ .

Tam kare çarpan bul: $72=36\cdot 2$ .
Kareyi dışarı çıkar: $\sqrt{72}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ .

Sonuç:

6\sqrt{2}

4. Toplama ve Çıkarma

Köklü ifadeler ancak kök içleri aynıysa (benzer köklüyse) toplanıp çıkarılır; katsayılar toplanır, kök aynı kalır:

$m\sqrt{c}\pm n\sqrt{c}=(m\pm n)\sqrt{c}$

Kök içleri farklıysa önce sadeleştirip benzer hale getirmeyi dene.

Örnek

Soru

$\sqrt{8}+3\sqrt{2}$ işlemini yapınız.

Önce $\sqrt{8}$ 'i sadeleştir: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$ .
Artık kök içleri aynı: $2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ .

Sonuç:

5\sqrt{2}

5. Paydayı Rasyonel Yapma

Paydadaki kökten kurtulmak için pay ve paydayı uygun bir ifadeyle çarparız:

$\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a} \qquad\qquad \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$

İkinci durumda paydanın eşleniği ( $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ) ile çarpılır.

Örnek

Soru

$\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Pay ve paydayı $\sqrt{3}$ ile çarp: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}$ .
Sadeleştir: $\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ .

Sonuç:

2\sqrt{3}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\sqrt{45}-\sqrt{20}$ işlemini yapınız.

Her köklüyü sadeleştir: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$ , $\;\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$ .
Benzer köklüleri çıkar: $3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$ .

Sonuç:

\sqrt{5}

Örnek

Soru

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}$ ifadesini hesaplayınız.

Tek kök altında çarp: $\sqrt{2\cdot 6\cdot 3}=\sqrt{36}$ .
$\sqrt{36}=6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Paydanın eşleniği $\sqrt{5}+2$ 'dir. Pay ve paydayı bununla çarp; payda $(\sqrt5)^2-2^2$ olur.

Eşlenikle çarp: $\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\cdot\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}$ .
Paydayı hesapla: $(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$ .
Sonuç: $\dfrac{\sqrt{5}+2}{1}=\sqrt{5}+2$ .

Sonuç:

\sqrt{5}+2

Örnek

Soru

$\sqrt{3}=a$ ise $\sqrt{27}$ ifadesini $a$ cinsinden yazınız.

$\sqrt{27}$ 'yi sadeleştir: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$ .
$\sqrt{3}=a$ yerine koy: $3\sqrt{3}=3a$ .

Sonuç:

3a

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$\sqrt{200}$ ifadesini en sade köklü biçimde yaz.

Tam kare çarpan: $200=100\cdot 2$ .
$\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ .

Sonuç:

10\sqrt{2}

Örnek

Soru

$2\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}$ işlemini yap.

Sadeleştir: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , $\;\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ .
Topla-çıkar: $2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(2+2-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}$ .

Sonuç:

\sqrt{3}

Örnek

Soru

$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ ifadesini hesapla.

Tek kök altında yaz: $\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yap.

$\sqrt{5}$ ile çarp: $\dfrac{10\sqrt{5}}{5}$ .
Sadeleştir: $2\sqrt{5}$ .

Sonuç:

2\sqrt{5}

Örnek

Soru

$\sqrt{(-9)^2}+\sqrt{16}$ işleminin sonucunu bul.

$\sqrt{(-9)^2}=|-9|=9$ .
$\sqrt{16}=4$ .
Topla: $9+4=13$ .

Sonuç:

13

Örnek

Soru

$\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}$ işlemini yap.

Üç köklüyü de $a\sqrt{2}$ biçimine getir; kök içleri eşitlenince katsayıları topla-çıkar.

Sadeleştir: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ , $\;\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ , $\;\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ .
Katsayıları işle: $(5+3-2)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ .

Sonuç:

6\sqrt{2}

Örnek

Soru

$\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\sqrt{48}$ işleminin sonucunu bul.

Bir çarpımın karesinde her çarpanın karesini al: $(2\sqrt3)^2=2^2\cdot(\sqrt3)^2$ .

Kare: $\left(2\sqrt{3}\right)^{2}=2^{2}\cdot(\sqrt{3})^{2}=4\cdot 3=12$ .
Sadeleştir: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$ .
Topla: $12+4\sqrt{3}$ (köklü ve tam sayı terim ayrı kalır).

Sonuç:

12+4\sqrt{3}

Örnek

Soru

$\dfrac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yap.

Paydanın eşleniği $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ 'dir; pay ve paydayı bununla çarp. Payda $(\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2$ olur.

Eşlenikle çarp: $\dfrac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\dfrac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}$ .
Payda: $5-2=3$ .
Sadeleştir: $\dfrac{6(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}=2(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ .

Sonuç:

2\sqrt{5}-2\sqrt{2}

Örnek

Soru

$\sqrt{6}=a$ ise $\sqrt{24}+\sqrt{54}$ ifadesini $a$ cinsinden yaz.

Her iki kökü de kök içi $6$ olacak şekilde sadeleştir; sonra $\sqrt6=a$ yaz.

$\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$ , $\;\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot 6}=3\sqrt{6}$ .
Topla: $2\sqrt{6}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}$ .
$\sqrt{6}=a$ yerine koy: $5a$ .

Sonuç:

5a

Sık Yapılan Hatalar

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ sanmak. Bu yanlıştır; kök, toplama üzerine dağılmaz. Örneğin $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ , ama $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ .
Kök içleri farklı olanı toplamak. $2\sqrt{3}+\sqrt{2}$ sadeleşmez; yalnız benzer köklüler toplanır.
$\sqrt{a^2}=a$ demek. Doğrusu $\sqrt{a^2}=|a|$ 'dır; sonuç negatif olamaz.
Sadeleştirmeden işlem yapmak. Toplama/çıkarmada önce her köklüyü $a\sqrt{b}$ biçimine getir; benzerlik çoğu zaman ancak o zaman görünür.

Not: Köklü ifadelerde ilk refleksin sadeleştirme olsun: kök içini tam kare çarpanlarına ayır. Payda köklüyse eşlenikle çarparak rasyonel yap; iki terimli paydalarda eşlenik, ortadaki işaretin tersidir.

1. Kök Kavramı

2. Çarpma ve Bölme

3. Kök İçine ve Dışına Sayı Taşıma

4. Toplama ve Çıkarma

5. Paydayı Rasyonel Yapma

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sayılar — diğer konular