12. Sınıf · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Logaritma Fonksiyonu

~8 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Logaritma, üstel almanın ters işlemidir: " $2$ 'yi kaçıncı kuvvete alırsam $8$ olur?" sorusunun cevabı $\log_2 8=3$ 'tür. Bu derste logaritmanın tanımını, $\log$ (taban $10$ ) ve $\ln$ (taban $e$ ) gösterimlerini, logaritma özelliklerini (çarpım, bölüm, üs, taban değiştirme) ve logaritma fonksiyonunun grafiğini öğreneceğiz. Logaritma, üstel fonksiyonun tersi olduğundan grafiği $y=x$ doğrusuna göre onun simetriğidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Logaritmanın Tanımı

$a>0$ , $a\neq 1$ ve $x>0$ olmak üzere

$\log_a x = y \iff a^{y}=x$

biçiminde tanımlanır. Yani $\log_a x$ , " $a$ tabanını hangi kuvvete alırsak $x$ elde ederiz?" sorusunun cevabıdır. Bu, üstel ile logaritmanın ters işlemler olduğunu gösterir.

Çok önemli bir koşul: logaritmanın içi (argümanı) kesin pozitif olmalıdır ( $x>0$ ); çünkü $a^{y}>0$ her zaman, yani hiçbir kuvvet negatif veya sıfır sonuç vermez.

İki özel taban kısaltmayla yazılır:

Taban $10$ (onluk logaritma): $\log_{10} x$ yerine kısaca $\log x$ .
Taban $e$ (doğal logaritma, $e\approx 2{,}718$ ): $\log_e x$ yerine $\ln x$ .

Örnek

Soru

$\log_2 8$ , $\log_3 81$ ve $\log_5 1$ değerlerini bulunuz.

$\log_2 8$ : $2$ üzeri kaç $8$ eder? $2^{3}=8$ , demek ki $\log_2 8=3$ .
$\log_3 81$ : $3^{4}=81$ , demek ki $\log_3 81=4$ .
$\log_5 1$ : $5^{0}=1$ , demek ki $\log_5 1=0$ .

Sonuç:

3,\ 4,\ 0

2. Temel Değerler

Tanımdan doğrudan çıkan iki sonucu ezberlemek işleri hızlandırır:

$\log_a 1 = 0 \qquad\qquad \log_a a = 1$

Çünkü $a^{0}=1$ ve $a^{1}=a$ . Ayrıca tanımın bir sonucu olarak $\log_a a^{k}=k$ ve $a^{\log_a x}=x$ olur.

Örnek

Soru

$\log_7 7$ , $\log_4 1$ ve $\log_2 2^{5}$ değerlerini bulunuz.

$\log_7 7=1$ (taban ile argüman aynı).
$\log_4 1=0$ (argüman $1$ ).
$\log_2 2^{5}=5$ (çünkü $\log_a a^{k}=k$ ).

Sonuç:

1,\ 0,\ 5

3. Logaritma Özellikleri

Aynı tabanlı logaritmalarda şu kurallar geçerlidir ( $x,y>0$ ):

$\log_a (x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$ $\log_a \dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ $\log_a x^{n}=n\cdot \log_a x$

Yani çarpım logaritmaların toplamına, bölüm farkına dönüşür; üs ise katsayı olarak öne çıkar. Bu kurallar üs kurallarının doğrudan yansımasıdır.

Örnek

Soru

$\log 2 = a$ ise $\log 8$ ve $\log 20$ ifadelerini $a$ cinsinden yazınız. (Taban $10$ .)

$8=2^{3}$ için üs kuralını; $20=\dfrac{100}{5}$ yerine $20=2\cdot 10$ kullan: $\log 20=\log 2+\log 10$ . Unutma: $\log 10=1$ .

$\log 8=\log 2^{3}=3\log 2=3a$ .
$\log 20=\log(2\cdot 10)=\log 2+\log 10=a+1$ .

Sonuç:

\log 8=3a

\;\log 20=a+1

4. Taban Değiştirme

Bir logaritmayı başka bir tabana çevirmek için taban değiştirme formülü kullanılır ( $c>0$ , $c\neq 1$ ):

$\log_a x=\dfrac{\log_c x}{\log_c a}$

Sık kullanılan iki sonuç: $\log_a x=\dfrac{1}{\log_x a}$ ve $\log_{a^{n}} x=\dfrac{1}{n}\log_a x$ .

Örnek

Soru

$\log_4 8$ değerini bulunuz.

Her şeyi $2$ tabanına çevir: $\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ .

$2$ tabanına geç: $\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ .
$\log_2 8=3$ , $\;\log_2 4=2$ .
$\log_4 8=\dfrac{3}{2}$ .

Sonuç:

\dfrac{3}{2}

5. Logaritma Fonksiyonunun Grafiği

$f(x)=\log_a x$ fonksiyonu, $g(x)=a^{x}$ üstel fonksiyonunun tersidir. Bu yüzden grafiği, üstel grafiğin $y=x$ doğrusuna göre simetriğidir.

Tanım kümesi $x>0$ (yalnız pozitif sayılar), değer kümesi tüm gerçek sayılardır. Grafik $(1,0)$ noktasından geçer ( $\log_a 1=0$ ) ve $y$ ekseni ( $x=0$ ) bir düşey asimptottur. $a>1$ için fonksiyon artan, $0<a<1$ için azalandır.

Şekil 1 —

y=2^{x}

(üstel) ile

y=\log_2 x

(logaritma) eğrileri

y=x

doğrusuna göre simetriktir; biri diğerinin tersidir. Üstelin geçtiği

(0,1)

noktası, logaritmada

(1,0)

noktasına dönüşür.

Örnek

Soru

$f(x)=\log_2(x-3)$ fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Logaritmanın içi (argümanı) kesin pozitif olmalı: $x-3>0$ .

Argüman pozitif olmalı: $x-3>0$ .
$x>3$ .

Sonuç: Tanım kümesi

(3,\ \infty)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\log_3 \dfrac{1}{9}$ değerini bulunuz.

$\dfrac{1}{9}=3^{-2}$ .
$\log_3 3^{-2}=-2$ .

Sonuç:

-2

Örnek

Soru

$\log_2 6+\log_2 \dfrac{2}{3}$ ifadesinin değerini bulunuz.

Toplam, çarpımın logaritmasına eşittir: $\log_2 6+\log_2 \frac{2}{3}=\log_2\left(6\cdot\frac{2}{3}\right)$ .

Çarpım kuralı: $\log_2 6+\log_2 \dfrac{2}{3}=\log_2\left(6\cdot\dfrac{2}{3}\right)$ .
İçi sadeleştir: $6\cdot\dfrac{2}{3}=4$ .
$\log_2 4=2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$\log 5$ ifadesini $\log 2$ cinsinden yazınız. (Taban $10$ .)

$5=\dfrac{10}{2}$ . Bölüm kuralını kullan; $\log 10=1$ .

$5=\dfrac{10}{2}$ yaz: $\log 5=\log\dfrac{10}{2}=\log 10-\log 2$ .
$\log 10=1$ : $\log 5=1-\log 2$ .

Sonuç:

1-\log 2

Örnek

Soru

$\log_9 27$ değerini bulunuz.

İkisi de $3$ 'ün kuvveti: $9=3^{2}$ , $27=3^{3}$ . Taban değiştirip $3$ tabanına geç.

$3$ tabanına geç: $\log_9 27=\dfrac{\log_3 27}{\log_3 9}$ .
$\log_3 27=3$ , $\;\log_3 9=2$ .
$\log_9 27=\dfrac{3}{2}$ .

Sonuç:

\dfrac{3}{2}

Örnek

Soru

$\log_2 3=a$ ise $\log_2 12$ ifadesini $a$ cinsinden yazınız.

$12=4\cdot 3=2^{2}\cdot 3$ . Çarpım kuralıyla aç; $\log_2 4=2$ .

$12=2^{2}\cdot 3$ yaz: $\log_2 12=\log_2 2^{2}+\log_2 3$ .
$\log_2 2^{2}=2$ , $\;\log_2 3=a$ .
$\log_2 12=2+a$ .

Sonuç:

a+2

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$\log_2 16$ değerini bul.

$16=2^{4}$ , demek ki $\log_2 16=4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$\log_5 \dfrac{1}{25}$ değerini bul.

$\dfrac{1}{25}=5^{-2}$ .
$\log_5 5^{-2}=-2$ .

Sonuç:

-2

Örnek

Soru

$f(x)=\log(2x-6)$ fonksiyonunun tanım kümesini bul. (Taban $10$ .)

Argüman pozitif: $2x-6>0\Rightarrow x>3$ .

Sonuç:

(3,\ \infty)

Örnek

Soru

$\log_6 4+\log_6 9$ ifadesinin değerini bul.

Çarpım kuralı: $\log_6(4\cdot 9)=\log_6 36$ .
$36=6^{2}$ , demek ki $\log_6 36=2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$\log_3 45-\log_3 5$ ifadesinin değerini bul.

Bölüm kuralı: $\log_3\dfrac{45}{5}=\log_3 9$ .
$9=3^{2}$ , demek ki $\log_3 9=2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$\log_8 32$ değerini bul.

İkisi de $2$ 'nin kuvveti: $8=2^{3}$ , $32=2^{5}$ . $2$ tabanına geç.

$2$ tabanına geç: $\log_8 32=\dfrac{\log_2 32}{\log_2 8}=\dfrac{5}{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{5}{3}

Örnek

Soru

$\log 2=a$ ve $\log 3=b$ ise $\log 6$ ve $\log 1{,}5$ ifadelerini $a,b$ cinsinden yaz. (Taban $10$ .)

$6=2\cdot 3$ ve $1{,}5=\dfrac{3}{2}$ . Çarpım ve bölüm kurallarını uygula.

$\log 6=\log(2\cdot 3)=\log 2+\log 3=a+b$ .
$\log 1{,}5=\log\dfrac{3}{2}=\log 3-\log 2=b-a$ .

Sonuç:

\log 6=a+b

\;\log 1{,}5=b-a

Örnek

Soru

$\log_2 5=m$ ise $\log_2 40$ ifadesini $m$ cinsinden yaz.

$40=8\cdot 5=2^{3}\cdot 5$ . Çarpım kuralıyla aç.

$40=2^{3}\cdot 5$ : $\log_2 40=\log_2 2^{3}+\log_2 5$ .
$\log_2 2^{3}=3$ , $\;\log_2 5=m$ .
$\log_2 40=3+m$ .

Sonuç:

m+3

Örnek

Soru

$\dfrac{\log_2 16}{\log_2 8}$ ifadesinin değerini bul ve bunun hangi tek logaritmaya eşit olduğunu söyle.

Taban değiştirme formülünü ters yönde oku: $\dfrac{\log_2 16}{\log_2 8}=\log_8 16$ .

Değerleri yaz: $\log_2 16=4$ , $\;\log_2 8=3$ .
Oran: $\dfrac{4}{3}$ .
Taban değiştirme formülüne göre bu oran $\log_8 16$ 'ya eşittir.

Sonuç:

\dfrac{4}{3}

; bu

\log_8 16

'ya eşittir.

Örnek

Soru

$\log_2 3\cdot \log_3 8$ çarpımının değerini bul.

Taban değiştirme ile $\log_3 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 3}$ yaz; $\log_2 3$ sadeleşir.

$\log_3 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 3}$ yaz.
Çarpımda yerine koy: $\log_2 3\cdot\dfrac{\log_2 8}{\log_2 3}=\log_2 8$ .
$\log_2 8=3$ .

Sonuç:

3

Sık Yapılan Hatalar

Argümanın negatif/sıfır olabileceğini sanmak. $\log_a x$ yalnız $x>0$ için tanımlıdır; tanım kümesi sorularında argümanı $>0$ yapan eşitsizliği çöz.
$\log_a(x+y)$ ile $\log_a x+\log_a y$ 'yi karıştırmak. Toplam içeri dağılmaz; yalnız çarpım logaritmaların toplamına eşittir: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ .
$\dfrac{\log x}{\log y}$ ile $\log\dfrac{x}{y}$ 'yi karıştırmak. Bölüm kuralı $\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y$ 'dir; logaritmaların oranı ise taban değiştirmedir.
$\log a^{n}$ 'de üssü argümanın tamamına yapıştırmak. $\log_a x^{n}=n\log_a x$ 'tir; ama $\left(\log_a x\right)^{n}$ bambaşka bir ifadedir.

Not: Logaritmayı her zaman "üssün tersi" diye oku: $\log_a x=y\iff a^{y}=x$ . Hesaplarken argümanı tabanın kuvveti biçiminde yazmaya çalış; özellikleri ( $+,-,n\cdot$ ) ezberden değil, üs kurallarının yansıması olarak düşün.

1. Logaritmanın Tanımı

2. Temel Değerler

3. Logaritma Özellikleri

4. Taban Değiştirme

5. Logaritma Fonksiyonunun Grafiği

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar — diğer konular