9. Sınıf · Sayılar
Üslü İfadeler ve Özellikleri
Aynı sayıyı tekrar tekrar çarpmak yerine üslü ifade yazarız: 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^4. Bu derste üs kavramını, üslü ifadelerin özelliklerini (çarpma, bölme, kuvvetin kuvveti), negatif ve sıfır üssü ile negatif tabanlı ifadelerin işaretini öğreneceğiz. Üslü ifadeler, Sayılar temasının geri kalanında (köklü ifadeler, bilimsel gösterim) ve ileride üstel fonksiyonlarda sürekli karşına çıkar. Her kuralı bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Üs Kavramı
a bir gerçek sayı, n bir pozitif tam sayı olmak üzere a^n, a sayısının kendisiyle n kez çarpımıdır:
a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\ \text{tane}}
Burada a ya taban, n ise üs (kuvvet) denir. Özel olarak:
a^1=aa^0=1(yalnıza\neq 0için;0^0tanımsızdır)
3^4 ifadesinin değerini bulunuz.
- Tabanı
4kez çarp:3\cdot 3\cdot 3\cdot 3. - Adım adım:
3\cdot 3=9,\;9\cdot 3=27,\;27\cdot 3=81.
3^4=81.2'nin kuvvetleri: 2^0,\,2^1,\dots,2^5 = 1,\,2,\,4,\,8,\,16,\,32. Üs 1 arttığında değer iki katına çıkar. Üslü ifadelerin bu hızlı (üstel) büyümesi, ileride üstel fonksiyonların temelidir.2. Çarpma ve Bölme Kuralı
Tabanlar aynıysa, çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır:
a^m\cdot a^n=a^{m+n} \qquad\qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad (a\neq 0)
2^5\cdot 2^3 ve \dfrac{7^6}{7^2} ifadelerini tek bir üslü ifade olarak yazınız.
- Çarpmada üsleri topla:
2^5\cdot 2^3=2^{5+3}=2^{8}. - Bölmede üsleri çıkar:
\dfrac{7^6}{7^2}=7^{6-2}=7^{4}.
2^8 ve 7^4.3. Kuvvetin Kuvveti ve Çarpımın Kuvveti
(a^m)^n=a^{m\cdot n} \qquad (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}
Dikkat: (a^m)^n ile a^{m^n} farklıdır. İlkinde üsler çarpılır, ikincisi üst üste üstür.
(x^3)^4 ve (2y)^3 ifadelerini sadeleştiriniz.
- Kuvvetin kuvvetinde üsleri çarp:
(x^3)^4=x^{3\cdot 4}=x^{12}. - Çarpımın kuvvetinde her çarpanı üs al:
(2y)^3=2^3\cdot y^3=8y^3.
x^{12} ve 8y^3.4. Negatif Üs
Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini (resiprokunu) gösterir:
a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\quad (a\neq 0) \qquad\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}
2^{-3} ve \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} ifadelerini hesaplayınız.
Negatif üs gördüğünde önce ifadeyi ters çevir, üssü pozitife döndür; sonra hesapla.
2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}.- Kesirde tabanı ters çevir, üssü pozitif yap:
\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{25}{9}.
\dfrac{1}{8} ve \dfrac{25}{9}.5. Negatif Tabanın İşareti
Taban negatifse, sonucun işaretini üssün tek/çift olması belirler:
- Üs çift ise sonuç pozitif:
(-2)^4=16. - Üs tek ise sonuç negatif:
(-2)^3=-8.
Ayrıca (-a)^n ile -a^n farklıdır: -2^4=-(2^4)=-16 ama (-2)^4=16. Parantez, tabanın eksiyi de kapsayıp kapsamadığını belirler.
(-3)^2, \;-3^2 ve (-1)^{99} ifadelerini hesaplayınız.
(-3)^2: taban-3, üs çift → pozitif:9.-3^2: yalnız3üslü, sonuç eksilenir:-(3^2)=-9.(-1)^{99}: üs tek → negatif:-1.
9,\ -9,\ -1.Çözümlü Örnekler
\dfrac{3^4\cdot 3^2}{3^5} ifadesini sadeleştiriniz.
- Paydaki çarpımda üsleri topla:
3^4\cdot 3^2=3^{6}. - Bölmede üsleri çıkar:
\dfrac{3^6}{3^5}=3^{6-5}=3^1=3.
3.2^{-2}+3^{0}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} işleminin sonucunu bulunuz.
2^{-2}=\dfrac{1}{4}.3^0=1.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=\dfrac{2}{1}=2.- Topla:
\dfrac{1}{4}+1+2=\dfrac{1}{4}+3=\dfrac{13}{4}.
\dfrac{13}{4}.\dfrac{2^{10}}{4^3} ifadesini 2 tabanında tek üslü ifade olarak yazınız.
Paydadaki 4'ü 2 tabanına çevir: 4=2^2. Böylece taban birleşir.
4^3=(2^2)^3=2^{6}.- İfade:
\dfrac{2^{10}}{2^6}=2^{10-6}=2^{4}.
2^4\ (=16).a^3=5 ise a^9 kaçtır?
a^9=(a^3)^3olarak yaz.- Yerine koy:
(a^3)^3=5^3=125.
a^9=125.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
5^3\cdot 5^{-1} ifadesini sadeleştir.
- Üsleri topla:
5^{3+(-1)}=5^{2}=25.
25.(-2)^5 ve (-2)^6 değerlerini bul.
(-2)^5: üs tek → negatif:-32.(-2)^6: üs çift → pozitif:64.
-32 ve 64.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} ifadesini hesapla.
- Tabanı ters çevir, üssü pozitif yap:
\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}. =\dfrac{27}{8}.
\dfrac{27}{8}.\dfrac{9^2\cdot 3}{27} ifadesini 3 tabanında tek üslü ifade olarak yaz.
- Her şeyi
3tabanına çevir:9=3^2,27=3^3. - Pay:
9^2\cdot 3=(3^2)^2\cdot 3^1=3^4\cdot 3^1=3^5. - Bölme:
\dfrac{3^5}{3^3}=3^{2}.
3^2\ (=9).2^x=8 ise x kaçtır?
8'i2tabanında yaz:8=2^3.- Tabanlar eşit olduğundan üsler eşittir:
x=3.
x=3.\left(2^{-1}+4^{-1}\right)^{-1} ifadesinin değerini bul.
Önce paranteziçini ortak paydada topla; en dıştaki -1 üssü, çıkan kesri ters çevirir.
- İç toplam:
2^{-1}+4^{-1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}. - Dıştaki
-1üssü ters çevirir:\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}=\dfrac{4}{3}.
\dfrac{4}{3}.\dfrac{4^{x+1}}{2^{x}}=2^{5} ise x kaçtır?
Her tabanı 2'ye çevir: 4^{x+1}=(2^2)^{x+1}=2^{2x+2}. Sonra üsleri eşitle.
- Payı
2tabanına çevir:4^{x+1}=2^{2(x+1)}=2^{2x+2}. - Böl:
\dfrac{2^{2x+2}}{2^{x}}=2^{(2x+2)-x}=2^{x+2}. - Üsleri eşitle:
x+2=5\Rightarrow x=3.
x=3.2^{x}=3 ise 4^{x+1} ifadesinin değerini bul.
4^{x+1}=(2^2)^{x+1}=2^{2x+2}=2^{2x}\cdot 2^2. Ayrıca 2^{2x}=(2^x)^2.
4^{x+1}=2^{2x+2}=(2^{x})^{2}\cdot 2^{2}.2^x=3yerine koy:3^2\cdot 4=9\cdot 4=36.
4^{x+1}=36.\dfrac{2^{12}+2^{10}}{2^{10}} ifadesinin değerini bul.
Paydaki ortak çarpan 2^{10}'u paranteze al; sonra sadeleş.
- Ortak çarpan:
2^{12}+2^{10}=2^{10}(2^{2}+1)=2^{10}\cdot 5. - Sadeleştir:
\dfrac{2^{10}\cdot 5}{2^{10}}=5.
5.Sık Yapılan Hatalar
a^m\cdot a^n'ia^{m\cdot n}sanmak. Tabanlar aynıyken çarpmada üsler toplanır, çarpılmaz:a^m\cdot a^n=a^{m+n}.-a^nile(-a)^n'i karıştırmak. Parantez yoksa eksi üsse dâhil değildir:-2^4=-16, ama(-2)^4=16.a^0=0demek. Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti1'dir:a^0=1.- Negatif üssü "sonuç negatif" sanmak. Negatif üs işareti değiştirmez, ifadeyi tersine çevirir:
2^{-3}=\dfrac{1}{8}>0. - Üslü ifadeleri toplarken üs kuralı aramak.
2^{12}+2^{10},2^{22}değildir; toplamda kural yoktur. Yapılacak şey ortak çarpanı paranteze almaktır:2^{12}+2^{10}=2^{10}(2^2+1)=2^{10}\cdot 5.
Not: Farklı tabanlı bir ifadeyi sadeleştirmeden önce her şeyi ortak tabana çevir (
4=2^2,9=3^2,8=2^3,27=3^3). Taban birleşince üs kuralları doğrudan uygulanır.